1、第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,一維波動(dòng)方程的傅里葉解 熱傳導(dǎo)方程的傅里葉解 拉普拉斯方程的傅里葉解 波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解 數(shù)學(xué)物理方程解的積分公式 傅里葉變換,符號(hào)約定,對(duì)多元函數(shù) u(x, y, z, t)，約定：,梯度算符,拉普拉斯算符,沿著 x, y, z 方向的單位矢量,二維情形：,三維,數(shù)理方程：從物理問題中導(dǎo)出、反映客觀物理量 在各個(gè)時(shí)空點(diǎn)之間相互制約關(guān)系的偏微分方程,三類數(shù)理方程,波動(dòng)方程,擴(kuò)散方程,泊松方程,a-波速；D-擴(kuò)散系數(shù)；f：策動(dòng)力、擴(kuò)散源；：電荷密度,雙曲型,拋物型,橢圓型,三類方程均為二階線性偏微分方程,數(shù)學(xué)物理方程,*KdV 方程(非線性)：(1895, first 1

2、877),*薛定諤方程：,波函數(shù)一般為復(fù)數(shù)！,單個(gè)孤波：,(2) 求解,用數(shù)理方法研究物理問題的步驟,(1) 寫出定解問題,定解問題 = 泛定方程(共性) + 定解條件(個(gè)性),(3) 分析解的物理意義及適定性,適定性：指解是存在的、唯一的、穩(wěn)定的,行波法、分離變量、積分變換、格林函數(shù)、保角變換、變分法、數(shù)值計(jì)算 ,第七章 一維波動(dòng)方程的傅里葉解,弦振動(dòng)方程的建立 波動(dòng)方程混合問題的分離變量法 非齊次波動(dòng)方程的求解,波動(dòng)方程的建立方法,邊值條件、初值條件的提法,作業(yè)：習(xí)題七 3, 5, 10, 14,一維齊次、非齊次波動(dòng)方程的解法,1.弦振動(dòng)方程,長(zhǎng)為 l 、線密度為的柔軟細(xì)弦，,以張力 T0

3、 拉緊。,相對(duì)平衡位置作微小橫振動(dòng) u(x,t)。,問題描述,弦上質(zhì)元用其平衡位置 x 標(biāo)記，,求弦上各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,柔軟性：,弦中的張力總是沿著弦線的切線方向,7.1 弦振動(dòng)方程的建立,分析一小段弦 x-x+x 的受力,水平方向無振動(dòng) ,沿橫向各個(gè)力的分量：,外力密度,積分中值定理,兩邊除以 x，然后取極限x0:,沿橫向的動(dòng)量定理：,中值定理,弦振動(dòng)的泛定方程,u(x,t) x 處的質(zhì)元在 t 時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移,f(x,t) t 時(shí)刻 x 處單位質(zhì)量所受的橫向外力,T0 初始張力，質(zhì)量線密度,弦中橫波的波速,弦的松緊,弦的材質(zhì),弦自由振動(dòng) 一維波動(dòng)方程,2.棒中的縱波,自由狀態(tài),變

4、形后：,x,x + x,u(x,t),u(x+x,t),原長(zhǎng),伸長(zhǎng),x 0，,應(yīng)變：,x 端受力：,x,x + x,動(dòng)量定理：,中值定理,(3) 化簡(jiǎn)、整理，得到數(shù)理方程。,建立數(shù)理方程的步驟,(1) 在求解區(qū)域中分出任意一小塊，考慮其 與鄰近部分的關(guān)系；,(2) 根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，列出方程；,三維波動(dòng)方程,其它模型：理想傳輸線的電報(bào)方程 (7.3) 電磁場(chǎng)的達(dá)朗貝爾方程 ,定解條件 = 初始條件 + 邊界條件,例：諧振子方程,泛定方程不足以確定物理量的分布,通解,定解條件：,確定微分方程通解中的任意常數(shù)或任意函數(shù)，需要恰當(dāng)?shù)母郊訔l件,3.定解條件,初始條件,整個(gè)系統(tǒng)初始狀況的表達(dá)式稱為初始條件

5、,對(duì)弦振動(dòng)，泛定方程為,需給出弦在初始時(shí)刻 t=0 的位移和速度：,對(duì)物理量的穩(wěn)態(tài)分布，無初始條件,泛定方程出現(xiàn)時(shí)間的 n 階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)需要 n 個(gè)初始條件,例1：將靜止的弦上提 h 后松手，,0,l,l/2,x,u(x,0),h,寫出初始條件,泛定方程為,要定解還需給定邊界條件,邊界條件,物理過程在系統(tǒng)邊界狀況的表達(dá)式稱為邊界條件,第一類邊界條件 (Dirichlet)：,第二類邊界條件 (Neuman)：,第三類邊界條件 (Robin)：,t 時(shí)刻 u 在邊界點(diǎn) 處的外法向偏導(dǎo)數(shù),齊次邊界條件：,例2：一維弦振動(dòng)的邊界條件,(1) 弦的兩端固定：,(2) 弦的右端 x=l 施加外部橫向力 F

6、l：,(4) 在 x=l 安置垂直于 x 軸的彈簧 (勁度系數(shù)為 k)， 弦的右端固定在彈簧自由端：,彈性支撐邊界條件,(3) 弦的兩端自由：,例3：桿作縱振動(dòng)的邊界條件,(1) 桿的兩端固定：,(2) 桿的右端 x=l 受外力 F：,(4) 桿的右端 x=l 與勁度系數(shù)為 k 的彈簧相連， 左端 x=0 固定,(3) 桿的兩端自由：,定解的其它條件,(1) 系統(tǒng)由不同部分組成，銜接處有銜接條件：,不同材料組成的桿，其銜接處位移和應(yīng)力連續(xù)：,兩種電介質(zhì)的交界面 S 上：,電勢(shì)連續(xù)：,電位移的法向分量連續(xù)：,例：Euler 方程,(2)自然邊界條件：,物理量的有限性、單值性、周期性等決定的條件,

7、在 0, r0 上的有界解具有形式,在 r0, ) 上的有界解具有形式,通解為,有冪函數(shù)解,三類定解問題,初值問題 (柯西問題)： 系統(tǒng)無邊界,邊值問題：方程與時(shí)間無關(guān),混合問題：既有邊界條件，又有初始條件,7.2 齊次方程混合問題的傅里葉解,問題的特征：齊次方程 + 齊次邊界條件,求解思路：先處理泛定方程和齊次邊界條件， 得到足夠多的特解。,雖然每個(gè)特解可能不滿足其它定解條件，但它們的某個(gè)線性組合可能滿足這些條件,帶入齊次泛定方程：,該式左邊只是 t 的函數(shù)，右邊只是 x 的函數(shù),只有兩邊都是常數(shù)時(shí)，等式才能成立！,帶入齊次邊界條件：,1.尋找變量分離形式的特解,滿足,求解輔助的本征值問題,

8、定義：設(shè)在某齊次常微分方程中有待定常數(shù) 。 若只有在 取某些特定的值時(shí)，該方程在給定邊界條件下才有非零解，則稱這些特定的值及相應(yīng)的解為該方程在給定邊界條件下的本征值和本征函數(shù),=0 不是本征問題 I 的本征值：,通解,回顧：二階常微分方程,有指數(shù)函數(shù)解,通解為,(可能為復(fù)數(shù)),0 時(shí),通解為,或,本征值,本征函數(shù),本征問題,0 時(shí),求解時(shí)間函數(shù) T(t),特解的物理意義,駐波：具有 n+1 個(gè)波節(jié)，固有圓頻率,x,0,l,u,初始條件 (3) 待定系數(shù)：,2.待求解展開為特解的疊加,兩邊乘 后，,在 0, l 上積分 Cm, Dm,本征函數(shù)的正交性：,例4：求兩端固定弦的自由振動(dòng)，初始條件為,

9、初速度為零,解：,分離變量法得出解的一般形式,對(duì)奇數(shù) n，計(jì)算積分,回顧：周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù),設(shè)函數(shù) f(x) 有周期 2l，在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和極值點(diǎn) (Dirichlet 條件)，則在 -l, l 上有 Fourier 級(jí)數(shù)展開：,展開系數(shù),三角函數(shù)序列的正交歸一性,求展開系數(shù)：,兩邊乘 或 后，,在 -l, l 上積分,將 0, l 上 f(x) 連續(xù)的函數(shù) f(x) 延拓,周期延拓：,(1) 若 f(0) = f(l) = 0，,選 T=2l 的周期奇延拓,(2) 若 f (0) = f (l)=0，,為周期 T 的函數(shù)，要求延拓后的 f(x) 連續(xù)。,選

10、 T=2l 的周期偶延拓,f(l) = 0f(0) = 0,本征函數(shù)組的完備性,滿足 f(0) = f(l) = 0 的連續(xù)函數(shù) f(x) 總可展開為,滿足 f(0) = f(l) = 0 的連續(xù)函數(shù) f(x) 總可展開為,3.分離變量法的基本步驟,1) 齊次邊界條件 & 齊次方程 ,2) 齊次邊界條件 & X(x) 滿足的微分方程 ,本征值 n、本征函數(shù) Xn(x),3) 對(duì)本征值 n，求解 T(t) 滿足的微分方程 ,4) 將一般解寫為變量分離的特解的疊加,由初始條件求出待定系數(shù),線性獨(dú)立的解,(正交、完備),7.4 非齊次波動(dòng)方程的求解,1.齊次邊界條件下的強(qiáng)迫振動(dòng),齊次方程的通解,回顧

11、：常數(shù)變易法,非齊次方程有特解,待定函數(shù)滿足,有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng),泛定方程非齊次時(shí)，一般不能直接分離變量,齊次固定邊界條件下，自由振動(dòng)解的形式,固有圓頻率,借鑒常數(shù)變易法求解,設(shè),初值,兩邊乘 后，,在 0, l 上積分 ,變易常數(shù)滿足的微分方程,定義函數(shù),求解變易常數(shù),可按本征函數(shù) Xn(x), nN 展開,本征函數(shù)展開法：滿足固定邊界條件的解,齊次固定邊界條件下，本征函數(shù)為,本征函數(shù)組的完備性 ,本征函數(shù)展開法,帶入泛定方程 (1)：,本征函數(shù)的正交性 ,帶入初始條件 (3) ,常數(shù)變易法 (或 Laplace 變換法) ,本征函數(shù)法的基本步驟：,1. 用分離變量法求對(duì)應(yīng)的齊次方程在齊次邊界

12、 條件下的本征函數(shù),2. 將未知函數(shù)按求得的本征函數(shù)展開，展開系數(shù) 為另一變量的函數(shù)。帶入非齊次方程和其它 定解條件，得出待定函數(shù)滿足的常微分方程及 初始條件,3. 用常數(shù)變易法 (或 Laplace 變換法) 求解此 常微分方程,將 帶入,例5：求解定解問題,解：,(1) 對(duì)齊次方程在齊次邊界條件下分離變量,本征函數(shù),本征值,(2) 待求解按本征函數(shù)展開,帶入非齊次泛定方程及初始條件：,比較展開系數(shù),2.非齊次邊界條件的處理,非齊次邊界條件下不能分離變量！,選擇輔助函數(shù) U(x, t)，使 滿足齊次 邊界條件 ,用本征函數(shù)法求解,輔助函數(shù)的選擇,直線輔助函數(shù),拋物線輔助函數(shù),例6：靜止緊繃的弦，左端 x=0 固定，右端 x=l 從 t=0 開始作周期運(yùn)動(dòng) sin(t) ，求弦振動(dòng),解：,(2) 選輔助函數(shù),(1) 定解問題,計(jì)算展開系數(shù) (分部積分)：,固定邊界條件下強(qiáng)迫振動(dòng)解,問題的解：,共振解：,另解：選輔助函數(shù),