1、第16章 貝塞爾函數 柱函數,貝塞爾方程 貝塞爾函數 貝塞爾函數的性質 按貝塞爾函數展開,作業(yè)：習題十六 4, 6, 18,柱坐標系中的變量分離解,貝塞爾函數的性質,16.1 貝塞爾微分方程 貝塞爾函數,固定邊界的圓膜振動，混合問題：,1. Bessel 方程的導出,變量分離的特解：,帶入泛定方程 (1)：,逐個分離變量：,本征函數,本征值,Jn(x) 是 n 階貝塞爾函數，其第 m 個正零點為,變量分離的特解,0 時，作變換,n 階 Bessel 方程,=0時,不滿足邊界條件,貝塞爾方程,2.二階常微分方程的正則解,標準形式,若 p(z) 和 q(z) 都在 z0 處解析，則稱 z0 為 方

2、程的常點；否則稱 z0 為方程的奇點,在常點附近，方程具有線性無關的兩個整冪級數解,若 p(z)(z-z0) 和 q(z)(z-z0)2 都在奇點 z0 處解析， 則稱 z0 為方程的正則奇點,(勒讓德方程有常點 z=0),正則奇點附近的冪級數解,正則解的形式,帶入微分方程,指標方程,遞歸關系,指標,(2) 為非負整數，存在非零的正則解 w1(z),(1) 不是整數時，有兩個線性無關的正則解,3.階貝塞爾方程的正則解,x=0 為正則奇點，嘗試正則解,帶入貝塞爾方程 (補充 c-1=c-2=0)：,指標方程,指標,遞歸關系,考慮以下情形的正則解：,最低次冪( k=0 的項) 系數為0 , 不是半

3、整數時, 不是負整數時的正則解,階乘的推廣 函數：,基本性質：,Re z0 時,連乘決：,階 Bessel 函數,取,推廣到= -n 為負整數：,對任何 x0，級數絕對收斂,貝塞爾方程,對非整數的，通解,隨 x 而變,線性無關,對=n 為整數，通解,諾依曼函數 Yn(x) 在 x=0 處發(fā)散,4. 整數階貝塞爾函數 Jn(x),震蕩衰減,有無窮多個正零點,1.Jn(x) 的母函數,16.2 貝塞爾函數的性質,證明：,平面波用柱面波展開( ):,證明：,取 C 為單位圓,積分表示：,展開系數,看作洛朗展開,2. 貝塞爾函數的遞推公式,證明：,推論1：,推論2：,(1) 運用,例1：計算,解：,(

4、2) 運用,例2：計算,解：積分表示,完成對 x 的積分：,1. Bessel 函數的正零點分布,Jn(x) 的零點都是實數，有無窮多個正零點,特征1：相鄰階的貝塞爾函數正零點交替出現,上標：Bessel 函數的階；下標：正零點的序號,特征2：每個正零點都是孤立零點，重數為 1,特征3：漸進公式,16.3 按貝塞爾函數展開,2. Bessel 函數的正交歸一性，完備性,n 階貝塞爾函數序列,在 0, l 帶權 r 正交：,完備性：若 f(r) 在 0, l 上有分段連續(xù)的二階導數， f(l)=0，則有展開,展開系數,對,證明：,時，左端積分為零,時，,(i),(ii),(洛必達法則),3. 圓

5、膜振動問題,已知解的疊加形式,正交關系 ,16.4 第二類和第三類貝塞爾函數,第一類柱函數： (Bessel 函數),對非整數的， 線性無關,第二類柱函數： (Neuman 函數),洛必達法則 ,Yn(x) 滿足 n 階 Bessel 方程，與 Jn(x) 線性無關,對參數求微分：,Neuman 函數的表達式：,第三類柱函數： (Hankel 函數),在 x=0 附近的奇異性：,漸進公式：,半奇數階 Bessel 函數,將遞推關系改寫為：,應用 n 次：,取 = 1/2 ,球 Bessel 函數,三維球的簡諧振動,滿足赫姆霍茲方程,變量分離的特解：,徑向方程,作變換,l+1/2 階 Bessel