1、第四節(jié) 一次同余式教學(xué)目的：1、掌握同余方程的基本概；2、掌握一次同余方程基本性質(zhì)；3、求解一次同余方程.教學(xué)重點(diǎn)：1、一次同余方程基本性質(zhì)；2、求解一次同余方程.教學(xué)課時(shí)：4課時(shí)教學(xué)過(guò)程本節(jié)要介紹同余方程的基本概念及一次同余方程. 在這里，我們總假定m是正整數(shù).1、定義1 設(shè)f(x) = anxn + L + a1x + a0是整系數(shù)多項(xiàng)式，稱(chēng)f(x) 0 (mod m) (1)是關(guān)于未知數(shù)x的模m的同余方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為模m的同余方程.若an0 (mod m)，則稱(chēng)為n次同余方程.2、定義2 設(shè)x0是整數(shù)，當(dāng)x = x0時(shí)式(1)成立，則稱(chēng)x0是同余方程(1)的解. 凡關(guān)于模m同余的解，被視為同

2、一個(gè)解. 同余方程(1)的解數(shù)是指它的關(guān)于模m互不同余的所有解的個(gè)數(shù)，也即在模m的一個(gè)完全剩余系中的解的個(gè)數(shù).由定義2，我們知道同余方程(1)的解數(shù)不超過(guò)m.3、定理1 下面的結(jié)論成立：() 設(shè)b(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，則同余方程(1)與f(x) + b(x) b(x) (mod m)等價(jià)；() 設(shè)b是整數(shù)，(b, m) = 1，則同余方程(1)與bf(x) 0 (mod m)等價(jià)；() 設(shè)m是素?cái)?shù)，f(x) = g(x)h(x)，g(x)與h(x)都是整系數(shù)多項(xiàng)式，又設(shè)x0是同余方程(1)的解，則x0必是同余方程g(x) 0 (mod m) 或 h(x) 0 (mod m)的解.4、定理2 設(shè)

3、，則同余方程ax b (mod m) (2)恰有一個(gè)解.證明：略.5、定理3 在定理2的條件下，同余方程(2)的唯一解.證明：略.6、定理4 設(shè)a，b是整數(shù)，a0 (mod m). 則同余方程ax b (mod m) (2)有解的充要條件是(a, m)b. 若有解，則恰有d = (a, m)個(gè)解.證明：顯然，同余方程等價(jià)于不定方程ax + my = b， (3)因此，第一個(gè)結(jié)論可由二元一次不定方程有解條件得出.若同余方程有解x0，則存在y0，使得x0與y0是方程(3)的解，此時(shí)，方程(3)的全部解是，tZ. (4)由 (4) 式所確定的x都滿(mǎn)足同余方程（2）. 記d = (a, m)，以及t

4、= dq + r，qZ，r = 0, 1, 2, L, d - 1，則x = x0 + qm +(mod m)，0 r d - 1.容易驗(yàn)證，當(dāng)r = 0, 1, 2, L, d - 1時(shí)，相應(yīng)的解對(duì)于模m是兩兩不同余的，所以同余方程（2）恰有d個(gè)解. 證畢在定理的證明中，同時(shí)給出了解方程（2）的方法，但是，對(duì)于具體的方程，常?？刹捎貌煌姆椒ㄈソ?例1 設(shè)(a, m) = 1，且存在整數(shù)y，使得ab + ym，則x (mod m)是方程(2)的解.解：直接驗(yàn)算，有ax b + ym b (mod m).注：例1說(shuō)明，求方程(2)的解可以轉(zhuǎn)化為求方程my -b (mod a) (5)的解，這有

5、兩個(gè)便利之處：第一，將一個(gè)對(duì)于大模m的同余方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)于小模a的同余方程，因此有可能通過(guò)對(duì)模a的完全剩余系進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證，以求出方程(5)和(2)的解；第二，設(shè)m r (mod a)，r 0，且(a, m) = 1，a1是m對(duì)模a的最小非負(fù)剩余，則同余方程a1x -b(mod m) (7)等價(jià)于同余方程(2).解：設(shè)x是(2)的解，則由m =+ a1得到(mod m)，即x是同余方程(7)的解.但是由假設(shè)條件可知同余方程(2)與(7)都有且只有一個(gè)解. 所以這兩個(gè)同余方程等價(jià).注：用本例的方法，可以將同余方程(2)轉(zhuǎn)化成未知數(shù)的系數(shù)更小一些的同余方程，從而易于求解.例4 解同余方程6x 7

6、(mod 23).解：由例3，依次得到6x 7 (mod 23) 5x -73 2 (mod 23) 3x -24 -8 (mod 23) 2x -8(-7) 10 (mod 23) x 5 (mod 23).例5 設(shè)(a, m) = 1，并且有整數(shù)d 0使得a d 1 (mod m)，則同余方程(2)的解是 x ba d - 1 (mod m).解：直接驗(yàn)證即可.例6 解同余方程81x3 + 24x2 + 5x + 23 0 (mod 7).解：原同余方程即是-3x3 + 3x2 - 2x + 2 0 (mod 7).用x = 0，1，2，3逐個(gè)代入驗(yàn)證，得到它的解是x1 1，x2 2，x3

7、 -2 (mod 7).注：本例使用的是最基本的解同余方程的方法，一般說(shuō)來(lái)，它的計(jì)算量太大，不實(shí)用.例7 解同余方程組. (8)解：將(8)的前一式乘以2后一式乘以3再相減得到19y -4 (mod 7)，5y -4 (mod 7)，y 2 (mod 7).再代入(8)的前一式得到3x + 10 1 (mod 7)，x 4 (mod 7).即同余方程組(8)的解是x 4，y 2 (mod 7).例8 設(shè)a1，a2是整數(shù)，m1，m2是正整數(shù)，證明：同余方程組 (9)有解的充要條件是a1 a2 (mod (m1, m2). (10)若有解，則對(duì)模m1, m2是唯一的，即若x1與x2都是同余方程組(9)的解，則x1 x2 (mod m1, m2). (11)解：必要性是顯然的. 下面證明充分性若式(10)成立，則同余方程m2y a1 - a2 (mod m1)有解y y0 (mod m1)，記x0 = a2 + m2y0，則x0 a2 (mod m2)并且x0 = a2 + m2y0 a2