1、.初中列方程解應用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、 速度、時間這三個量有關(guān)的問題。 我們常用的基本公式是 :路程速度時間；速度路程時間；時間路程速度.行程問題是個非常龐大的類型 ,多年來在考試中屢用不爽 ,所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習 ,熟悉了行程問題的學生 ,在多種類型的習題面前都會顯得得心應手。 下面我們將行程問題歸歸類， 由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例 1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運行速度從 80km/ h 提高到 100km/ h ,運行時間縮短了 3h 。甲，乙兩城市間的路程是多少 ?【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為

2、x km ,那么列車在兩城市間提速前的運行時間為 x h ，提速后的運行時間為x h .80100=縮短的時間 .【等量關(guān)系式】 提速前的運行時間提速后的運行時間【列出方程】xx3 .80 100例 2：某鐵路橋長 1000 m ，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了 1 min ，整列火車完全在橋上的時間共 40s 。求火車的速度和長度?！痉治觥咳绻O(shè)火車的速度為x m/ s ，火車的長度為 y m ，用線段表示大橋和火車的長度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：y100060x1000y40x【等量關(guān)系式】 火車 1min 行駛的路程 =橋長 +火車長；火車 40s行駛的路

3、程 =橋長 -火車長60x1000y【列出方程組】40x1000y.舉一反三：1小明家和學校相距 15km。小明從家出發(fā)到學校，小明先步行到公共汽車站，步行的速度為 60 m/ min ，再乘公共汽車到學校，發(fā)現(xiàn)比步行的時間縮短了 20 min ，已知公共汽車的速度為 40km/ h，求小明從家到學校用了多長時間。2根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運專線項目建成后，連云港至徐州的最短客運時間由現(xiàn)在的 2 小時 18 分鐘縮短為 36 分鐘，其速度每小時將提高 260km .求提速后的火車速度。（精確到 1km/ h ）.3徐州至上海的鐵路里程為650km，從徐州乘 ”C “字頭列車

4、A，”D”字頭列車 B 都可直達上海，已知 A 車的速度為 B 車的 2 倍，且行駛的時間比 B 車少 2.5h . 求 A 車的速度及行駛時間。（同學們可能會認為這是雙人行程問題，其實這題的類型可歸結(jié)于例 1 的類型，把 B 車的速度看成是 A 提速后的速度，是不是也可看成單人單程的問題呀！ ）4一列勻速前進的火車用 15 秒的時間通過了一個長 300 米的隧道（即從車頭進入隧道到車尾離開隧道） 。又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2. 5 秒，（光速310 8 m / s ）1）求這列火車的長度2）如果這列火車用25 秒的時間通過了另一個隧道，求這個隧道的長.2. 單

5、人雙程（等量關(guān)系式：來時的路程 =回時的路程）：例 1：某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營， 先以 60km/ h 的速度走平路，后又以 30km/ h 的速度爬坡，共用了 6.5h ; 返回時汽車以 40km/ h 的速度下坡，又以 50km/ h 的速度走平路，共用了 6h . 學校距自然保護區(qū)有多遠?！痉治觥咳绻O(shè)學校距自然保護區(qū)為x km ，由題目條件：去時用了6.5h ，則有些同學會認為總的速度為x km / h ，然后用去時走平路的速度 +去時爬坡的速 6.5度 =總的速度，得出方程 60 30 x ，這種解法是錯誤的，因為速度是不能相6.5加的。不妨設(shè)平路的長度為x km ，坡路

6、的長度為 y km ，則去時走平路用了x h ，60去時爬坡用了y h ，而去時總共用了 6.5h ，這時，時間是可以相加的；回來時30汽車下坡用了y h ，回來時走平路用了 x ，而回來時總共用了 6h .則學校到自然4050保護區(qū)的距離為 (xy)km ?！镜攘筷P(guān)系式】 去時走平路用的時間 +去時爬坡用的時間 =去時用的總時間回來時走平路用的時間 +回來時爬坡用的時間 =回來時用的總時間xy6.5【列出方程組】 6030xy65040注：單人雙程的行程問題抓住來時的路程 =回時的路程、路程 =速度時間，再把單人單程的行程問題練練熟就 ok 了，題型跟單人單程的題型差不多，把上面的例題弄懂，

7、這里就不多做練習了。3.雙人行程 :（）單塊應用：只單個應用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時同地同向而行： A,B 兩事物同時同地沿同一個方向行駛例：甲車的速度為 60km/ h ，乙車的速度為 80km/ h ，兩車同時同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距 280km 。【分析】 如果設(shè)經(jīng)過 x h 后兩車相距 280km，則甲走的路程為 60xkm ，乙走的路程為 80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：80x km乙.甲60x km280km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +280= 乙車行駛的距離【列出方程】 60x280280x2）同時同地背向而行：A，B 兩事物同

8、時同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為 60km/ h ，乙車的速度為 80km/ h ，兩車同時同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距280km ?！痉治觥?如果設(shè)經(jīng)過 x h 后兩車相距 280km，則甲走的路程為60xkm ，乙走的路程為 80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲乙60x km80x km280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +乙車行駛的距離 =280【列出方程】 60x 80 x 2803）同時相向而行（相遇問題）:例: 甲，乙兩人在相距 10km 的 A,B 兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的 2 倍，兩人同時處發(fā) 1.5h 后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥?/p>

9、 如果設(shè)甲的速度為xkm/ h ，則乙的速度為 2xkm/ h ，甲走過的路程為 1.5x km ，乙走過的路程為 1.52x km ，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲1.5x km1.5 2x km乙A10 kmB280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +乙車行駛的距離 =10 【列出方程】 1.5x 1.5 2x 104）追及問題：例：一對學生從學校步行去博物館， 他們以 5km/ h 的速度行進 24 min 后，一名教師騎自行車以 15km/ h 的速度按原路追趕學生隊伍。這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了多少時間？【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了 x h

10、，則教師走過的路程為 15x km ，學生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學生在教師出發(fā)前走過的路程為524 km ，學生在教師出發(fā)后60走過的路程為 5x km ，又由于教師走過的路程等于學生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學生5 24 km5x km6015x km教師【等量關(guān)系式】 教師走過的路程 =學生在教師出發(fā)前走過的路程+學生在教.師出發(fā)后走過的路程【列出方程】x245x155605）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：例 :甲，乙兩人都從 A 地出發(fā)到 B 地，甲出發(fā) 1h 后乙才從 A 地出發(fā)，乙出發(fā) 3h 后甲，乙兩人同時到達 B 地，已知

11、乙的速度為 50km/ h ，問，甲的速度為多少？【分析】如果設(shè)甲的速度為 x km/ h ，則乙出發(fā)前甲走過的路程為 x km ，乙出發(fā)后甲走過的路程為 3x km ，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為 50 3km ，甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲x km3x km乙50 3 km【等量關(guān)系式】 乙走過的路程 =乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】 503x3x6）不同時相向而行例：甲，乙兩站相距 448km ，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為 60km/ h ；一列快車從乙站出發(fā)，速度為 100km/

12、h 。兩車相向而行，慢車先出發(fā) 32 min ，快車開出后多少時間兩車相遇？【分 析】 如果 設(shè)快 車開 出后 x h 兩 車 相遇， 則 慢車 走 過的路 程為 60x 60 32 km ，快車走過的路程為 100 x km 。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：60慢車 60 3260x100x快車60448km【等量關(guān)系式】 總路程 =快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程 +快車走過的路程【列出方程】 448 603260x 100 x60注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行、不同時不同地同向而行、 不同時不同地背向而行， 與上面解法類似， 只要畫出示意圖問

13、題就會迎刃而解， 就不再一一給出解答了， 此類問題會在后面練習中給出習題。.（）結(jié)合應用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應用。1）相向而行 +背向而行例： A ， B 兩地相距 36km，小明從 A 地騎自行車到 B 地，小麗從 B 地騎自行車到 A 地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過 1h 后兩人相遇；再過 0.5h ，小明余下的路程是小麗余下的路程的 2 倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？【分析】 如果設(shè)小明騎車的速度為x ，小麗騎車的速度為y ，相遇前小明走過的路程為 x ，小麗走過的路程為y ；相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為0.5x ，小麗走過的路程為0.5y

14、。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：小明小麗相遇前xyA36kmBx-0.5y 0.5y0.5xy-0.5x小麗小明【等量關(guān)系式】 相遇前小明走過的路程 +相遇前小麗走過的路程 =總路程相遇后小明余下的路程 =2相遇后小麗余下的路程xy36【列出方程組】y0.5x2( x0.5y)2)同向而行 +相向而行例：一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以 35 千米 / 時的速度前進，突然， 1 號隊員以 45 千米 / 時的速度獨自行進，行進 10 千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以 45 千米 / 時的速度往回騎，直到與其他隊員會合。 1 號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經(jīng)過了多長時間？【分析】 由題意“ 1

15、號隊員以 45 千米 / 時的速度獨自行進，行進10 千米后掉轉(zhuǎn)車頭” 可知 1 號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時間為10 h ，不妨設(shè) 1 號隊員從45調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合的時間為 x h 。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊員1 號隊員1035x45x354510km【等量關(guān)系式】 1 號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時間所有隊員走的路程+1 號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)所有隊員走的路程+1 號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)1 號隊員走的路程 =10。.【列出方程】351035x45 1045x注：涉及此類問題的還有同向而行 +相背而行、追及 +同向而行、追及

16、+相背而行、追及 +相向而行，只要把它們分成單個類型，按照題意一步一步求解，這里就不一一舉例了，此類問題會在后面練習中給出習題。舉一反三：1.甲，乙兩人從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯 40 級，乙平均每分鐘爬樓梯 50 級，甲先出發(fā) 2 min ，結(jié)果兩人同時到達樓頂。問從樓底到樓頂共有樓梯多少級？2 甲，乙兩人在相距 100m 的兩地相背而行， 30 min 后甲，乙兩人相距 4km ，已知甲的速度為 60m / min ，求乙的速度。.3. 小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4 米，小明每秒跑6 米，（ 1如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小

17、明站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面 10 米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明能追上小彬。.4.一隊學生去校外進行軍事野營訓練。他們以5km/ h 的速度行進，走了18 min 的時候，學校要將一個緊急通知傳給隊長。通訊員從學校出發(fā)，騎自行車以 14km/ h 的速度按原路追上去，隊長出發(fā)后經(jīng)過多少時間接到通知？5.兩輛汽車同時從A 地出發(fā)，沿一條公路開往B 地。甲車比乙車每小時多行 8 千米，甲車比乙車早 40 分鐘到達途中的 C 地，當乙車到達 C 地時，甲車正好到達 B 地。已知 C 至 B 地的路程是 40 千米，求乙車每小時行多少 km ？.6.A，B 兩地相距 450km ，甲，

18、乙兩車分別從 A ，B 兩地同時出發(fā)，相向而行。已知甲車速度為 120km/ h ，乙車速度為 80km/ h ，經(jīng)過多少小時兩車相距 50km 。7甲乙兩車同時從A 地出發(fā)，在相距 900 千米的 AB 兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是每小時25 千米，乙車的速度是每小時20 千米。請問：（ 1）甲車第一次從后面追上乙車是在出發(fā)后多長時間？（ 2）甲車在第一次從后面追上乙車之后又經(jīng)過多長時間第二次從后面追上乙車？（ 3）甲乙兩車第二次迎面相遇是在出發(fā)后多長時間？.4.行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學們做起來覺得無從下手。其實只要把路程看做單位

19、“ 1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解） ，這就相當于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從 A 地到 B 地需要 6h ，乙開汽車從 A 地到 B 地需要 4h ，如果甲，乙兩人分別從 A ， B 兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇?！痉治觥?題目中就時間已知，速度、路程都未知，有些同學想如果知道A 與B 的距離，就可以得出 A 與 B 的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無論取什么值， 都經(jīng)過相同的時間兩車相遇呢？為此， 我們不妨設(shè) A與B的距離為 a ,經(jīng)過 xh 后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：axaxa ，可以把兩邊的 a 消去，得到方程 xx 1

20、，立馬得出 x12 。64645說明路程無論取什么值， 都經(jīng)過相同的時間兩車相遇。 遇到類似問題， 我們往往把路程看做單位“ 1”。舉一反三：1.甲從 A 地到 B 地需要 3h ，乙從 A 地到 B 地需要 4h ，甲，乙兩人同時從 A 地出發(fā)，甲先到達 B 地后掉頭向 A 方向行駛，問，甲，乙兩人從 A 地同時出發(fā)到兩人相遇需要多長時間？2.甲開汽車從 A 地到 B 地需 2h ，乙騎摩托車從 B 地到 A 地需 3h 。如果乙騎摩托車從 B 地出發(fā)往 A 地，1h 后甲開汽車從 A 地往 B 地，那么甲出發(fā)多少時間與乙相遇？.5.環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題

21、就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時同地出發(fā)，同向而行，當?shù)谝淮蜗嘤鰰r，兩人所走路程差為一周長；相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為一周長。例 1：運動場跑道周長 400m ，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?5 倍，他們從同一3地點沿跑道的同一方向同時出發(fā)， 5 min 后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過 5min 兩人第二次相遇呢？如果不是， 請說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹閤 m / min ，則小紅的跑步速度為5 x m / min3【等量關(guān)系式】 小紅跑的路程爺爺跑的路程=400m【列出方程】 55 x 5x 400

22、3注：再過 5 min 兩人第二次相遇，用上面那個方程式就可以表示出來。例 2：甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長為 600m 的圓形軌道上運動。甲車的速度較快， 當兩車反向運動時， 每15s 相遇一次 ;當兩車同向運動時， 每 1min 相遇一次，求兩車的速度?！痉治觥?設(shè)甲，乙兩車的速度分別為x m / s 和 y m/ s?！镜攘筷P(guān)系式】 同向而行甲所走的路程 -同向而行乙所走的路程 =一周長反向而行甲所走的路程 +同向而行乙所走的路程 =一周長15x15 y600【列出方程組】60x60y600舉一反三：1.甲，乙兩人在周長 400m 長的環(huán)形跑道上競走， 已知乙的速度是 80m / min ，.甲的速度是乙的1.25 倍，乙在甲前 100m。問多少分鐘后，甲可以追上乙？2.甲，乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行，每隔 2 min 相遇一次 ;同向而行，每隔 6 min 相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲，乙兩人每分鐘個跑幾圈？6.水流問題一般是研究船在 “流水 ”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。基本概念和公式有：船速：船在靜水中航行的速度水速：水流動的速度順水速度：船順流航行的速度逆水速度：船逆流航行的速度順速