1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)奶制品的生產(chǎn)與銷售模型 奶制品的生產(chǎn)與銷售模型摘 要隨著社會(huì)的發(fā)展，人們的生活水平逐漸提高，對(duì)奶制品的要求也不斷提高，因此，企業(yè)生產(chǎn)越來越注重對(duì)人們需求的供給，合理分配資源，獲取最大利潤。根據(jù)本題的基本信息，提出奶制品的生產(chǎn)與銷售模型，這個(gè)優(yōu)化問題的目標(biāo)時(shí)使每天的獲利最大，要作的決策時(shí)生產(chǎn)計(jì)劃，即每天用多少桶牛奶生產(chǎn)A1，用多少桶牛奶生產(chǎn)A2（也可以時(shí)每天生產(chǎn)多少公斤A1，多少公斤A2）,但存在著幾個(gè)問題的制約，采用最小二乘的模型求解方法，按照題目所給，將決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件用數(shù)學(xué)符號(hào)及式子表示出來，就可得到模型最優(yōu)解，解決實(shí)際問題，使資源分配合理，并利用效益最大化。關(guān)鍵字

2、：生產(chǎn)要求 最優(yōu)解 最小二乘法 一 問題重述問題一 一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1、A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用12小時(shí)加工成3公斤A1，或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4公斤A2。根據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)的A1、A2能全部售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，并且設(shè)備甲每天至多能加工100公斤A1，設(shè)備乙的加工能力沒有限制。試為該廠制定一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大，并進(jìn)一步討論以下3個(gè)附加問題：1）若用35元可以購買到1桶牛奶，應(yīng)否作這項(xiàng)投資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶？2）若可以聘用臨時(shí)工人以增加

3、勞動(dòng)時(shí)間，付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元？3）由于市場(chǎng)需求變化，每公斤A1的獲利增加到30元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？問題二 為增加工廠的獲利，開發(fā)了奶制品的深加工技術(shù)：用2小時(shí)和3元加工費(fèi)，可將1公斤A1加工成0.8公斤高級(jí)奶制品B1，也可將1公斤A2加工成0.75公斤高級(jí)奶制品B2，每公斤B1能獲利44元，每公斤B2能獲利32元。試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)銷售計(jì)劃，是每天的凈利潤最大，并討論以下問題：1）若投資30元可以增加供應(yīng)1桶牛奶，投資3元可以增加1小時(shí)勞動(dòng)時(shí)間，應(yīng)否作這些投資？若每天投資150元，可賺回多少？2）每公斤高級(jí)奶制品B1，B2的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)制訂的生產(chǎn)銷售計(jì)劃有無影

4、響？若每公斤B1的獲利下降10%，計(jì)劃應(yīng)該變化嗎？二 問題分析問題一 這個(gè)優(yōu)化問題的目標(biāo)時(shí)使每天的獲利最大，要作的決策時(shí)生產(chǎn)計(jì)劃，即每天用多少桶牛奶生產(chǎn)A1，用多少桶牛奶生產(chǎn)A2（也可以時(shí)每天生產(chǎn)多少公斤A1，多少公斤A2），決策受到3個(gè)條件的限制：原料（牛奶）供應(yīng)、勞動(dòng)時(shí)間、甲類設(shè)備的加工能力。按照題目所給，將決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件用數(shù)學(xué)符號(hào)及式子表示出來，就可得到下面的模型。問題二 要求制訂生產(chǎn)銷售計(jì)劃，決策變量可以像例1那樣，取作每天用多少桶牛奶生產(chǎn)A1、A2，再添上用多少公斤A1加工B1，用多少斤A2加工B2，但是由于問題要分析B1、B2的獲利對(duì)生產(chǎn)銷售計(jì)劃的影響，所以決策變量取

5、作A1，A2，B1，B2每天的銷售量更方便。目標(biāo)函數(shù)是工廠每天的凈利潤A1、A2、B1、B2的獲利之和扣除深加工費(fèi)用。約束條件基本不變，只是要添上A1，A2深加工時(shí)間的約束。再與例1類似的假定下用線性規(guī)劃模型解決這個(gè)問題。三 基本假設(shè)1. A1,A2兩種奶制品每公斤的獲利是與他們各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)，每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和所需的時(shí)間是與它們各自的產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)；2. A1,A2每公斤的獲利是與它們相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)，每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和所需的時(shí)間是與他們相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)；3. 加工A1,A2的牛奶的桶數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)。四 模型的變量與符號(hào)說明 問題一符號(hào)符號(hào)說明X1每

6、天用來生產(chǎn)A1的牛奶桶數(shù)X2每天用來生產(chǎn)A2的牛奶桶數(shù)z每天的獲利問題二符號(hào)符號(hào)說明X1每天銷售A1的公斤數(shù)X2每天銷售A2的公斤數(shù)X3X4X5X6z每天銷售B1的公斤數(shù)每天銷售B2的公斤數(shù)每天用 A1加工B1的A1公斤數(shù)每天用 A2加工B2的A2公斤數(shù)每天的凈利潤五 模型的建立與求解5.1模型的建立與求解問題一 由上述問題分析可建立加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃的模型并進(jìn)行求解：設(shè)每天用x1桶牛奶生產(chǎn)A1，用x2桶牛奶生產(chǎn)A2；每天獲利為z元.x1桶牛奶可生產(chǎn)3x1公斤A1，獲利24*3x1，x2桶牛奶可生產(chǎn)4x2公斤A2，獲利16*4x2，z=72x1+64x2；我們的目標(biāo)是求出當(dāng)x1,x2滿足下列

7、約束條件時(shí)z的最大值，及相應(yīng)的x1,x2的取值。約束條件為：1.原料供應(yīng)：生產(chǎn)A1，A2的總加工時(shí)間不得超過每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間，即12x1+8x2=480小時(shí)；2.勞動(dòng)時(shí)間：生產(chǎn)A1，A2的原料（牛奶）總量不得超過每天的供應(yīng)，即x1+x2=50桶；3.設(shè)備能力：A1的產(chǎn)量不得超過甲類設(shè)備每天的加工能力，即3x=0，x2=0.由此得基本模型：Max z=72x1+64x2 Stx1+x2=50 12x1+8x2=480 3x1=0,x2=0.用LINDO軟件求解，可得到如下輸出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3

8、360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20. 0. X2 30. 0. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0. 48. 3) 0. 2. 4) 40. 0. NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72. 24. 8. X2 64. 8. 16. RIGHTHAND SID

9、E RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50. 10. 6. 3 480. 53. 80. 4 100. INFINITY 40. 上面結(jié)果的第3,5,6行明確地告訴我們，這個(gè)現(xiàn)行規(guī)劃的最優(yōu)解為x1=20,x2=30,最優(yōu)值為z=3360,即用20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶牛奶生產(chǎn)A2，可獲最大利潤3360元。問題二 由上述問題分析可建立奶制品生產(chǎn)銷售計(jì)劃的模型并進(jìn)行求解：設(shè)每天銷售公斤，公斤，公斤，公斤，用公斤加工，公斤加工。設(shè)： 其中z表示的是每天凈利潤，我們的目標(biāo)是求出當(dāng)x1,x2,x3,x4,x5,x

10、6滿足下列約束條件時(shí)z的最大值，及相應(yīng)的x1,x2,x3,x4,x5,x6的取值。約束條件為：1 原料供應(yīng)：A1每天生產(chǎn)x1+x5公斤，用牛奶（x1+x5）/3桶，A2每天生產(chǎn)x2+x6公斤，用牛奶（x2+x6）/4桶，二者之和不得超過每天的供應(yīng)量50桶；即2 勞動(dòng)時(shí)間：每天生產(chǎn)A1，A2的時(shí)間分別為4（x1+x5）和2（x2+x6），加工B1，B2的時(shí)間分別為2x5和2x6，二者之和不得超過總的勞動(dòng)時(shí)間480小時(shí)；即3 設(shè)備能力：A1的產(chǎn)量x1+x5不得超過甲類設(shè)備每天的加工能力100公斤；即4 非負(fù)約束：x1,x2,x6均為非負(fù).即5 附加約束：1公斤A1加工成0.8公斤B1，故x3=0.

11、8x5,類似地x4=0.75x6.即由此得基本模型：Max s.t. 用LINDO軟件求解，可得到如下輸出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0. 1. X2 168. 0. X3 19. 0. X4 0. 0. X5 24. 0. X6 0. 1. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0. 3. 3) 0. 3. 4) 76. 0. 5) 0. 44. 6) 0. 32. NO. ITERATIONS=

12、 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24. 1. INFINITY X2 16. 8. 2. X3 44. 19. 3. X4 32. 2. INFINITY X5 -3. 15. 2. X6 -3. 1. INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

13、2 600. 120. 280. 3 480. 253. 80. 4 100. INFINITY 76. 5 0. INFINITY 19. 6 0. INFINITY 0. 最優(yōu)解為x1=0,x2=168,x3=19.2,x4=0,x5=24,x6=0，最優(yōu)值為z=3460.8.即每天生產(chǎn)銷售168公斤A2和19.2公斤B1（不出售A1，B2），可獲凈利潤3460.8元.為此，需用8桶牛奶加工成A1,42桶加工成A2，并將得到的24公斤A1全部加工成B1.5.3 模型檢驗(yàn) 根據(jù)多項(xiàng)式的曲線擬合原理，其本身就體現(xiàn)了最小二乘法，在擬合多項(xiàng)式最高次數(shù)的選擇上，我們更是多次試驗(yàn)，擇優(yōu)而選擇，使其更加

14、逼近以前的數(shù)據(jù)，所以說，從最小二乘法原理方面檢驗(yàn)，它的誤差是在=0.05之內(nèi)的，模型可行。六 模型評(píng)價(jià)與推廣本模型的優(yōu)點(diǎn):1.本模型的優(yōu)點(diǎn):1. 在進(jìn)行奶制品的生產(chǎn)與銷售模型中，采用最小二乘的方法在奶制品生產(chǎn)問題上，合理建立模型，保證了模型的準(zhǔn)確性和正確性。2. 在數(shù)據(jù)處理上，采用簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理，解決了實(shí)際的奶制品的生產(chǎn)與銷售模型。 3.在此題求解過程中，假設(shè)多個(gè)變量，考慮到多個(gè)因素的存在，運(yùn)用了多種可能的模型，使得問題的求解的合理性大為提高。不足點(diǎn): 本模型采用多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合,但并沒有論證它的優(yōu)越性,而且也有可能出現(xiàn)多種最優(yōu)解，也沒有考慮是否有更好的擬合函數(shù)模型推廣：企業(yè)內(nèi)部的生產(chǎn)計(jì)劃有

15、各種不同的情況。從空間層次看，在工廠級(jí)要根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標(biāo)制訂產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，在車間級(jí)則要根據(jù)產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)作業(yè)計(jì)劃。從時(shí)間層次看，若在短時(shí)間內(nèi)認(rèn)為外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計(jì)劃，否則就要制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。這個(gè)模型可以推廣到諸多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中，各種經(jīng)濟(jì)指數(shù)在短時(shí)間內(nèi)多呈現(xiàn)出波動(dòng)性，然而在整個(gè)宏觀時(shí)間區(qū)域上，卻可以認(rèn)為這些經(jīng)濟(jì)指數(shù)是按照一定規(guī)律變化的。所以，我們可以采用同樣的方法，對(duì)各種經(jīng)濟(jì)指數(shù)進(jìn)行宏觀的分析。首先將影響數(shù)據(jù)的因數(shù)進(jìn)行分類，然后逐漸對(duì)各個(gè)因素進(jìn)行分析，采用最小二乘法擬合找出其隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，接著，對(duì)所需要預(yù)測(cè)的問題進(jìn)行綜合的預(yù)測(cè)，進(jìn)而求解經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中的該類問題。七 參考文獻(xiàn)1姜啟源等，數(shù)學(xué)模型，第三版，高等教育出版社2劉衛(wèi)國等，Matl