1、,常系數(shù),第七節(jié),齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉化,第七章,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱為微分方程的特征方程,1. 當,時, 有兩個相異實根,方程有兩個線性無關的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,特征方程,2. 當,時, 特征方程有兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,特征方程,3. 當,時, 特征方程有一對共軛復根,這時原方程有兩個復

2、數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:,因此原方程的通解為,小結:,特征方程:,實根,以上結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,若特征方程含 k 重復根,若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項,則其通解中必含,對應項,特征方程:,推廣:,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,例3.,解:,質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始,求物體的運動規(guī)律,立坐標系如圖,設 t = 0 時物體的位置為,取其平

3、衡位置為原點建,因此定解問題為,由第六節(jié)例1 (P323) 知, 位移滿足,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始條件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 無阻尼自由振動情況 ( n = 0 ),解的特征:,簡諧振動,A: 振幅, : 初相,周期:,固有頻率,(僅由系統(tǒng)特性確定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,這時需分如下三種情況進行討論:,2) 有阻尼自由振動情況,大阻尼: n k,臨界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,小阻尼自由振動解的特征 :,由初始條件確定任意常數(shù)后變形,運動周期:,振幅:,衰減很快,隨時間 t 的增大物體 趨于平衡位置.,大阻尼解的特

4、征:,( n k ),1) 無振蕩現(xiàn)象;,此圖參數(shù):,2) 對任何初始條件,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,臨界阻尼解的特征 :,( n = k ),任意常數(shù)由初始條件定,最多只與 t 軸交于一點;,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,2) 無振蕩現(xiàn)象 ;,此圖參數(shù):,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,例6.,解: 特征方程:,即,其根為,方程通解 :,例7.,解: 特征方程:,特征根為,則方程通解 :,內(nèi)容小結,特征根:,(1) 當,時, 通解為,(2) 當,時, 通解為,(3) 當,時, 通解為,可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .,思考與練習,求方程,的通解 .,答案:,通解為,通解為,通解為,作業(yè) P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,第八節(jié),備用題,為