1、問題7平面向量中最值、范圍問題一、考情分析平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題,此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識的交匯組合其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合二、經(jīng)驗分享1.利用平面向量的數(shù)量積可以解決幾何中的垂直、夾角、長度等問題,即只需將問題轉(zhuǎn)化為向量形式,用向量的運(yùn)算來求解.如果能夠建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更為簡捷.1.平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解

2、題策略2.幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用求解(較難)；建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.3坐標(biāo)是向量代數(shù)化的媒介,通過向量的坐標(biāo)表示可將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決,而坐標(biāo)的獲得通常要借助于直角坐標(biāo)系.對于某些平面向量問題,若能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,可以使圖形中復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為

3、簡單明朗的代數(shù)關(guān)系,減少推理過程,有效地降低思維量,起到事半功倍的效果上面兩題都是通過建立坐標(biāo)系將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式問題求解,體現(xiàn)了向量解題的工具性.三、知識拓展1.2 四、題型分析(一) 平面向量數(shù)量積的范圍問題已知兩個非零向量和,它們的夾角為,把數(shù)量叫做和的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.即=,規(guī)定,數(shù)量積的表示一般有三種方法：(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即=；(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則abx1x2y1y2；（3）運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后,再運(yùn)算【例1】【江蘇省蘇州市2019屆高三上

4、學(xué)期期末】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的兩個動點(diǎn)，且BMDNMN，則的最小值是_【答案】【分析】由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，則向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，則向量，所以又由，則，整理得，又由，設(shè)，整理得，解得，所以，所以的最小值為.【點(diǎn)評】與幾何圖形有關(guān)的平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用，常通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解【小試牛刀】【江蘇省鹽城中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期末】已知的周長為6,且成等比數(shù)列,則的取值范圍是_【答

5、案】【解析】因為成等比數(shù)列,所以,從而,所以,又,即,解得,故. (二) 平面向量模的取值范圍問題 設(shè),則,向量的?？梢岳米鴺?biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長度,過可結(jié)合平面幾何知識求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求【例2】已知向量滿足 與的夾角為, ,則的最大值為 .【分析】根據(jù)已知條件可建立直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)點(diǎn)（向量）,確定變量滿足的等式和目標(biāo)函數(shù)的解析式,結(jié)合平面幾何知識求最值或范圍.【解析】設(shè)；以O(shè)A所在直線為x,O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, 與的夾角為,則A（4,0）,B（2,2）,設(shè)C（x,y）,x2+y2-6x-2y+9

6、=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）為圓心,以1為半徑的圓,表示點(diǎn)A,C的距離即圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A（4,0）的距離；圓心到B的距離為,的最大值為【點(diǎn)評】建立直角坐標(biāo)系的原則是能準(zhǔn)確快捷地表示有關(guān)向量或點(diǎn)的坐標(biāo),正確找到變量間的關(guān)系,以及目標(biāo)函數(shù)代表的幾何意義是解題關(guān)鍵【小試牛刀】【2018屆山東省濟(jì)南高三上學(xué)期期末】已知平面上的兩個向量和滿足, ,且, ,若向量,且,則的最大值為_【答案】【解析】因為, ,且, , ,如圖,取中點(diǎn),則, , ,由可得, , 在以為圓心, 為半徑的圓上, 當(dāng), 共線時最大, 的最大值為,故答案為.(三) 平面向量夾角的取值范圍問題設(shè),且的夾角為,則

7、【例3】已知向量與的夾角為,時取得最小值,當(dāng)時,夾角的取值范圍為_. 【分析】將表示為變量的二次函數(shù),轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值問題,當(dāng)時,取最小值,由已知條件,得關(guān)于夾角的不等式,解不等式得解【解析】由題意知, , ,所以,由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知,當(dāng)上式取最小值時,.由題意可得, ,求得,所以.【點(diǎn)評】求變量的取值范圍、最值,往往要將目標(biāo)函數(shù)用某個變量表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,期間要注意變量之間的關(guān)系,進(jìn)而得解【小試牛刀】已知非零向量滿足 ,若函數(shù)在R 上存在極值,則和夾角的取值范圍為 【答案】【解析】,設(shè)和夾角為,因為有極值,所以,即,即,所以（四）平面向量系數(shù)的取值范圍問題平面向量

8、中涉及系數(shù)的范圍問題時,要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關(guān)系,通過列不等式或等式得系數(shù)的不等式,從而求系數(shù)的取值范圍【例4】已知,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是 【分析】與的夾角為銳角等價于,且與不共線同向,所以由,得,再除去與共線同向的情形【解析】由于與的夾角為銳角,且與不共線同向,由,解得,當(dāng)向量與共線時,得,得,因此的取值范圍是且【點(diǎn)評】注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別,向量夾角的范圍是,而三角形內(nèi)角范圍是,向量夾角是銳角,則且,而三角形內(nèi)角為銳角,則【小試牛刀】【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三10月月考】如圖,在中,.（1）求的值；（2）設(shè)點(diǎn)在以為圓心, 為半徑的圓弧上運(yùn)動,且,其

9、中.求的取值范圍.【解析】（1）.（2）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo),則.設(shè),由,得.所以.所以.因為,所以,當(dāng)時,即時, 的最大值為；當(dāng)或即或時, 的最小值為.五、遷移運(yùn)用1【江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州、蘇北四市七市2019屆高三第一次（2月)模擬】在平面四邊形中，則的最小值為_【答案】【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0），B（1,0），因為DADB，可設(shè)D（，m），因為，AB1，由數(shù)量積的幾何意義知在方向的投影為3，可設(shè)C（3，n），又所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即n1，m時，取等號，故答案為.2【江蘇省無錫市2019屆高三上學(xué)期期末】已知點(diǎn) P 在圓 M： (x-a)2 +(y

10、a+2)2 1 上， A，B 為圓 C： x2 +(y-4)2 4 上兩動點(diǎn)，且 AB 2, 則 的最小值是_【答案】【解析】取AB的中點(diǎn)D，因為AB 2，R2，CD1，所以，.C（0,4），M（a，a2）當(dāng)C、D、P、M在一條直線上時，PD最小，此時，PDCMCDPM所以，1912，當(dāng)a3時取到最小值1912.故答案為：.3【江蘇省清江中學(xué)2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為圓上的兩動點(diǎn)，且若圓上存在點(diǎn)使得則正數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】設(shè)BD的中點(diǎn)為D,所以所以點(diǎn)D在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，所以點(diǎn)D的軌跡方程為，因為，所以設(shè)所以所以m表示動點(diǎn)到點(diǎn)（1

11、,1）的距離，由于點(diǎn)在圓上運(yùn)動，所以，所以正數(shù)m的取值范圍為.故答案為：4【江蘇省如皋市2018-2019學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研】在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，若，則的最小值是_【答案】【解析】根據(jù)D為AB的中點(diǎn)，若，得到，化簡整理得，即，根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)一步求得，所以 ，求導(dǎo)可得當(dāng)時，式子取得最大值，代入求得其結(jié)果為 ，故答案為.5【江蘇省常州2018屆高三上學(xué)期期末】在中, , , , 為內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）,若滿足,則的取值范圍為_【答案】【解析】由余弦定理,得,因為為內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）,且滿足,所以,則.6【江蘇省南通市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研】如圖,已知矩形的邊長, .點(diǎn)

12、, 分別在邊, 上,且,則的最小值為_.【答案】【解析】以A坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè) 所以 因為,所以 因為,所以 因此 7【江蘇省如皋市2017-2018學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研】已知點(diǎn)是邊長為的正三角形內(nèi)切圓上的一點(diǎn),則的取值范圍為_.【答案】【解析】以正三角形的中心為原點(diǎn),以邊上的高為軸建立坐標(biāo)系,則,正三角形內(nèi)切圓的方程為,所以可設(shè),則, ,故答案為.8【南京市、鹽城市2018屆高三年級第一次模擬考試】如圖是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分,正六邊形的邊長均為1,正六邊形的頂點(diǎn)稱為“晶格點(diǎn)”若四點(diǎn)均位于圖中的“晶格點(diǎn)”處,且的位置所圖所示,則 的最大值為_【

13、答案】24【解析】先建立直角坐標(biāo)系,由向量投影知 取最大值時,即 9【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三12月月考】已知單位向量, 的夾角為,那么（）的最小值是_【答案】【解析】 的最小值為. 10【江蘇省溧陽市2017-2018學(xué)年高三第一學(xué)期階段性調(diào)研】扇形中,弦為劣弧 上的動點(diǎn), 與交于點(diǎn),則的最小值是_【答案】【解析】設(shè)弦AB中點(diǎn)為M,則若同向,則,若反向,則,故的最小值在反向時取得,此時,則：,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即的最小值是.11已知為圓的直徑,為圓的弦上一動點(diǎn),則的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：,而,所以的取值范圍是12在中, ,則角的最大值為_. 【答案】【解析】試題分析:由題

14、設(shè)可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以,應(yīng)填答案.13在平面內(nèi),定點(diǎn)滿足,動點(diǎn)滿足,則的最大值是_.【答案】【解析】試題分析:設(shè),則.由題設(shè)可知,且.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,由題意點(diǎn)在以為圓心的圓上,點(diǎn)是線段的中點(diǎn).故結(jié)合圖形可知當(dāng)與圓相切時,的值最大,其最大值是.應(yīng)填答案. 14【2018屆江蘇省泰州中學(xué)高三12月月考】在矩形中, , ,若, 分別在邊, 上運(yùn)動（包括端點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是_【答案】1,9【解析】分別以AB,AD為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,則,設(shè),因為,所以 ,則, 故,所以,故填1,9.15.在中,點(diǎn)在線段的延長線上,且,點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合）,若,則的取值范圍是_【答案】【解析】 因為, 因為,點(diǎn)在線段上, 所以, 因為,所以.