1、2.8 函數(shù)模型及其應(yīng)用,高考數(shù)學(xué),考點(diǎn)函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用 1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度的比較:一般地,在區(qū)間(0,+)上,盡管函數(shù)y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函數(shù),但是它們的增長(zhǎng)速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大,y=ax(a1)的增長(zhǎng)速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n0)的增長(zhǎng)速度;而y=logax(a1)的增長(zhǎng)速度會(huì)越來越慢.因此,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),有l(wèi)ogax1,n0). 2.函數(shù)模型及其應(yīng)用 (1)常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型.,知

2、識(shí)清單,(2)函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例的基本類型: 給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題; 建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題; 建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題. (3)函數(shù)建模的基本流程,建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題 1.在現(xiàn)實(shí)生活中,有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系,對(duì)這類問題,可以構(gòu)建一次函數(shù)模型,其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0).有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系,如面積問題、利潤(rùn)問題、產(chǎn)量問題等.對(duì)這些問題,可以構(gòu)建二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決. 2.當(dāng)兩變量之間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式表示,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成時(shí),可以構(gòu)造分段函數(shù)

3、模型,先將其作為幾個(gè)不同問題,將各段的變化規(guī)律找出來,再將其合在一起,要注意各段自變量的范圍,特別是端點(diǎn)值. 3.指數(shù)函數(shù)模型常與人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等相結(jié)合進(jìn)行考,方法技巧,查;而對(duì)數(shù)函數(shù)模型常與價(jià)格指數(shù)、環(huán)境承載力等有一定的聯(lián)系.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型或?qū)?shù)函數(shù)模型時(shí),關(guān)鍵是對(duì)模型的判定,從而建立形如y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(a0,b0,且b1,c0)的函數(shù)模型,再利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象來處理. 例1(2016湖北荊州中學(xué)質(zhì)檢,9)我們處在一個(gè)有聲世界里,不同場(chǎng)合,人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求.音量大小的單位是分貝(dB),對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波,其

4、音量的大小可由如下公式計(jì)算:=10lg(其中I0是 人耳能聽到聲音的最低聲波強(qiáng)度),則70 dB的聲音的聲波強(qiáng)度I1是60 dB的聲音的聲波強(qiáng)度I2的() A.倍B.10倍C.10倍D.ln倍,C,解析由=10lg 得I=I01,所以I1=I0107,I2=I0106,所以=10,所以70 dB 的聲音的聲波強(qiáng)度I1是60 dB的聲音的聲波強(qiáng)度I2的10倍,故選C.,例2(2017江蘇南京、鹽城一模,18)如圖所示,某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中AE=30米.活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下半部分是長(zhǎng)方形ABCD,上

5、半部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角滿足tan =. (1)若設(shè)計(jì)AB=18米,AD=6米,問能否保證題干中的采光要求? (2)在保證題干中的采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中取3),解析如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系. (1)因?yàn)锳B=18米,AD=6米,所以半圓的圓心坐標(biāo)為H(9,6),半徑r=9米.設(shè),太陽光線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0, 則由=9,解得

6、b=24或b=(舍). 故太陽光線所在直線方程為y=-x+24, 令x=30,得y=,即EG=1.5米2.5米. 所以此時(shí)能保證采光要求. (2)設(shè)AD=h米,AB=2r米,則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r. 解法一:設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b, 即3x+4y-4b=0,由=r, 解得b=h+2r或b=h-r(舍),故太陽光線所在直線方程為y=-x+h+2r, 令x=30,得y=2r+h-,由y,得h25-2r, 所以S=2rh+r2=2rh+r22r(25-2r)+r2 =-r2+50r=-(r-10)2+250250, 當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 解法二:易知當(dāng)EG恰為2.5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大,此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(30,2.5), 設(shè)過點(diǎn)G的太陽光線所在直線為l1,則l1的方程為y-=-(x-30),即3x+4y-1 00=0.,由直線l1與半圓H相切,得r=. 而點(diǎn)H(r,h)在直線l1的下方, 則3r+4h-1000, 即r=-,從而h