1、實(shí)變函數(shù)作業(yè)一判斷題1可測(cè)的充要條件是可測(cè)。 （對(duì) ）2所有無(wú)理數(shù)構(gòu)成的集合是可數(shù)集。 （錯(cuò) ）3如果在上單調(diào)減少，則在上可測(cè)。 （對(duì) ）4直線上任意非空開集均可表示為至多可數(shù)個(gè)兩兩不交的開區(qū)間的并。 （對(duì) ） 5若是不可數(shù)集，則 。 （ 錯(cuò) ）6若函數(shù)在上黎曼可積，則至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)。 ( 對(duì) )7可數(shù)集合的任意并是可數(shù)集合。 （ 錯(cuò) ）8中既開且閉的集只有空集與。 （對(duì) ）9如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則在上是黎曼可積。 （對(duì) ） 10.若，則是可測(cè)集。對(duì) （對(duì) ）11.定義上的狄利克雷函數(shù)在上幾乎處處連續(xù)。 （ 對(duì) ）12.集合上的常值函數(shù)必可積。 （ 錯(cuò) ）13、區(qū)間0，1是一個(gè)可數(shù)集合

2、。 （錯(cuò) ）14、有界可測(cè)集合上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。 （ 對(duì) ） 15、Rieman可積函數(shù)一定是Lebegus可積函數(shù)。 （ 錯(cuò) ）16、0，1上的無(wú)理數(shù)是一個(gè)可數(shù)集合。 （ 錯(cuò) ）17、有界可測(cè)集合上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。 （對(duì) ） 18、有界區(qū)間上Rieman可積函數(shù)一定是Lebegus可積函數(shù)。 （ 對(duì) ）二1證明：證明：直接的用定義，證明左邊包含右邊，右邊包含左邊。2試找出使和之間一一對(duì)應(yīng)的一種方法。證明：令，做，使得，其它處， 3令表示（0,1）上的全體有理數(shù)，則是0,1上的全體有理數(shù)，且有如下定義一個(gè)函數(shù)，則這是滿足條件的一一對(duì)應(yīng)。4）三證明題1. 設(shè)是上幾乎處處有限的

3、可測(cè)函數(shù)列，而幾乎處處收斂于有限函數(shù)，則對(duì)任意的，存在常數(shù)與可測(cè)集，使在上，對(duì)一切，有。證明：直接利用魯津定理。2. 證明：證明是開集，事實(shí)上，對(duì)任意，則，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在，使得對(duì)一切的，有，即，所以x是內(nèi)點(diǎn)，從而是開集。3. 設(shè)在可積，則對(duì)任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使得證明：教材第121頁(yè)例1。4. 設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幱谏铣闪ⅲ?試證在上幾乎處處成立。證明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得幾乎處處成立，在利用控制性，所以在上幾乎處處成立。5. 設(shè)是的可測(cè)子集，假定中的任一點(diǎn)至少屬于這個(gè)集合中的個(gè)，證明：必有一個(gè)集，它的測(cè)度不小于。證明：令，則，同時(shí),在利用反證法，若對(duì)所有，

4、有，則，矛盾。6.設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)，而在的余集中長(zhǎng)為的構(gòu)成區(qū)間上定義。試證在上可積，并求出積分值。證明：先說明函數(shù)的可積性（簡(jiǎn)單函數(shù)的極限），7.設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幊闪ⅲ?則幾乎處處有收斂于。證明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得幾乎處處成立，在利用單調(diào)性，所以幾乎處處有收斂于。8. 試從，證明.證明：先驗(yàn)證逐項(xiàng)積分的條件成立，所以9.證明：證明：驗(yàn)證Lebesgue控制定理的條件成立，所以10設(shè)，在上可積。如果對(duì)于任何有界可測(cè)函數(shù)，都有證明：在上幾乎處處成立。證明：取，則有所以在上幾乎處處成立，從而在上幾乎處處成立。11. 設(shè)為上非負(fù)可積函數(shù)列，若證明：。證明：反證法，先寫出的否定定義，再證明結(jié)論成立。12. 證明：。證明：利用，驗(yàn)證逐項(xiàng)積分的條件成立，所以13設(shè)是直線上的一個(gè)有界集合，則對(duì)任意小于的正數(shù)，存在的子集，使得證明：令，則連續(xù)單調(diào)，且，由連續(xù)函數(shù)的介值性，存在，使得對(duì)任意小于的正數(shù)，存在的子集，使得14對(duì)任意的，有當(dāng)且僅當(dāng)不屬于所有的 當(dāng)且僅當(dāng)屬于所有的，當(dāng)且僅當(dāng)，所以，。15 任取屬于，則存在一個(gè)數(shù)列，且滿足，因?yàn)?，所以有，從而屬于，即?/p>