1、,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,洛必達(dá)法則,微分中值定理,函數(shù)的性態(tài),導(dǎo)數(shù)的性態(tài),函數(shù)之商的極限,導(dǎo)數(shù)之商的極限,轉(zhuǎn)化,( 或 型),本節(jié)研究:,洛必達(dá)法則,洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義,例如,一、,型未定式,存在 (或?yàn)?),定理 1.,(洛必達(dá)法則),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.,( 在 x , a 之間),證:,無妨假設(shè),在指出的鄰域內(nèi)任取,則,在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西,故,定理?xiàng)l件:,定理?xiàng)l件,存在 (或?yàn)?)

2、,推論1.,定理 1 中,換為,之一,推論 2.,若,理1條件,則,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必達(dá)法則,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1,解,例2. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、,型未定式,存在 (或?yàn)?,定理 2.,(洛必達(dá)法則),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 證明略 ),說明: 定理中,換為,之一,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4,解,例5. 求,解:,原式,例6. 求,解: (1) n 為正整數(shù)的情形.,原式,機(jī)動(dòng) 目

3、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 求,(2) n 不為正整數(shù)的情形.,從而,由(1),用夾逼準(zhǔn)則,存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意: 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法， 但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.,例7:,解,例3.,例4.,說明:,1) 例3 , 例4 表明,時(shí),后者比前者趨于,更快 .,例如:,而,用洛必達(dá)法則,2) 有時(shí),在滿足定理?xiàng)l件的情況下洛必達(dá)法則失效.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) 若,例如,極限不存在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、其他未定式:,解決方法:,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),例8. 求,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: 原式,例9. 求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),例10. 求,解:,例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),內(nèi)容小結(jié),洛必達(dá)法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分析:,1.,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),洛必達(dá)(1661 1704),法國數(shù)學(xué)家,他著有無窮小分析,(1696),并在該書中提出了求未定式極,限的方法,后人將其命名為“ 洛必達(dá)法,的擺線難題 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,線 ” 問題 ,在他去世后的1