1習(xí)題111計算下列行列式解一由三階行列式定義得71350663103516709542解二2311237708RR23325100818346RR（2）解213241001035556673RR341205137R（3）DCBA10解3421010RCBAAABCDBD2110BCABCD122101RABCDAABCDA（4）201634解43432211036604RR2431021R（5）493621594解34322161964795709516249RR（6）22ABC解221CABAB12計算行列式ABCD解12341RABCDBADCAC413200CBADCBADCACABCDDB321000RAACBCCBDD21CABDABDAABCCBCDC13計算階行列式N（1）N3213解121120311NRN（2）14313N解121212312341341NCNNN21310102011NRN11002312NNN（3）21解,21102112ND按第一列展開成兩個行列式得2021112ND42131112122023333NRNNNNDD1221225NN122333NNN14證明（1）3221BABA證32122100CABAB左3222321310CABBABA右（2）221122111CBAACB證1111111122222222BCABCCBAAB左11112222CCBBAA111222CAB1122C右（3）32132321CBACMLCKBBALA證3223123231LMCKLCKCC左123CKABC右5（4）224411ABCDCCBCAD證24312244222221110RAABDCADACB左22222ABACD22211CDBCDAA21222RABCCBD23122110RBACDACBBAA22DBAC2211BACDCBCBADBADCCBBACDCBABADCD右15計算行列式XYYXY000解記,00NXYDXY當(dāng)時，11X當(dāng)時，按第1列展開得2N000NYXYXDXYX6100NYXYX1NNY16計算4階行列式（1）2222222231DDCCBBAA解21342222231CAAAABBBBCCCDDDD43201CABD（2）1234400ABBA解11222114333444000ABABABBA2233111433ABAB142314231423AB17如果行列式，NNNAA212112試用表示行列式的值NNNAA11233212解12212131232112121NRNNNNNNNAAAA718證明NNNAAA212100證11212200NNNNNAAA19利用克萊姆法則解線性方程組0674529382421431XX解方程組的系數(shù)行列式，1327002146D由克萊姆法則知，方程組有惟一解進(jìn)一步計算，有，185193082476D2851906827D，,32189627054D4158309272D方程組的解為1234,1,XX110問取何值時，齊次線性方程組可能有非零解120X解方程組的系數(shù)行列式,211D當(dāng)或時，方程組可能有非零解10補(bǔ)充題B11計算行列式1132121NNAAXXAA8解1211231NNNXAADXAA12123110000NNCANIINXXAXAXAB12計算行列式NNNAABAB222111解111222NNNNBDABAA2131200NRANBB3122121NNNBBB13計算行列式XAXN210210解0211NNADAX21302101NRNNIINAXAXB14計算行列式22SINCOSI9解12222SINCOSCOSIC3221CS1O0CB15計算行列式21112ND解見13（3）B16證明,101021210NINAAA20N（）證011212210001NNAAA左12101221201001NNIRRNNNIAAAB17證明1210121001NNNNAXAXAX證,按第列展開得121001NDAX左N110NNNXAXD10111211221,NNNNNNNNAXDXAXAX又，所以有02011D2110NNNNNAXAXA左右習(xí)題221設(shè)，求T6,3T5,T3,4（1）；72（2）解（1）371,362,54,37,241TTTT解（2）2022設(shè)，,T,T（1）將化為單位向量；（2）向量是否正交,解（1）,T1,2T1,20解（2）由于,所以向量正交,0,23計算（1）；392162374（2）1051解（1）47621329303解（2）1175643124計算下列乘積（1）解431735285049（2）11解3116212084（3）112122120NMMNDAAD解11221200NMMDAAD11212212NMMNDAAD（4）1122210NMMNAAD解2112220NMMNNAADD1212212NMMNADAD（5）12131232,AXX解12131232,XXA2213121323AXAX25已知，,0A4,TB求和BT解524801TA26如果，證明當(dāng)且僅當(dāng)時成立1EBA2EB212證必要性已知,且,有21EBAA2,12BE即,142化簡得2充分性由得EBA,又,代入得2,化簡得2A證畢27設(shè)，其中是階單位矩陣，是維單位列向量證明TEENN對任意一個維列向量，都有NA證因,故對任意一個維列向量有,2TA2TA從而有2,2,TTT24,TTTTTT故有，證畢A28對于任意的方陣，證明A（1）是對稱矩陣，是反對稱矩陣；TT（2）可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和證（1）由,所以是對稱TTTATA矩陣；,所以是反對稱矩陣TTTAAT證（2）1229證明如果都是階對稱矩陣，則是對稱矩陣的充分必要條件B,NAB是與是可交換的AB證必要性因，且,有,TAT,B所以與是可交換的充分性由，及，得,TA，A13所以是對稱矩陣AB210設(shè)是一個階對稱矩陣，是一個反對稱矩陣，證明是一NBBA個反對稱矩陣證由，得,TTTTABA，B所以是一個反對稱矩陣211設(shè)是個線性無關(guān)的向量，N,1NNKK21其中全不為零證明中任意個向量線性無關(guān)12,K121,證從向量組中任取個向量，設(shè)21,N211,IIN有一組常數(shù)使得,JLI（）1111IINLLLO當(dāng)時，線性無關(guān)，結(jié)論成立；INN,當(dāng)時，將代入（）式得NKK211112,IINNLLLLKO整理得111111NININIINILKLKLL,NO由于是個線性無關(guān)的向量，所以N,1，11111111000NNIIIINNIIIINNNLKLKLLLKLKLL由于全不為零，所以，則向量組12,NK,JI線性無關(guān)，故中任意個向量線性無11,IIN121N關(guān)212設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，321,432,（1）能否由線性表示證明你的結(jié)論或舉出反例（2）能否由線性表示證明你的結(jié)論或舉出反例4321,解（1）能由線性表示因線性相關(guān)，必有一組不全為零321,的常數(shù)，使得，下面只要證明即可23,K123KKO10K若，則不全為0，于是有，即線性相關(guān)；1023,2323,又由線性無關(guān)，所以其部分組必線性無關(guān)，得出矛盾，從而各432,14，即能由線性表示10K132,解（2）不能由線性表示如，4321,1,0T2,1,0T，顯然，線性相關(guān)，線性無關(guān)，3,T0,T321,43但是不能由線性表示4321213求下列矩陣的秩（1）793185解2134551107483978R，所以矩陣的軼為232451040R（2）1012，23410102R43013R所以矩陣的軼為4214判斷下列向量組是否線性相關(guān)；如果線性相關(guān)，求出向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用這個極大線性無關(guān)組表示出來（1）；TTT6,31,21,解用所給的3個向量作為列構(gòu)造矩陣，123,6A對矩陣A施行行初等變換，3121231,06RB矩陣B的秩3，所以向量組線性無關(guān)（2）TTT14,73,21,0,4,21解用所給的3個向量作為列構(gòu)造矩陣15，123031,742A對矩陣A施行行初等變換4321123001,74R，2301RB矩陣B的秩2，所以向量組線性相關(guān)，其中是其極大無關(guān)組，12,312215利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣（1）1解011AE213410021R432100214R431200221414R3421031414R,12301414R因此11A16（2）210解012AE2100312R2340011732R437100011237R342000114146237R,23101641234237R因此1631427A216求解矩陣方程（1）6354X解記矩陣方程為,其中,AB1253,346B由于，所以可逆，故12034A1XA構(gòu)造,2135076632RB所以17032XA（2）514117解記矩陣方程為,其中,XAB21130,425B由于，所以可逆，故30A112321010|RE,13203210R因此，從而有13A1130214283550XB217已知，,01243A87123B試用初等行變換求解依據(jù)可得1EA初等行變換21123031047095788RAB3213121233212640195701957264,03013RRRR所以3215461BA218用分塊法求（1）010321,24AB解；0032103212441B18（2）23010213,51403AB解2101512330940243AB219用分塊法求下列矩陣的逆矩陣（1）140523解,1233025250414AOA因則1111235,348A1021859A（2）100COSIN0AB解COSINCOSIN0010010AABAB,12OA因，11COSINCOSINI，所以212001ABABA12COSIN0I010AB220把下列向量組正交化（1），,1T2,3T1,49T19解用施密特正交化方法得，1，2121,603，3132311,4802239則是正交向量組321,（2），,01T21,0T31,0T解用施密特正交化方法得，1，212103,23，313231103,22354則是正交向量組321,221已知，12,0,0,1TT31,T，（1）求與的夾角；（2）求；（3）40,T1234求一個與等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組234,解（1）因為，220，2013，,1所以,6ARCOSARCOSARCOS23（2）因1234，,0,1,0,13,125TTTTT所以22123459（3）先將向量組正交化12,20，10，212012,，313231120,25，4341424,，00112則是正交向量組1234,再將單位化，1102，22110，331201，441021則即為所求1234,222判別以下集合對于所指的運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間1次數(shù)等于的實系數(shù)多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)乘運算；1N2階實對稱矩陣的全體，對于矩陣的加法和數(shù)乘運算；3平面上不平行于某一向量的全體向量，對于向量的加法和數(shù)乘運算；4主對角線上各元素之和為零的階方陣的全體，對于矩陣的加法和數(shù)乘運N算21解（1）否,加法與數(shù)乘運算都不滿足封閉性（2）是（3）否，加法與數(shù)乘運算都不滿足封閉性（4）否，加法運算不滿足封閉性223在維線性空間中，分量滿足下列條件的全體向量能否構(gòu)NNRNX21成的子空間NR1；2120NXXL121NXXL解（1）設(shè)，且滿足122,NNNYRX120,NXL；又，滿足，120NYYL1122NNYXX12XYL，而滿足故此條件下0NXY12,NKXKRM120,NKXL能構(gòu)成的子空間NR解（2）設(shè)，且滿足1122,NNNXYR121,NXXL，而，有，121NYYL1122NNXYX12XYL，故此條件下不能構(gòu)成的子空間21NXYR224假設(shè)是線性空間中的向量，試證明它們的線性組合的全體構(gòu),V成的子空間這個子空間叫做由生成的子空間，記做V,L證設(shè)有兩組系數(shù)構(gòu)成的兩個線性組合，分別為123123KL與,，且,其中是線性空間的123KL12V非空子集；（I）；（II）是任12123KLKLLK意數(shù)，有，故構(gòu)成的子空間KLV225設(shè)和是線性空間的兩組向量，證明生成12,S12,TLNV子空間和相等的充分必要條件是和ST12,SL等價12,TL22證必要性已知，則必有12,SL12,TL是的子空間，可由線12,SL12,TLSTL性表示，同時是的子空間，從而可T12,S12,T由線性表示，故和等價12,S,SL12,TL充分性已知和等價，則可由12,S12,T12,S線性表示，有是的子空間，同時12,TL,S,T可由線性表示，從而是T12,SL12,TL的子空間，故和相等12,S12,ST226試證在中，由，生成的子空間與由4R,0T,T，生成的子空間相等,3T0,1T證記，,T21,0T12,3T2,T的兩個生成子空間和,由于且12,L1212123,，所以向量組和等價，故生成子123,1空間和相等,12,227在中，求向量在基3R3,71T12,56,0TT下的坐標(biāo)解構(gòu)造矩陣31212363,7175200R1321308211RR，3208254R故向量在基下的坐標(biāo)為123,123,3,82154T228設(shè)是線性空間的子空間，證明，若的維數(shù)等于的維數(shù)，WNVWNV則NV證明由是線性空間的子空間且的維數(shù)等于，則存在個線性無關(guān)N的向量是的一組基，故；又由是線12,NL12,NL性空間的子空間，則是的一組基，故，NV12,NVLN12,NVL23所以WNV229設(shè)、是線性空間的兩個子空間，證明的非空子集12VV12,W構(gòu)成的子空間這個子空間叫做與的和子空間，記做V11W2證由的構(gòu)成可知，它是線性空間的非空子集，下證構(gòu)成的子空間設(shè)VV有，滿足，,W1212,1122,則，其中，21，所以；又任取數(shù)，有故構(gòu)22WK2KW成的子空間V230判斷下列向量組的線性相關(guān)性（1）；23,1,01,0（2）；34（3）123,2,解（1）設(shè)有一組常數(shù)使得13K，1223,1,0,KKO即，312,K得方程組，1230K據(jù)克萊姆法則知該方程組只有零解，1230K故線性無關(guān)123,解（2）法一（依內(nèi)容進(jìn)度）顯然，即有一組不全為零的常數(shù)312，13,1KK使成立，所以線性相關(guān)2231O123,解（2）法二設(shè)有一組常數(shù)使得2,K，12313,4KKO即，2312,4,0KK得方程組，12304K因，2031A24故方程組有非零解，所以線性相關(guān)123,K123,解（3）法一（依內(nèi)容進(jìn)度）顯然它們各自前3個分量構(gòu)成的向量,組線性無關(guān)（本題的（1），由本章定理7知（線性無關(guān)的向量組，相應(yīng)地增加分量后仍線性無關(guān)），線性無關(guān)123,解（3）法二設(shè)有一組常數(shù)使得123,K，12,0,0,0,KO得方程組，1323120KK該方程組只有零解，230K故線性無關(guān)123,231求下列向量組的秩，并判斷其線性相關(guān)性（1）；23,10,5,1,6TTT（2）；T420,74（3）TT123,3,2解（1）用所給向量組構(gòu)造矩陣，12301,56A對矩陣A施行行初等變換，2132351001056RRB矩陣B的秩是2，故矩陣A的秩是2，所以向量組線性相關(guān)123,解（2）用所給向量組構(gòu)造矩陣,123031,742對矩陣A施行行初等變換,214332100031274RRB矩陣B的秩是2，故矩陣A的秩是2，向量組線性相關(guān)123,解（3）用所給向量組構(gòu)造矩陣25，123410,2A對矩陣A施行行初等變換，3432461110003222RRB矩陣B的秩是3，故矩陣A的秩是3，向量組線性無關(guān)13,232利用伴隨矩陣求下列矩陣的逆矩陣（1）201解因,故存在，3200A1A計算代數(shù)余子式得，121321231,0,7A，從而得323,A,7012所以12701A（2）47012解因,故存在，50A1A計算代數(shù)余子式得，1121321223,4,4,1，從而得313238,AA,8412所以1348152A（3）401626解因,故存在，124016A1A計算代數(shù)余子式得，11213212231,4,8A，從而得323,A,01348所以1021348A（4）11解因,故存在，1601A1A計算代數(shù)余子式得，112131421223244,A，31323341424344,AAA從而得,44所以1411416A233（1）若，證明可逆，并求；32AEOA1（2）若，證明可逆，并求24AE證（1）由32，32EAE即存在矩陣,使得，故矩陣可逆，其逆矩陣為BBA12A證（2）由4O，122EAEE27即存在矩陣,使得，故矩陣可逆，其逆矩陣為12BAEBA234設(shè)矩陣滿足關(guān)系式，且，求矩陣,23014B解由關(guān)系式，整理得，再由矩陣的分配律得2ABAB，E即，1又由，則有,求其逆矩陣得3014A1022AE，110212E故矩陣13052431BA235將下列矩陣化為行最簡形矩陣（1）02373解21341002137325R4343221100724136RR2107123R（2）7312026354解41271731332026306540R2321371723026000RR281201516230R補(bǔ)充題B21如果，則稱階矩陣為冪等陣設(shè)是冪等陣，證明A2NAB,（1）如果也是冪等陣，則；BOB（2）如果是可交換的，則是冪等陣,證（1）若是冪等陣，則必滿足,展開得2，22ABAB又由是冪等陣，即，則上式簡化得，證畢,OBA證（2）已知，且是可交換的，即，則有22,22ABAB2AB,2故是冪等陣ABB22證明主對角線元素全為1的上三角形矩陣的乘積，仍是主對角線元素為1的上三角形矩陣證把主對角線元素全為1的上三角形矩陣一般形式展開得123231NAAAEB1232301,00NAA其中，矩陣為主對角線元素全為0的上三角形矩陣B任取兩個主對角線元素全為1的上三角形矩陣，分別記作，11AEB，其中為主對角線元素全為0的上三角形矩陣，則22AE12,，1212121BEB由矩陣乘法定義，可知為主對角線元素全為0的上三角形矩陣，再由矩陣加法12定義，得仍為主對角線元素全為0的上三角形矩陣，故有1是主對角線元素全為1的上三角形矩陣，證畢12AEBB23設(shè)是可逆矩陣證明如果是可交換的，則也是可交換BA,BA,1的證已知是可交換的，即滿足；又由是可逆矩陣，則有BA,29,11111ABABABA所以是可交換的,B24設(shè)為階矩陣，且可逆證明對矩陣施行初等,NN2|行變換，當(dāng)把矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r，即變?yōu)锳EBA1證由初等變換的性質(zhì)，對矩陣施行初等行變換，相當(dāng)于在矩陣N2|的左邊乘上相應(yīng)的初等矩陣，即存在初等矩陣，使得題目敘述BA|12,NP的運算過程即為,21212121|NNNNPABPABEB則有,即，從而,即對矩陣E1PAN施行初等行變換把矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r，即變?yōu)锽A|1B25設(shè)維向量組線性無關(guān)，和均正N121,N21,121,N交，證明線性相關(guān)21,證設(shè)有一組數(shù)使得121,NK1KO則由，得1211,NK，2,0K因與均正交，上式簡化為，從而有112,N210K0KO或（1）若時，則必線性相關(guān)；121,（2）若時，由可得，即K而110NKK線性無關(guān)，由定理8推論3知N1個N維向量和11,N2,線性相關(guān)，再由定理4知，可由唯一線性表示，22121,N記2121NLLL任取，由正交性，代入式展開化,IN2,0,1IIN簡得即，所以式化簡為，20,IL,I,IL21L得線性相關(guān)，證畢21,B26（1）設(shè)，求021NA00012NNAA的逆矩陣30解設(shè)，則有1210000NNAAAA，即121,2,3,NNAENBA，由條件，有可逆，從而01100NNAB021NNB，又，1100NNABE12NNAA所以1121010001NNNAABA（2）設(shè)，求21NCBCBAABBCCN32132110100的逆矩陣解1231230000101010NCAECBBA112312300001100NNRBRNINCABCB記，由條件，上式矩陣可進(jìn)一步化121NNIDABCBC0D簡得3111231230001100001NRDNNCCBDBDD1211223223331230101NRCNNNNNCCCBDBCDBCD所以所求逆矩陣為1213111222233331231NNNNNNBCDCCBDBDBCDCCCBDBD,其中12112121NNNNNBCDCDBNCBCBAD21B27如果向量可由向量組線性表示，證明表示法是惟一的R,2充分必要條件是線性無關(guān)R,21證必要性因向量可由向量組線性表示，且表示法惟一，則R,21存在惟一一組數(shù)，使得12,RKRKK假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)使得R12,RLL,不妨設(shè)則有12RLLO10,L21121RRCLL將代入可得的新的線性表示式，這與線性表示式惟一矛盾，故線性無關(guān)R,21充分性已知向量可由向量組線性表示，且線性R,21R,21無關(guān)，假設(shè)向量的線性表示式不惟一，存在兩組不同的數(shù)與RK使得12,RLL，及12RKK，RLL兩式相減得，12RRKLKLKLO32此時由系數(shù)不全為零，得線性相關(guān)，矛盾，故,12,IKLRR,21向量的線性表示式惟一B28證明任意個維向量必線性相關(guān)N證設(shè)維向量組，構(gòu)成矩陣，121,N1N121,NA則矩陣的秩，即向量組的秩小于向量個數(shù)，必線性相關(guān)AB29證明對于任意實數(shù)，向量組,ATA,1,線性相關(guān)TA3,21,2T4,32證由向量組構(gòu)成矩陣43211230,RAAA，42301RA由的秩為2，則向量組的秩為2,小于向量個數(shù)3，故對任意實數(shù)，向量組必線AA性相關(guān)B210設(shè)是任意的4維向量，1T0,12T0,413，若可由向量線性表示，則T0,2432,4線性相關(guān)431,證由，則向量組123234001,R的秩為2，又由向量的任意性，則向量組秩不超過3，線234,11234,性相關(guān)；又由可由向量線性表示，則向量組431,432,的秩不超過向量組的秩，所以向量組的4321,14321,秩不超過3，線性相關(guān)B211設(shè)均為維向量，試證線性無關(guān)的充分N,21N,21必要條件是任一維向量都可由它們線性表示證由維向量組線性無關(guān)，則它是維向量空間的一組基，NN,21NR則中的任一維向量都可由它們線性表示RB212設(shè)均為維向量，若維線性無關(guān)的向量組N,21可由它們線性表示，證明線性無關(guān)N,21N,21證由均為維向量，則其秩不超過；又由維線性無關(guān)的向N,21量組可由它們線性表示，所以向量組的秩不低于；因,N,21此，的秩為，線性無關(guān)N2133B213設(shè)可由線性表示，但不能由線性表示，R,21121,R則可由線性表示R,21R證由可由線性表示，則存在一組系數(shù)，使得R,2112,RKRKK又由不能由線性表示，故系數(shù)；由式得121,R0RK，11RRRKK故可由線性表示R,121RB214設(shè)線性無關(guān)，任取實數(shù)，令M121,MK，試證也MK11MK11M,2線性無關(guān)證由條件，構(gòu)造矩M11MK11陣形式得,12112112300,1MMK簡記作，由于矩陣可逆，則與有相同BAC1231001KBA的秩；又線性無關(guān)，故，所以線性無M,21RBANM,2關(guān)B215設(shè)，S321S312，證明與等價21SSS,1S,2證由條件可知，可由線性表示，構(gòu)成矩陣形式得S,21S212112101,10SS簡記作；又由BAC120101110SRR34，所以的秩為，可逆，故有21311001SRCN，從而向量組可由線性表示，因此1ABCS,2S,21與等價S,21S,21習(xí)題331求下列齊次線性方程組的通解解對系數(shù)矩陣施行行初等變換，021階梯形矩陣B，02710271行最簡形矩陣C與原方程組同解的齊次線性方程組為，0271ZYX即（其中是自由未知量），ZYX271令，得到方程組的一個基礎(chǔ)解系1Z,T127,所以，方程組的通解為為任意常數(shù),127,TKK（2）08653443215XX解對系數(shù)矩陣施行行初等變換，得210417086537A701421階梯形矩陣B35701421，1行最簡形矩陣C與原方程組同解的齊次線性方程組為，025431X即（其中是自由未知量），025431XX43,X令，得到方程組的一個基礎(chǔ)解系34,T,T，0,1,21T0,12所以，方程組的通解為，為任意常數(shù)21KTTK,2121,K（3）07423645154XXX解對系數(shù)矩陣施行行初等變換，得103124647A10312階梯形矩陣B，00316517行最簡形矩陣C與原方程組同解的齊次線性方程組為，03165754321XX即36（其中是自由未知量），54325167XXX53,X令，得到方程組的一個基礎(chǔ)解系TX,531,0T,T，T1,3065,72所以，方程組的通解為，為任意常數(shù)21KTTK,1221,K32當(dāng)取何值時，方程組ZYXX6743有非零解解原方程組等價于,06743ZYX上述齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式，671431即，07562從而當(dāng)和時方程組有非零解021333求解下列非齊次線性方程組（1）解對增廣矩陣施行行初等變換A，51200121B因為，所以方程組有解，繼續(xù)施行行初等變換RA，B001C與原方程組同解的齊次線性方程組為,1243X即（其中為自由未知量），4321X32,X令，得到非齊次方程組的一個解TT0,32，137對應(yīng)的齊次方程組（即導(dǎo)出方程組）為（其中為自由未知量），02431X32,X令，得到對應(yīng)齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系T,32,1T，,1T0,2方程組的通解為，01212,1,0TTTKKK其中為任意常數(shù)21,K（2）8109572433321321XX解對增廣矩陣施行行初等變換A，81095724100391245B因為，所以方程組有解，繼續(xù)施行行初等變換RA，B0039158C與原方程組同解的齊次線性方程組為,391315842XX即（其中為自由未知量），4321XX43,X令，得到非齊次方程組的一個解34,0,TT,1對應(yīng)的齊次方程組（即導(dǎo)出方程組）為（其中為自由未知量），4321958XX43,X令，得到對應(yīng)齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系34,T,0,T，181T1,0952方程組的通解為,01212,38,305,901TTTKKK其中為任意常數(shù)21,K38（3）103211X解對增廣矩陣施行行初等變換A1040231132，9605310405因為，所以方程組無解3ARR34討論下述線性方程組中，取何值時有解、無解、有惟一解并在有解時求出其解313223XX解方程組的系數(shù)行列式為21313A（1）當(dāng)時，即時，方程組有惟一解0且（2）當(dāng)時，即時，0A1或I當(dāng)時,原方程組為，123X顯然無解II當(dāng)時，原方程組為1，34612213XX對該方程組的增廣矩陣施行行初等變換A，100236143因為，所以方程組有無窮多組解，2RA與原方程組同解的方程組為，132X即（其中為自由未知量），132X3X令，得到非齊次方程組的一個解3039，01,3T對應(yīng)的齊次方程組（即導(dǎo)出方程組）為（其中為自由未知量），132X3X令，得到對應(yīng)齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系3，1,T方程組的通解為，其中為任意常數(shù)0,301,2TTKKK35寫出一個以為通解的齊次線性方程組1240XC解由已知，和是齊次線性方程組1,3T2,401T的基礎(chǔ)解系，即齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為AXOAXO2，而未知數(shù)的個數(shù)為4，所以齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為A，故可設(shè)系數(shù)矩陣4,121342AA由可知和滿足方程組AXO1134,21234,A,12342,01XO即方程組的線性無關(guān)的兩個解即為,1234X12方程組的系數(shù)矩陣,043211該方程組等價于（其中為自由未知量），1342XX43,X令，得到該齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系34,T,0,T，12,10T故要求的齊次線性方程組為，其中,AXO2103即12340X36設(shè)線性方程組40，0211NMMXAXA的解都是的解，試證是向量組BBTNB,21,的線TN,121TN,221,MNMA性組合證把該線性方程組記為（），由已知，方程組（）的解都是的解，所以方程組（）與方程組021NXBXB,121120NMMNAAXXBB同解，從而有相同的基礎(chǔ)解系，于是二者有相同的秩，則它們系數(shù)矩陣的行向量組和的秩相同，故可由線性表示12,M12,M12,M37試證明的充分必要條件是齊次線性方程組的RABOABX解都是的解OX證必要性因為，只須證與的基礎(chǔ)解系相ROABX同與的基礎(chǔ)解系都含有個線性無關(guān)的解向量又因NR為的解都是得解所以的基礎(chǔ)解系也是的BABOABX基礎(chǔ)解系即與有完全相同的解所以的解都是OX的解充分性因的解都是的解，而的解都是OABXBXOBX的解，故與有完全相同的解，則基礎(chǔ)解系也完全相同，故，所以NRRRA38證明的充分必要條件是存在非零列向量及非零行向量，使1ATBTAAB證充分性若存在列向量及行向量，其中12MA12TNBB不全為零，則有,IJAB1,I1,JN,1212221212NTNMMMNAABABAB顯然矩陣的各行元素對應(yīng)成比例，所以RA必要性若，則經(jīng)過一系列的初等變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形1RA，0D而矩陣可以表示為41，1010,D則存在可逆矩陣，使得，從而PQ1AD，其中均可逆，110,AD1,PQ記，10AP1,0TBQ又因為可逆，則至少有一行元素不全為零，故列向量的分量不全為零，同理，A因為可逆，所以行向量的分量不全為零因此，存在非零列向量及非零行1QTB向量，使TBTAA補(bǔ)充題B31設(shè)是矩陣，是非其次線性方程組所對應(yīng)齊次線AMNAXOAXB性方程組，則下列結(jié)論正確的是（D）（A）若僅有零解，則有惟一解；XOB（B）若有非零解，則有無窮多個解；AXOAXB（C）若有無窮多個解，則僅有零解；BO（D）若有無窮多個解，則有非零解B32設(shè)為階實矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣，則對于線性方程組NT（）；（），TAX必有（D）（A）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解；（B）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；（C）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解；（）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解B33設(shè)線性方程組有個未知量，個方程組，且，則此AXBNMRA方程組（A）（）時，有解；（）時，有惟一解；RMR（）時，有惟一解；（）時，有無窮多解NB34討論取何值時，下述方程組有解，并求解21ZYX解（法一）方程組的系數(shù)行列式，21A（1）當(dāng)時，即時，方程組有惟一解01且42211,2XYZ（2）當(dāng)時，即時0A或I當(dāng)時,原方程組為，1XYZ因為，所以方程組有無窮多組解，其通解為RA,01