2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 307 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 101 號(hào) ) 長(zhǎng)方體 長(zhǎng) 方體是 立體幾何的核心模型 ,長(zhǎng) 方體 中含有豐富的線面位置關(guān)系 ,可以說(shuō) 長(zhǎng) 方體 中蘊(yùn)涵所有可能的線面位置關(guān)系 ,因此 ,可以 依托長(zhǎng)方體模型 ,解決線面位置及其有關(guān)的度量問(wèn)題 . 母題結(jié)構(gòu) :在長(zhǎng) 方體 可以構(gòu)造 直線與直線 、 直線與 平面 和 平面 與 平面的 可能位置關(guān)系 . 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2007 年 浙江 高考試題 )若 P 是 兩條異面直線 l,m 外的任意一點(diǎn) ,則 ( ) (A)過(guò)點(diǎn) P 有且僅有一條直線與 l,m 都平行 (B)過(guò)點(diǎn) P 有且僅有一條直線與 l,m 都垂直 (C)過(guò)點(diǎn) P 有且僅有一條直線與 l,m 都相交 (D)過(guò)點(diǎn) P 有且僅有一條直線與 l,m 都異面 解析 :構(gòu)造 異面直線 模型 :長(zhǎng)方體 l,A B 為直線 B). 點(diǎn)評(píng) :關(guān)于 異面直線 : 定義 :不同在任意一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線 ; 判定 :過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)交點(diǎn)的直線是異面直線 ; 模型 : 任意兩條 異面直線 1 同 類 試題 : 1.(2004 年全國(guó) 高考試題 )對(duì)于直線 m、 n 和平面 ,下面命題中的真命題是 ( ) (A)如果 m ,n ,m、 n 是異面直線 ,那么 n (B)如果 m ,n ,m、 n 是異面直線 ,那么 n 與 相交 (C)如果 m ,n ,m、 n 共面 ,那么 m n (D)如果 m ,n ,m、 n 共面 ,那么 m n 2.(2012 年 上海 春招 試題 )已知空間三條直線 l、 m、 n,若 l 與 m 異面 ,且 l 與 n 異面 ,則 ( ) (A)m 與 n 異面 (B)m與 n 相交 (C)m 與 n 平行 (D)m與 交、平行均有可能 斷 子題類型 :(2013 年 課標(biāo) 高考試題 )已知 m,m 平面 ,n 平面 ,直線 l m,l n,l , l ,則 ( ) (A) 且 l (B) 且 l (C)與相交 ,且交線垂直于 l (D)與相交 ,且交線平行于 l 解析 :在 長(zhǎng) 方體 令 m=面 為 平面 n=面 為 平面 線 l= 與相交 ,且交線平行于 D). 點(diǎn)評(píng) :對(duì) 于線面位置關(guān)系的判 斷 問(wèn)題 ,依托長(zhǎng)方體模型 ,即在長(zhǎng)方體中 ,尋找符合題目條件的 直 線 和平 面 ,由此使 用 排除法 ,快速求解 . 同 類 試題 : 3.(2016 年 浙江 高考試題 )已知 互相垂直的平面 , 交 直線 l,若 直線 m,n 滿足 m ,n ,則 ( ) (A)m l (B)m n (C)n l (D)m n 4.(2015 年 廣 東 高考試題 )若直線 內(nèi) , 內(nèi) ,l 是平面 與平面 的交線 ,則下列命題正確的是 ( ) (A)l 至少與 l1, (B)l 與 l1, (C)l 至多與與 l1, (D)l 與 l1, 題 子題類型 :(1993年全國(guó)高考試題 )己知異面直線 a與 00,則過(guò)點(diǎn) a,00的直線有且僅有 ( ) (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)4 條 解析 :在長(zhǎng) 方體 令 a=AB,b=A,由 00;故選 (B). 點(diǎn)評(píng) :立體幾何中 ,是否存在滿足 條件的 點(diǎn) 、線、面、體 ,或 滿足 條件的 點(diǎn) 、線、面、體 的 個(gè) 數(shù) (至多 、 至少 、 恰有 )問(wèn)題 ,稱為 存在性 問(wèn) 題 ;在 長(zhǎng)方體模型 中探究 ,是解 決該類問(wèn) 題 的有力方法 . 308 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 有效手段 2017 年課標(biāo)高考 母題 同 類 試題 : 5.(2010 年江西高考試題 )過(guò)正方體 作直線 l,使 l 與棱 D,這樣的直線 ) (A)1 條 (B)2條 (C)3 條 (D)4 條 過(guò)正方體 的直線 正方體 ,且分別 與體的對(duì)角線 B,故選 (D). 6.(2004 年湖北高考試題 )己知平面與所成的二面角為 800,P 為、外一定點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) P 的一條直線與、所成的角都是 300,則這樣的直線有且僅有 ( ) (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)4 條 過(guò)點(diǎn) P,作 , ,則 000,過(guò)點(diǎn) P 的一條直線與 B 都是 600的直線 4條 D). 7.(2005年 廣東 高考試題 )給出下列關(guān)于互不相同的直線 m,n, , 的四個(gè)命題 : 若 m ,l =A,點(diǎn) A m,則l 與 m 不共面 ; 若 l、 m 是異面直線 ,l ,m ,且 n l,n m,則 n ; 若 l ,m , ,則 l m; 若 l ,m ,l m=A,l ,m ,則 是 ( ) (A) (B) (C) (D) 8.(2002 年全國(guó)高考試題 )已知 m,n 為異面直線 ,m 平面 ,n 平面 , =l,則 l( ) (A)與 m,n 都相交 (B)與 m,n 中至少一條相交 (C)與 m,n 都不相交 (D)至多與 m,n 中一條相交 9.(2008 年 課標(biāo) 高考試題 )已知平面平面 , =l,點(diǎn) A ,A l,直線 l,直線 l,直線 m ,m ,則下列四種位置關(guān)系中 ,不一定 成立的是 ( ) (A)m (B)m (C) (D) 10.(2007 年 上海 高考試題 )平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系 :相交 ,平行與重合 , 與兩直線 l1,知 l1, 內(nèi)的射影為 s1, 內(nèi)的射影為 t1,l1,t1,使之一定能成為 l1,直線的充分條件 . 11.(2004年 浙江 高考試題 )已知平面 與平面 交于直線 l,垂足為 A,垂足為 B,且 ,若點(diǎn) A 在 內(nèi)的射影與點(diǎn) B 在 內(nèi)的射影重合 ,則點(diǎn) P到 l 的距離為 . 12.(2006 年 四川 高考試題 )已知二面角 大小為 600,m,n 為異面直線 ,且 m ,n ,則 m,n 所成的角為 ( ) (A)300 (B)600 (C)900 (D)1200 13.(1989 年全國(guó)高考試題 )如圖 ,P 是二面角 B 上的一點(diǎn) ,分別在 ,上引射線 果 50, 00,那么二面 角 . 14.(1996 年全國(guó)高考試題 )如圖 ,正方形 在平面與正方形 在平面成 600的二面角 ,則異面直線 F 所成角的余弦值是 . 15.(2010 年 重慶 高考試題 )到兩互相垂直的異面直線的距離相等的 點(diǎn) ( ) (A)只有 1 個(gè) (B)恰 有 3 個(gè) (C)恰 有 3 個(gè) (D)有無(wú)窮多個(gè) 16.(2009年重慶高考試題 )己知二面角 00,則過(guò)點(diǎn) 50的直線的條數(shù)為 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 故選 (C). 故選 (D). 在長(zhǎng) 方體 令 平面為平面 面為平面 m=n=直線 l=C). 在長(zhǎng) 方體 令 AC=面為平面 1面為平面 l=A). 故選 (C). 故選 (B). 在長(zhǎng) 方體 圖 (D). 在長(zhǎng) 方體 慮 且 t1, 在長(zhǎng) 方體