2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 765 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 214 號 ) 妙解函數(shù)兩零點(diǎn)關(guān)系問題 函數(shù)的零點(diǎn) 問題是 函數(shù)的 基本問題 ,由 函數(shù)的零點(diǎn) 可引發(fā)許 多 高考試題 ,其中 ,以 函數(shù)的 兩個(gè) 零點(diǎn) 而誘發(fā) 的 高考試題 ,逐 漸 成為高考中 的 亮點(diǎn) . 母題結(jié)構(gòu) :( )己知函數(shù) f(x)在 (- ,a)上 單調(diào) 遞增 ,在 (a,+ )上 單調(diào) 遞減 ,f (x)在 (- , + )上 單調(diào) 遞減 ,且 f(f(t, t0,(x2則12著 t 的減小而增大 ,且 x1+ ( ) (軸對稱 )若 函數(shù) g(x)的圖象與函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a 對稱 ,則 g(x)=f(2 (中心對稱 )若 函數(shù) g(x)的圖象與函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 點(diǎn) M(a,b)對稱 ,則 g(x)=2 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2015 年天津高考 理 科 試題 )已知函數(shù) f(x)=x n N*,且 n 2.( )討論 f(x)的單調(diào) 性 ; ( )設(shè)曲線 y=f(x)與 ,曲線在點(diǎn) y=g(x)對于任意的 正 實(shí)數(shù) x,都有 f(x) g(x); ( )若方程 f(x)=a(有兩個(gè) 正 實(shí) 數(shù)根 x1,證 :|+2. 解析 :( )由 f (x)=當(dāng) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (- ,1),單調(diào)遞減區(qū)間為 (1,+ ); 當(dāng) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (),單調(diào)遞減區(qū)間為 (- , (1,+ ); ( )當(dāng) x0 時(shí) ,由 f (x)=間 (0,+ )上 單調(diào)遞減 對于任意的 正 實(shí)數(shù) x, 都有 f(x)g (x); ( )由 曲線 y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程 :y=nx,g(x)=(1n ),則 f(x) 且 f(x) ;設(shè) nx=a,g(x)=(1n )=x3, x3=na,)1( nn a+n 11n ;不妨設(shè) 數(shù) f(x)=x0(f(x)的圖象連續(xù)不斷 ).( )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 ; ( )當(dāng) a=81時(shí) ,證明 :存在 (2,+ ),使 f(f(23); ( )若存在屬于區(qū)間 1,3的 , ,且 1,使 f( )=f( ),證明 :5 2 a322.(2015 年天津高考 文科 試題 )已知函數(shù) f(x)=4x R.( )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 ; ( )設(shè)曲線 y=f(x)與 x 軸正半軸的交點(diǎn)為 P,曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為 y=g(x)求證 :對于任意的實(shí)數(shù) x,都有 f(x) 766 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 g(x); ( )若方程 f(x)=a(有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1, f(x)g(x),即 f(x) f(2當(dāng) x1 時(shí) ,令 F(x)=f(x)-g(x)=f(x)2( f(x)g(x);由 f(f(0,不妨設(shè) f(2而 f(x)在 直線 x=1 的 左側(cè) 遞 減 f(x)與 g(x)的大小 ;根據(jù) f(x)與 g(x)的大小 ,不妨設(shè) x2a,可得 f( g(大小 ,將 f(f( g(f(2入 ,并利用單調(diào) 函數(shù) 的脫 殼性 ,即可證 明 . 同 類 試題 : 3.(2010 年 天津 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=x R).( )求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值 ; ( )已知函數(shù) y=g(x)的圖象與函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱 ,證明 :當(dāng) x1 時(shí) ,f(x)g(x); ( )如果 f(f(證明 :x1+. 4.(2013 年 湖南 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=211 )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 ;( )證明 :當(dāng) f(f( ,x1+f (x) 0,即 20 a -2(成立 a 2.故 a 的取值范圍 是 2,+ ); ( )當(dāng) a=2 時(shí) ,由 f (x)21,只需證 x1+x),即 f(x)當(dāng) 10;不妨設(shè) 0g( f( f(2由 f(f( f( f(2f( 2x1+ ,f(x)與 g(x)的 大小 ;根據(jù) f(x)與 g(x)的大小 ,不妨設(shè) x2a,可得 f( g(大小 ,將 f(f(2b和 g(2入 ,并利用單調(diào) 函數(shù) 的脫殼性 ,即可證 明 . 同 類 試題 : 5.(原創(chuàng)題 )己知 函數(shù) f(x)= )若 函數(shù) g(x)的圖象與函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 原 點(diǎn) 對稱 ,證明 :當(dāng) x0時(shí) ,f(x)g(x); ( )設(shè) 實(shí)數(shù) x1, f(f(0,證明 :x1+. 6.(原創(chuàng)題 )己知 函數(shù) f(x)=1在 (0,+ )單調(diào)遞 減 .( )求 a 的取值范圍 ; ( )當(dāng) a=21時(shí) ,設(shè) 正實(shí)數(shù) x1, f(f(0,證明 :x1+. 7.(2011 年 遼寧 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=2-a)x.( )討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )設(shè) a0,證明 :當(dāng) 0f( ( )若函數(shù) y=f(x)的圖像與 ,B 兩點(diǎn) ,線段 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 明 :f (x0)f(23) g(2)0,又 g(23e)=32941 2e1 時(shí) ,令 F(x)=f(x)- g(x)= F (x)=( 函數(shù) F(x)在 1,+ )是增函數(shù) F(x)F(1) =0 f(x)g(x);( )由 f(f(不妨設(shè) f(2而 f(x)在 直線 x=1 的 左側(cè) 遞增 x1+. 768 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 ( )f(x)在 (- ,0)上 單調(diào) 遞增 ,在 (0,+ )上 單調(diào) 遞減 ; ( )作 函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=0對稱 的圖象 ,得 函數(shù) g(x)=f(圖象 ,首先 證明 :當(dāng) x0時(shí) ,f(x)0時(shí) ,令 F(x)=(1-x)+x) F (x)=-x(ex+ f(x2)h (0)=0 h(x)h(0)=0當(dāng) x0 時(shí) ,f(x)g(x);( )當(dāng) x0 時(shí) ,由 f (x)=f (x)=f(x)在 (- ,0)上 單調(diào) 遞減 ,在 (0,+ )上 遞增 ;不妨設(shè) f( -f( f(. ( )a=21;( )注 意 到 f (1)=0,f(1)=0 點(diǎn) M(1,0)是 函數(shù) y=f(x)圖象的 “ 對稱 點(diǎn) ” (拐 點(diǎn) ),作 函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 點(diǎn) M(1,0)對稱 的圖象 ,得 函數(shù) g(x)=圖象 ,首先 證明 :當(dāng) 1g(x);令 h(x)=f(x)-g(x)=2- x)x+1 h (x)=2x+2 h (x)=x1+x212( )1(220 h (x)h (1)=0 h(x)h(1)=0;不妨設(shè) ,則 f(g( f( -f( f(x1+. ( )f(x)的定義域?yàn)?(0,+ ),由 f(x)=2-a)x f (x)=2(當(dāng) a 0 時(shí) ,f (x)0 f(x)在(0,+ )上遞增 ;當(dāng) a0 時(shí) ,f(x)在 (0,遞增 ,在 ( )遞減 ; ( )令 g(x)=f(a1+x)-f(+2 g (x)=+22312 0 g(x)在 0,遞增 g(x)g(0)=0 f(a1+x)f( ( )設(shè) A(),B(),則 f(f(0,且 21 0;由 f ( ( 2 21 作 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=圖象 ,得 函數(shù) g(x)=f(圖象 ,首先 證明 :當(dāng)x) f(x)f( 當(dāng) 0f(立 ;不 妨設(shè) x2 f(f( x1 2 21 f( 時(shí) ,