2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 757 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 212 號 ) 妙解導(dǎo)數(shù)零點不可求問題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的關(guān)鍵“點”是求導(dǎo)數(shù)的零點 ,在高考中 ,存在 一類試題 ,其 導(dǎo)數(shù)的零點 不可求 ,那 么 如何破解“ 導(dǎo)數(shù)的零點 不可求 ”的困局 ?我們 給出破解困局的 三 法 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(分離函數(shù) )對 導(dǎo) 函數(shù) f (x)進 行 等價變形 ,分離出 函數(shù) g(x),使 f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒負 ,或其 零點 可求 ,然后 ,研究 函數(shù) g(x)的零點 ; ( )(設(shè)而不求 )若 f(x)的 導(dǎo) 函數(shù) f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒負 ,函數(shù) g(x)在 f(x)的定義域內(nèi)存在唯一的不可求 零點 ;則 求 g(x)在 f(x)的定義域內(nèi) 的 唯一 零點 的取值范圍 ;由 g( )=0,消去參數(shù) ,或 消去 零點 ,將 f( )表示為不含參數(shù) 的 的 函數(shù) ,或 表示為不 零點 的 參數(shù) 函數(shù) ;由的取值范圍 ,或 參數(shù) 的 取值范圍 ,求 f( )的 取 值范圍 ; ( )(二次求導(dǎo) )求 導(dǎo) 函數(shù) f (x),并 分離 構(gòu)造 函數(shù) g(x),使 f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒負 ;求 函數(shù) g(x)的導(dǎo) 函數(shù) g (x),研究 函數(shù) g (x)的零點 和 g(x)的性質(zhì) ;由 函數(shù) g(x)的性質(zhì) ,分析確定 函數(shù) f(x)的性質(zhì) . 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2012 年課標(biāo)高考 試題 )設(shè)函數(shù) f(x)= )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 ; ( )若 a=1,k 為整數(shù) ,且當(dāng) x0時 ,(f (x)+x+10,求 k 的 最大值 . 解析 :( )由 f(x)=f (x)=當(dāng) a 0 時 ,f (x)0 f(x)在 (- ,+ )上 單調(diào) 遞增 ;當(dāng) a0 時 ,f(x)在 (- , 單調(diào) 遞 減 ,f(x)在 ( )上 單調(diào) 遞增 ; ( )當(dāng) a=1時 ,f (x)=以 ,當(dāng) x0時 ,(f (x)+x+10 當(dāng) x0時 ,則 g (x) =2)1( e(由 ( )知 ,f(x)= (0,+ )上 單調(diào) 遞增 ,且 f(1)=f(x),即 g (x)在 (1,2)內(nèi)存在唯一的零點 ,且是 g(x)的極小值點 ,也是 g(x)的最小值點 ;由 g ( )=0 +2 g( )= 11e+ =1+ (2,3) k 的 最大值 =2. 點評 :對于函數(shù) f(x)滿足 :f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒負 ,g(x)不含參數(shù) ,研究函數(shù) f(x)的性質(zhì) ;確定g(x)的零點范圍 ;判斷是 f(x)的極大值點 ,還是極小值點 ?由 g( )=0及的范圍 ,求 f( )的取值范圍 . 同 類 試題 : 1.(2013 年課標(biāo) 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=x+m).( )設(shè) x=0 是 f(x)的極值點 ,求 m,并討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )當(dāng) m2 時 ,證明 :f(x)0. 2.(2015 年 四川 高考 文科 試題 )已知函數(shù) f(x)=中 a0. ( )設(shè) g(x)是 f(x)的 導(dǎo)函數(shù) ,討論函數(shù) g(x)的單調(diào)性 ; ( )證明 :存在 a (0,1),使得 f(x) 0 在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)恒成立 ,且 f(x)=0 在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)有唯一解 . 子題類型 :(2015 年課標(biāo) 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)= )討論 f(x)的導(dǎo)函數(shù) f (x)的零點的個數(shù) ; ( )證明 :當(dāng) a0 時 ,f(x) 2a+解析 :( )f(x)的定義域為 (0,+ );由 f(x)=f (x)=2x0);當(dāng) a 0 時 ,f (x)0 f (x)的零點的個數(shù) =0;當(dāng) a0 時 ,f (x)在 (0,+ )內(nèi) 單調(diào)遞增 ,且 f (a)0,f (8a)1. 4.(2013 年 遼寧 高考試題 )( )證明 :當(dāng) x 0,1時 ,22x x; ( )若不等式 ax+3x+2(x+2)4 對 x 0,1恒成立 ,求實數(shù) a 的 取值范圍 . 子題類型 : (2008 年 湖南 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=+x)2. ( )求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間 ; ( )若不等式 (1+n1)n+a e 對任意的 n N*都成立 (其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù) ).求 a 的最大值 . 解析 :( )由 函數(shù) f(x)的定義域是 ( ),f (x)=1 )1( )2( =2)1( 1x2(1+x)+x)-x(x+2);設(shè) g(x)= 2+x)-x(x+2),則 g (x)=2+x)g (x)=x122 g(x)在 ()上為增函數(shù) ,在 (0,+ )上為減函數(shù) g (x)0. ( )設(shè) g(x)是 f(x)的 導(dǎo)函數(shù) ,討論函數(shù) g(x)的單調(diào)性 ; ( )證明 :存在 a (0,1),使得 f(x) 0 在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)恒成立 ,且 f(x)=0 在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)有唯一解 . ( )m=1;f(x)在 ()內(nèi) 單調(diào)遞減 ;在 (0,+ )內(nèi)單調(diào)遞增 ; ( )當(dāng) m2 時 ,f(x)=x+m) x+2),故只需證明當(dāng) m=2 時 ,f(x)=x+2)0;由 f (x)= )內(nèi)單調(diào)遞增 ,且 f( f(x)的最小值點 (),且 210x=0 ln()=x)=f( ln()=210x+. ( )g(x)在 (0,1)內(nèi) 遞 減 ,在 (1,+ )內(nèi) 遞增 ; ( )由 ( )知 f (x)=g(x)在 (1,+ )內(nèi) 遞增 ,且 f (1)=f (x)在 (1,+ )內(nèi)存在唯一零點 ,且 x=是 f(x)的極小值點 ,也是 f(x)的最小值點 ,所以 ,f(x) 0 在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)恒成立 ,且 f(x)=0 在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)有唯一解 f( )=0;由 f ( )=0 a= 1 f( )= 22 ( =1)2;令 h(x)=)2,則 h(1)=1,h(e)=4(1)=0,T(e)=g(t)=( 則 g (t)=e+2(1 g (t)=224t( g t)=g (2e)=e+2-4 e 0,g(e)=1(2(1 )=2e1. ( )當(dāng) x=0 時 ,22x x 成立 ;當(dāng) x (0,1時 ,在 y=任取一點 P(x,取一點 A(4,22),則2,且 f (1)0,f (41)1 時 ,f(x) 0;由 f (x)= f(x)=1x( f (x)在 (0,1)上單調(diào)遞減 ,在 (1,+ )上單調(diào)遞增 f (x) f (1)=10 f 在 (0,+ )上單調(diào)遞增 當(dāng) 01 時 ,f(x)f(1)=(f(x) 0. ( )f(x)在 (- ,0)上 單調(diào) 遞減 0,+ )上 單調(diào) 遞增 ;( )由 f(x)=f (x)=f (x)=當(dāng) a21時 ,f (x) 0 f (x)在 0,+ )上 單調(diào) 遞增 f (x) f (0)=0 f(x)在 0,+ )上 單調(diào) 遞增 f(x)f(0)=0;當(dāng) a21時 ,f (x)在 0, 單調(diào) 遞減 當(dāng) x 0, ,f (x) f (0)=0 f(x)在 0, 單調(diào) 遞減 當(dāng) x 0, ,f(x) f(0)=0,不合題意 a 的取值范圍 是 (- ,21. ( )x)=g(1)=( )由 f(1)=0 b= f(0)=0,所以 ,f(x)在區(qū)間 (0,1)內(nèi)有零點 f(x)在區(qū)間 (0,1)內(nèi) 至少有 三個單調(diào)區(qū)間 ;由 ( )知 ,當(dāng) a21或 a2f (x)在區(qū)間 0,1上單調(diào) f(x)在區(qū)間 (0,1)內(nèi)至少有二個單調(diào)區(qū)間 ,不合題意 ; 當(dāng)210,g(1)= a (),x)=2a)a) h(x)= 3x)x (),則 h (x)=1x) x)=h(2e)=2a0) g (x)=22x(a); 當(dāng) a41時 ,g (x) 0 g(x)在 (0,+ )內(nèi) 遞增 ; 當(dāng) 02(30 f (x)在 (1,+ )內(nèi)存在唯一 零點 ,且 x=是 f(x)的極小值點 ,也是 f(x)的最小值點 ,所以 ,f(x) 0在區(qū)間 (1,+