中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 柯西不等式在解析幾何 中的應(yīng)用 妙 解 解析幾何中的最值 問題 因為柯西不等式的加入 ,開拓了解決解析幾何中最值問題的視角和方法 ,利用柯西不等式 解決解析幾何中最值問題 ,不僅 可以 極大的減少 算 量 ,而且拓展了 解決解析幾何中最值問題 的范圍 . 母題結(jié)構(gòu) :(二維 柯西不等式 )若 a,b,x,y R,則 (a2+x2+ (ax+. 母題 解 析 :由 (a2+x2+ (ax+ 22 22|;設(shè)點 P(x,y),直線 l:ax+,則 | 22 ,點點 P 到直線 l 的距 離 d=22|;由 | d 22 22| (a2+x2+ (ax+. 子題類型 :(2014 年 湖北 高考試 題 )已知 2是橢圓與雙曲線的公共焦點 ,P 是它們的一個公共點 ,且 ,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值是 ( ) (A)334(B)332(C)3 (D)2 解析 :設(shè) 橢圓的長半軸長為 半軸長為 曲線的實半軸長為 半軸長為 圓與雙曲線的離心率分別為e1, 由 ba b=1-)1(41 )1(3 2222 11e+223e=4;由柯西不等式 :(1+31)(211e+223e) (11e +21e )211e +21e 334 (A). 點評 :柯西不等式在解析幾何中的簡單應(yīng)用有 :與橢圓、雙曲線上一點 P(x,y)有關(guān)的線性目標(biāo)函數(shù) z=ax+最值問題 ;可建立約束 條件下的 目標(biāo)函數(shù)的最值問題 (本題就是一個佳例 ). 子題類型 :(2008 年 全國 高考試 題 )設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點 ,A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點 ,直線 y=kx(k0)與交于點 D,與橢圓相交于 E、 F 兩點 . ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四邊形 積的最大值 . 解析 :( )由 題設(shè)得橢圓 :42x+,直線 AB:x+2y=2 D(122k,122又由 6 57 F(57122k,5712241(57122k)2+(57122=1 k=32,或 k=83; ( )如圖 ,易知四邊形 積 S 等于四邊形 積的兩倍 ,設(shè)點 F(x,y)(x0,y0),則四邊形 積 =21(x+2y) S=x+2y;由柯西不等式得 :(x+2y)2=(22x+2y)2 (22+22)(42x+8 S=x+2y 2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) x= 2 ,y=22時 ,等號成 S 的最大值為 2 2 . 點評 :在 橢圓、雙曲線 中 ,若所求面積可轉(zhuǎn)化為其上一點或二點 的 坐標(biāo)函數(shù) ,或 可建立約束 條件下的面積表達式 ,則利用 柯西不等式 可巧妙求解 . 子題類型 :(2014年 浙江 高考試 題 )如圖 ,設(shè)橢圓 C:222(ab0),動直線 l 與 橢圓 C 只有一個公共點 P,且點 P 在第一象限 . ( )已知直線 l 的斜率為 k,用 a,b,k 表示點 P 的坐標(biāo) ; ( )若過原點 O 的直線 證明 :點 P 到直線 解析 :( )設(shè) P(x,y)是 橢圓 C 與直線 l 的交點 ,直線 l:y=kx+t,則 =(ka (222 題知 ,b2= ka:x=y=2222 P(2222; ( )設(shè) 點 P(x0,過點 P 且與 切線 l 垂直的 直線 為 切線 l:200 直線 2 直線 點 P 到直線 點 d=20420422=)( 22022020420422222)( =且僅當(dāng) a3:等 號成立 點 P 到直線 點評 :本題的第 ( )問給出了一個基本結(jié)論 :原點 O 到橢圓 C:222(ab0)上任意一點 P 處的法線 (過點 P 且與橢圓 處的切線垂直的直線 )距離的最大值為 1.(2008 年 全國 高考試 題 )若直線ax+ 通過點 M(,則 ( ) (A)a2+1 (B)a2+1 (C)21a+21b 1 (D)21a+21b 1 2.(2008 年 江蘇 高考試 題 )在 平面直角坐標(biāo)系 ,點 P(x,y)是橢圓32x+ 上的一個動點 ,求 S=x+y 的最大值 . 3.(2004 年復(fù)旦 大學(xué) 保送生考試 試題 )橢圓162x+92y=1 內(nèi)接矩形周長的最大值是 . 4.(2014 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 湖 北 預(yù)賽 試題 )共焦點的橢圓與雙曲線的離心率分別為 e1,橢圓的短軸長為雙曲線的虛軸長的 2 倍 ,則11e +21e 的最大值為 . 5.(2012 年廣東高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,已知橢圓 C:222(ab0)的離 心率 e=32,且橢圓 C 上的點到Q(0,2)的距離的最大值為 3. ( )求橢圓 C 的方程 ; ( )在橢圓 C 上 ,是否存在點 M(m,n),使得直線 l:mx+ 與圓 O:x2+ 相交于不同的兩點 A、 B,且 面積最大？若存在 ,求出點 M 的坐標(biāo)及相對應(yīng)的 面積 ;若不存在 ,請說明理由 . 6.(2011年中南財經(jīng)大學(xué)保送生考試試題 )如圖 ,已知橢圓 C:222(ab0)上的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為 2+ 3 和 2- 3 ,直線 y=kx(k0) 與 交于點 D,與橢圓相交于 E、 F 兩點 . ( )求此橢圓的方程 ; ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四邊形 積的最大值 . 7.(2007 年 陜西 高考試 題 )已知橢圓 C:222(ab0)的離心率為36,短軸一個端點到右焦點的距離為 3 . ( )求橢圓 C 的方程 ; ( )設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A、 B 兩點 ,坐標(biāo)原點 O 到直線 積的最大值 . 8.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 四川 初賽 試題 )已知橢圓 :222(ab0)動圓 :x2+2,其中 D(x0,則 E( 412k, x0=由6 x0+( 7752412k k=32 ,83 ; ( )易知四邊形 積 S 等于四邊形 積的兩倍 ,設(shè)點 F(x,y)(x0,y0),則四邊形 積 =21(x+2y) S=x+2y;由柯西不等式得 :(x+2y)2=(22x+2y)2 (22+22)(42x+8 S=x+2y 2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) x= 2 ,y=22時 ,等號成 S 的最大值為 2 2 . ( )由 e=22136,a= 3 b=1 橢圓 C:32x+; ( )設(shè) A(x1,B(x2,則 S 1|23|31x 23 )3)(3(2222212