第 27 章 相似 專項訓練 專訓 1 證明三角形相似的方法 名師點金： 要找三角形相似的條件，關鍵抓住以下幾點： (1)已知角相等時，找兩對對應角相等，若只能找到一對對應角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對應成比例； (2)無法找到角相等時，判斷三邊是否對應成比例； (3)考慮平行線截三角形相似定理及相似三角形的 “ 傳遞性 ” 利用平行線判定兩三角形相似 1如圖，四邊形 四邊形 是平行四邊形，點 R 為 中點， 別交 點 P， Q. (1)請寫出圖中各對相似三角形 (相似比為 1 除外 )； (2)求 (第 1 題 ) 利用邊或角的關系判定兩直角三角形相似 2下面關于直角三角形相似敘述錯誤的是 ( ) A有一銳角對應相等的兩個直角三角形相似 B兩直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似 C有一條直角邊相等的兩個直角三角形相似 D兩個等腰直角三角形相似 3如圖， 足為 C， 證： (第 3 題 ) 利用角判定兩三角形相似 4如圖， 等邊三角形， 外角平分線，點 D 在 ， 連接延長，與 于點 E. (1)求證： (2)若 6， 2 長 (第 4 題 ) 利用邊角判定兩三角形相似 5如圖， 33 B， A， E 在同一條直線上 (第 5 題 ) 求證： 利用三邊判定兩三角形相似 6如圖， 高， E， F 分別是 中點求證： (第 6 題 ) 專訓 2 巧作平行線構造相似三角形 名師點金： 解題時，往往會 遇到要證的問題 與相似三角形 聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法常作的輔助線有以下幾種： (1)由比例式作平行線； (2)有中點時，作中位線； (3)根據(jù)比例式，構造相似三角形 巧連線段的中點構造相似三角形 1如圖，在 ， E， F 是邊 的兩個三等分點， D 是 中點，別交 點 P， Q，求 (第 1 題 ) 過頂點作平行線構造相似三角形 2如圖，在 ， F 為底邊 一點， ，取 中點 D，連接 延長交 點 E，求 (第 2 題 ) 3如圖，過 頂點 C 任作一直線，與邊 中線 別交于點F 和點 E. 求證： (第 3 題 ) 過一邊上的點作平行線構造相似三角形 4如圖，在 ， 邊 取一點 D，在 取一點 E，使 線 延長線交于點 (第 4 題 ) 過一點作平行線構造相 似三角形 5如圖，在 ，點 M 為 的中點，點 E 為 一點，且 14接 延長交 延長線于點 2作輔助線的方法一： (第 5 題 ) 作輔助線的方法二： (第 5 題 ) 作輔助線的方法三： (第 5 題 ) 作輔助線的方法四： (第 5 題 ) 專訓 3 用線段成比例法解四邊形問題 名師點金： 利用線段成比例不僅能解三角形問 題，還能解四 邊形問題在中考中涉及相似、線段成比例的四邊形的題型有填空題 、選擇題、解答題，是中考熱門命題點之一 一、選擇題 1如圖，菱形 ，點 M， N 在 ， F 2， 3，則 ( ) (第 1 題 ) A 3 B 4 C 5 D 6 2如圖，有一塊矩形紙片 8， 6，將紙片折疊，使得 B 邊上，折痕為 將 右翻折， 交點為F，則 面積為 ( ) (第 2 題 ) C 2 D 4 3如圖，在平 行四邊形 ， 6， 9， 平分線交 E，交 延長線于 F， ， 4 2，則 周長為 ( ) A 11 B 10 C 9 D 8 (第 3 題 ) (第 4 題 ) 二、填空題 4如圖，將矩形紙片 疊，使點 A 與點 C 重合，折痕為 4， 2，那么線段 長為 _ 三、解答題 5如圖，矩形 ，以對角線 一邊構造一個矩形 得另一邊 原 矩形的頂點 C. (1)設 面積 為 面積為 面積為 “”“ ” 或 “”)； (2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明 (第 5 題 ) 6如圖，在矩形 ， 6， 8，沿直線 折，使 A， 線 O. (1)求證： (2)求線段 長度 (第 6 題 ) 7如圖，在平行四邊形 ，過點 A 作 足為 E，連接F 為線段 一 點，且 B. (1)求證： (2)若 8， 6 3， 4 3，求 長 (第 7 題 ) 8如圖， E， F 分別是正方形 邊 的點，且 邊作正方形 于點 Q，連接 (1)求證： (2)若 E 為 中點，求證： Q 為 中點 (3)連接 S S S (2)的條件下，判斷說明理 由 (第 8 題 ) 9如圖，在正方形 ， E 是 的一點，連接 足為 H，交 F，作 (第 9 題 ) (1) (2)F； (3)10如圖，點 P 是菱形 角線 的一點，連接 延長交邊點 E，連接 延長交邊 點 F，交 延長線于點 G. (1)求證： (2)已知 ，設線段 長為 x，線段 長為 y. 求 y 與 x 的函數(shù)關系式； 當 x 6 時，求線段 長 (第 10 題 ) 專訓 4 用線段成比例法解與圓有關問題 名師點金： 線段成比例法求解有關線 段問題在三角 形、四邊形中有著廣泛的應用，是近幾年中考命題的必考內容；在中考中，它的另一重點是與圓的知識相結合進行考查；題型既有選擇題、填空題，也有解答題，也常以壓軸題的形式出現(xiàn) 一、選擇題 1如圖，已知 直徑的圓交 點 D，過點 O 的切線交 點 D 5， 4，則 O 的半徑是 ( ) A 3 B 4 (第 1 題 ) (第 2 題 ) 2如圖， O 的直徑， C 為 O 上一點，弦 分 ， 6， 5，則 長為 ( ) A B C 3 D 如圖， A， B， C， D 是 O 上的四個點， 點 E，3， 4，則 長為 ( ) A 3 B 2 3 C. 21 D 3 5 (第 3 題 ) (第 4 題 ) 二、填空題 4如圖， O 的直徑，點 C 在圓上， 圖中與 似的三角形有 _個 5如圖，直線 l 與半徑為 4 的 O 相切于點 A， P 是 O 上的一個動點 (不與點 A 重合 )，過點 P 作 l，垂足為 B，連接 A x， y，則 x _ (第 5 題 ) 三、解答題 6如圖， O 的直徑， O 的弦，過點 B 作 O 的切線 延長線交于點 D，作 點 E. (1)求證： E； (2)若 O 的半徑為 5， 8，求 長 (第 6 題 ) 7如圖，在 ， 直徑作半圓 O，交 點 D，連接 點 D 作 足為點 E. (第 7 題 ) (1)求證： 半圓 O 的切線； (2)求證： E. 8如圖， 圓 O 的直徑，點 C， D 在圓 O 上，且 分 垂線，與 延長線相交于點 E，與 延長線相交于點 F. (1)求證： 圓 O 相切； (2)若 6， 4 2，求 長 (第 8 題 ) 9如圖， O 的直徑，點 C 在 O 上， 平分線交 O 于點D，過點 D 作 垂線交 延長線于點 E，連接 點 F. (1)猜想 O 的位置關系，并證明你的猜想； (2)若 6， 5，求 長 (第 9 題 ) 10如圖， O 的直徑，點 E 是上的一點， (1)求證： O 的切線； (2)已知 3， 2，求 長 (第 10 題 ) 11如圖， O 的直 徑，點 C 為 O 上一點 ， 過點 C 的切線互相垂直，垂足為 E， O 于點 D，直線 延長線于點 P，連接 (1)求證： 分 (2)探究線段 間的數(shù)量關系，并說明理由； (3)若 3，求 面積 (第 11 題 ) 答案 專訓 1 1 解： (1) (2) 四邊形 四邊形 是平行四邊形 則 12， 12. 點 R 是 中點， 又 12. 2又 3 2 C 3 證明： 3. 又 3， 又 90， (第 4 題 ) 4 (1)證明： 等邊三角形， A 60. 120. 外角平分線， 12 12 120 60. A 又 (2)解： 如圖，作 點 M，則 3， 3 3. 2 2， D 1. 在 ， 2 7. 由 2 72， 7. 3 7. 5 證明： B， A， E 在同一條直線上， 3， 方法規(guī)律： 本題運用了 數(shù)形結合思想 和 演繹推理 ，通過已知條件尋找兩邊成比例并且夾角相等，從而證明兩三角形相似 6 證明： 高， 又 E， F 分別是 中點 在 ， 斜邊 的中線 12 12. 中位線， 12 12. 專訓 2 1 解： 如圖，連接 E， F 是邊 的兩個三等分點， D 是 中點， 中位線 12 2 2 2 設 a，則 2a， 3a. (第 1 題 ) (第 2 題 ) 2 解： 如圖，過點 C 作 延長線于點 G. G. 又 D 為 中點， 在 ， G， F ， 52. 3 證明： 如圖，過點 B 作 延長線于點 N. 又 12 (第 3 題 ) (第 4 題 ) 4 證明： 如圖，過點 C 作 點 F， 5 證明： (方法一 )過點 C 作 點 F， 點 M 為 的中點， 又 14 3 13. 13，即 3又 2(方法二 )過點 C 作 點 F， 又 點 M 為 的中點， 2 2 又 14 2. 又 2. 2(方法三 )過點 E 作 點 F， 由 14 14， 1414 又 12 12 2(方法四 )過點 A 作 延長線于點 F， 14 13 13由 易證得 又 13 2點撥： 由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構造相似三角形 專訓 3 一、 、 4. 5 三、 (1) (2) 明：在矩形 ， 90，且點 C 在邊 ， 90， F E 90， 在 ， 90， 答案不唯一 ) 6 (1)證明： 由折疊可知， 90， B 又 (2)解： 6， 8， 10， 125， 58， 154 . 7 (1)證明： 四邊形 平行 四邊形， C B 180， 180， B， ， C， (2)解： 四邊形 平行四邊形 ， 1)知 6 3 84 3 t ，由勾股定理得 122（ 6 3） 2 6. 8 (1)證明： 由 90， (2)證明： 易證 以 12，所以 2，即點 Q 是 中點 (3)解： 由：因為 以 以 C 90，所以 以 以 以 因為 以 9 證明 ： (1) 90， 90. 在正方形 ， 90， (2) 90， F. (3) 90， F. F， GF10 (1)證明： 點 P 是菱形 角線 的一點， 在 ， P (2)解： 在 ， P ， 12， 13， 32. 32 y 23x. 當 x 6 時， y 23 6 4， 4， 6， 12， 12， 解得 5，故線段 長為 5. 方法規(guī)律： 本題運用了 演繹推理 ，考查了相似三角形、全等三角形和函數(shù)知識，是一個綜合性的問題推出 12， 13是解題的關鍵 專訓 4 一、 、 、 6.(1)證明： O 與 切于 點 B， O 的直徑， 0， E 90 90， 90， E. (2)解： 如圖，連 接 O 的直徑， 90. 8，2 5 10， 90， E， 8610. 403 . (第 6 題 ) (第 7 題 ) 7 證明： (1)如圖，連接 半圓 O 的直徑， 90. D 為 點 O 為 點， 90， 半圓 O 的切線 (2) 90， 90， E. 8 (1)證明 ： 連接 如圖因為 以 D 平分 以 以 D F 垂直于 以 直于 以 圓 O 相切 (2)解： 如圖，連接 則 B 是直徑，所以 90B 6， 4 2，所以 62（ 4 2） 2 2，所以 E 90，所以 以 以 64 2 2以 4 23 t 22 4 232 矩形，所以 90G 23， 3 23 t ， 32 732 4 23 E 90，所以 以 以 以7334 23所以 2 27 F 4 23 12 27 64 221 . (第 8 題 ) (第 9 題 ) 9 解： (1) O 相 切證明：如 圖，連接 1 2. 分 2 3. 1 3. E. D 在 O 上， O 的切線 (2)如圖，連接 O 的直徑 ， 90，則 11. 3 4， 3 2， 2 4. 90， 1