學(xué)科教育論文-數(shù)學(xué)語言及其教學(xué)研究摘要：數(shù)學(xué)語言是表達(dá)數(shù)學(xué)思想的專門語言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡約性和形式化等特點(diǎn)。加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言教學(xué)對提高數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)表達(dá)及交流能力具有重要作用。數(shù)學(xué)語言分為符號語言、文字語言和圖表語言，三類語言之間的相互轉(zhuǎn)換在數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)中占有重要地位。在應(yīng)用和理解方面，數(shù)學(xué)語言有其自身特點(diǎn)，深層結(jié)構(gòu)常重于表面內(nèi)容，句法分析常先于語義理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)方面，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的意義理解和表達(dá)，注意數(shù)學(xué)語言的語義轉(zhuǎn)換、數(shù)學(xué)語言符號引入的自然性，以及數(shù)學(xué)語言句法特點(diǎn)分析等。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語言；數(shù)學(xué)交流；語義轉(zhuǎn)換；教學(xué)策略一、加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的重要性誠如斯托利亞爾所說：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”，1(224)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在一定程度上可以說就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程也就是數(shù)學(xué)語言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運(yùn)用的過程。學(xué)生準(zhǔn)確靈活地掌握了數(shù)學(xué)語言，就等于掌握了進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具。數(shù)學(xué)作為一種語言，已經(jīng)不只是描述自然科學(xué)的語言工具，也成為描述社會科學(xué)、管理科學(xué)等門類的語言工具。掌握好數(shù)學(xué)語言，就等于掌握了描述科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐活動中的實(shí)際問題的工具，即數(shù)學(xué)化的手段。中學(xué)許多課程中都使用了數(shù)學(xué)語言（如向量、統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖、幾何圖形等），數(shù)學(xué)語言的掌握直接關(guān)系到這些學(xué)科的學(xué)習(xí)。如果數(shù)學(xué)語言不過關(guān)，將難以閱讀和交流，難以準(zhǔn)確表達(dá)自己的思想，難以聽懂、看懂別人用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的觀點(diǎn)，如可能不知“翻一番”“增長一倍”“降水概率為0.6”“同比增長10%”等所云。如果在數(shù)學(xué)語言表達(dá)（即數(shù)學(xué)化）方面能力缺乏，學(xué)生可能就只會死記硬背文字表達(dá)的概念定義、定理、法則，而不能將其符號化、形式化，不能把自然語言形式轉(zhuǎn)化為符號語言或數(shù)學(xué)表示形式，將概念法則與公式溝通。如有的學(xué)生盡管知道并能夠敘述物理學(xué)中的加速度的概念“是表示速度變化快慢的物理量，具體說，是單位時(shí)間內(nèi)速度的變化量”，但卻不能寫出公式，甚至還錯(cuò)誤地認(rèn)為。學(xué)生智力發(fā)展的診斷研究也表明，學(xué)生的“數(shù)學(xué)語言”的特點(diǎn)及掌握數(shù)學(xué)術(shù)語的水平，是衡量其智力發(fā)展和接受能力的重要指標(biāo)。2學(xué)生能否準(zhǔn)確、迅速地理解課堂上教師用數(shù)學(xué)語言所闡述的數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想、方法，是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)效率高低的重要標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)語言發(fā)展水平低的學(xué)生，課堂上對數(shù)學(xué)語言信息的敏感度差，語言之間的轉(zhuǎn)換不流暢，思維顯得緩慢，從而造成數(shù)學(xué)知識接受、處理困難。教學(xué)實(shí)踐也表明，數(shù)學(xué)語言發(fā)展水平低的學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力也差，理解問題時(shí)常發(fā)生困難和錯(cuò)誤。所以，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是離不開數(shù)學(xué)語言的同步發(fā)展的，豐富數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，提高數(shù)學(xué)語言水平，對發(fā)展數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和素質(zhì)有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。事實(shí)上，關(guān)于數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)目標(biāo)，現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程大綱中已有明確要求。2000年頒布的全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）中將“會使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識”作為“解決實(shí)際問題能力”內(nèi)涵的一部分，3(2)并把發(fā)展“用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力”作為改進(jìn)教學(xué)方法的一個(gè)目標(biāo)。3(24)2001年頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）要求“在與他人交流的過程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑”。42003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）也指出：“數(shù)學(xué)語言具有精確、簡約、形式化等特點(diǎn)，能否恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)語言及自然語言進(jìn)行表達(dá)與交流也是評價(jià)的重要內(nèi)容”；5(114)要注意“提高數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力”。5(11)所以，數(shù)學(xué)教學(xué)必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。二、數(shù)學(xué)語言及其分類為有效地加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，加深對數(shù)學(xué)語言的理解和認(rèn)識是必要的。數(shù)學(xué)語言是伴隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)生和發(fā)展而逐漸成長起來的，是儲存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的工具。數(shù)學(xué)語言與日常語言不同，“日常語言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會和政治運(yùn)動的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語言則是慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的”，是一種高度抽象的專業(yè)語言，是一種以符號表達(dá)為主的特殊語言。具體可分為符號語言、文字語言和圖表語言三類。符號語言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡練語言，是在人類數(shù)學(xué)思維長期發(fā)展過程中形成的一種語言表達(dá)形式。“數(shù)學(xué)的效能來自數(shù)學(xué)符號?！?按感知規(guī)律，數(shù)學(xué)符號分為三種：象形符號、縮寫符號、約定符號。象形符號是由數(shù)學(xué)對象的空間位置結(jié)構(gòu)或數(shù)量關(guān)系經(jīng)抽象概括得到的各種數(shù)學(xué)圖形或圖式，再經(jīng)縮小或改造而形成的一類數(shù)學(xué)符號。如幾何學(xué)中的符號、等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號?？s寫符號是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫或加以改造而成的符號，比如函數(shù)f（function）,極限lim（limit）、正弦sin（sine）、最大max（maximal）、最小min（minimalexistany）等符號均為此類。約定符號是數(shù)學(xué)共同體約定的，具有數(shù)學(xué)思維合理性、流暢性的數(shù)學(xué)符號，如運(yùn)算符號+、，全等，相似，大于，小于，等均屬此類。由各種符號按照數(shù)學(xué)的邏輯意義和規(guī)則而組合建立起來的各種符號串或式子則構(gòu)成數(shù)學(xué)式語言或數(shù)學(xué)句子，這里的邏輯意義和規(guī)則是指數(shù)學(xué)中的一些規(guī)定或原理法則，如a+bc遵循的是運(yùn)算次序、略寫法則等。數(shù)學(xué)中的文字語言是數(shù)學(xué)化了的自然語言，或者稱為自然語言中的數(shù)學(xué)語言。自然語言常具有模糊性，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，容不得含糊。所以，?shù)學(xué)中的文字語言不是自然語言文字的簡單移植或組合，而是經(jīng)過一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且，這些語言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語義，常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語的形式出現(xiàn)。如數(shù)學(xué)中的“直線”“全等”“連續(xù)”“區(qū)間”“組合”“相似”“極限”“軌跡”等都是自然語言的精確化；“絕對值”“正值”“中線”“中位線”“有理”“無理”等都是對自然語言中的文字進(jìn)行限定的結(jié)果；“增加幾倍”“擴(kuò)大幾倍”“概率”“正弦”“可微”“可積”等都是具有特定含義的數(shù)學(xué)文字語言。有些數(shù)學(xué)語言本身還具有比喻或象形意義，如扇形、補(bǔ)角、射影、倒數(shù)、銳角、鈍角、參數(shù)、行列式等數(shù)學(xué)詞語，似乎能給人一種語言直觀，使人較為自然、容易地領(lǐng)會和理解。自然語言是數(shù)學(xué)文字語言形成與發(fā)展的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)文字語言不僅借用了自然語言中的文字，沿用了自然語言中的語法規(guī)則，而且在大多數(shù)情況下兩種語言的語義也是一致的。圖表語言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖或表，可細(xì)分為圖形語言（幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等）、圖象語言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等）和格表語言（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等），它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介，也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果，而且還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具。我們必須確認(rèn)，圖表也是一種數(shù)學(xué)語言，是數(shù)學(xué)的一種直觀性語言，是對其他兩種語言的補(bǔ)充，它與數(shù)學(xué)概念、術(shù)語、符號與式子等一起構(gòu)成數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)。尤其在當(dāng)今信息化社會，人們會經(jīng)常地在各種媒體上看到或閱讀到某種載有一定數(shù)學(xué)意義的圖形、圖象或格表，這些圖形、圖象或格表作為信息傳遞的一種形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直觀。所以，掌握圖表語言是現(xiàn)代社會的要求，學(xué)生必須學(xué)會讀圖，掌握圖表語言，要能夠從圖形、圖象和格表中讀出蘊(yùn)涵的信息來。三種數(shù)學(xué)語言各有優(yōu)勢與不足：文字語言通俗、易懂，但描述起來是線性的，不易表露知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)符號雖然抽象，但十分簡潔，描述起來給人以結(jié)構(gòu)感；圖表語言比文字語言和一般符號語言更具直觀性，容易形成表象。為了使數(shù)學(xué)內(nèi)容不那么難懂，能夠借助母語理解，在實(shí)際表述數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的時(shí)候，常結(jié)合自然語言的表述，所以，一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常是數(shù)學(xué)符號語言、文字語言、圖表語言和自然語言的優(yōu)勢互補(bǔ)和有機(jī)融合。三、數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)由前文可以看出，數(shù)學(xué)語言是一種非日常和非自然語言，其中一部分是被規(guī)定或定義的，用來表示理想化的數(shù)學(xué)對象，正如美國數(shù)學(xué)家萊克斯（A.Lax）和格羅特（G.Groat）說的那樣：“它（數(shù)學(xué)）所用的是一些特殊的非口語的語言：一些新的符號被定義，一些老的字符被重新定義而限制或改變其意義。這種精細(xì)的、外延的語言很少聯(lián)系到課堂外的生活?！?另一部分是自然語言按照下面三個(gè)方向被改進(jìn)的結(jié)果：（1）按簡化自然語言的方向；（2）按克服自然語言中含糊不清的毛病的方向；（3）按擴(kuò)大它表達(dá)范圍的方向。1(221)事實(shí)上，數(shù)學(xué)中每個(gè)詞語（概念、符號、術(shù)語等）都有其精確的含義，沒有外延模糊或內(nèi)涵不清的概念詞語，不允許有似是而非、模棱兩可的斷言。數(shù)學(xué)語言的表達(dá)形式與它的含義之間都有著確定的關(guān)系（盡管有時(shí)不是一一對應(yīng)的），詞序不同或一字之差就可能導(dǎo)致意義截然不同，如“軸對稱”與“對稱軸”，與，意義都是完全不同的。所以，數(shù)學(xué)語言既具有抽象性、簡約性，又具有精確性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)語言的精確性還表現(xiàn)在自身不存在歧義。所謂歧義現(xiàn)象，就是一個(gè)句子可以作兩種或兩種以上不同意義的理解，或者可以作兩種或兩種以上的結(jié)構(gòu)分析。盡管數(shù)學(xué)中的句子有時(shí)可以作兩種或兩種以上的意義理解，不過這些理解在一定意義上都是等價(jià)的（故不稱為歧義），可以看做等價(jià)轉(zhuǎn)換或同義轉(zhuǎn)換，而這還是數(shù)學(xué)解題的一種重要策略。8(45-47)從這個(gè)意義上講，我們希望學(xué)生能夠靈活作出語義轉(zhuǎn)換。如“”的基本語義為、滿足的一個(gè)等式，但它又可轉(zhuǎn)義為“是方程的一個(gè)根”，還可轉(zhuǎn)義為“是方程的一個(gè)根”，這些意義在解題中沒有任何沖突或矛盾。只是應(yīng)注意，在語言轉(zhuǎn)換方面，不能以偏概全，如“不大于”不能轉(zhuǎn)換為“小于”。數(shù)學(xué)語言的另一個(gè)突出特點(diǎn)是它的符號化、形式化特點(diǎn)。形式化的一個(gè)主要表現(xiàn)是“變元的使用”，由于使用了各種變元，數(shù)學(xué)語言能夠很好地表達(dá)一般規(guī)律。用數(shù)學(xué)語言表示形式，在這個(gè)形式中可以填進(jìn)各種內(nèi)容。當(dāng)然這些形式并不是沒有任何內(nèi)容的，它是從個(gè)別的、具體的內(nèi)容中抽象出來的，保留了它們的共同的東西。數(shù)學(xué)語言的這種形式化特點(diǎn)，常常造成在數(shù)學(xué)語義理解不透徹的情況下數(shù)學(xué)語言的形式與內(nèi)容脫節(jié)，造成學(xué)習(xí)上的形式主義。數(shù)學(xué)語言與一般語言相比，第三個(gè)特點(diǎn)是：在應(yīng)用上有不同。如公式語言的應(yīng)用與一般詞語應(yīng)用的形式是不同的，像“豐富多彩”這個(gè)詞，一個(gè)學(xué)生會根據(jù)情境造“昨天的電視節(jié)目豐富多彩”“學(xué)校學(xué)生生活變得豐富多彩了”這樣的句子，基本表明他掌握了這個(gè)詞語的用法。一個(gè)優(yōu)美的句子可以不加變化地嵌套在一段描寫中，使用起來是一種鑲嵌式的；數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用不完全是鑲嵌式的，像三角函數(shù)誘導(dǎo)公式語言sin（180+）=-sin是不能鑲嵌在一個(gè)語句中的，是變形或代入式的，只有能夠計(jì)算諸如sin210=sin（180+30）=-sin30=-等，才表明一個(gè)學(xué)生基本會應(yīng)用這個(gè)公式了（才可以說掌握住了這個(gè)“公式語言”的用法）。又如對余弦定理，只有根據(jù)三角形具體情況如b=8,c=3,A=60，能具體寫出2=82+32-283cos60來才能說一個(gè)學(xué)生基本會應(yīng)用余弦定理了?！柏S富多彩”是一個(gè)形容詞，要想認(rèn)識它，通過定義不太容易，須讓學(xué)生感受；而數(shù)學(xué)中的概念是定義式的，公式是推理式的，直觀感受只是輔助，應(yīng)從理論上把握。數(shù)學(xué)語言與一般語言相比的第四個(gè)特點(diǎn)表現(xiàn)在理解要求層次不同。比如，作為語言學(xué)中的三角形概念，只知道它的形狀就可以了，而不必知道它的更深層次的性質(zhì)；而數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)它，就不僅要從直觀層面上清楚它的形狀，而且重點(diǎn)要從抽象層面上知道它的內(nèi)涵和性質(zhì)特征，語句中一出現(xiàn)“三角形ABC”或“ABC”就會聯(lián)想到內(nèi)角和、邊角關(guān)系等?？梢哉f，數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)面臨的是語言發(fā)展和思維發(fā)展的雙重任務(wù)。數(shù)學(xué)語言的理解常需要更多的判斷、推理，語言中蘊(yùn)涵的推理、判斷的理由、依據(jù)須清楚明白；否則，即便語言中的概念清楚，意義明白，也不能達(dá)到數(shù)學(xué)上的理解。如“已知函數(shù)f（x）是0，5x,2x-4,2-x中的最大值，求f（x）的最小值”，從字面意義上學(xué)生都能夠理解其意義，知道說的是什么意思；但是，對整個(gè)問題卻不知怎樣下手解決，原因是不能理解“f（x）是0，5x,2x-4,2-x中的最大值”的深層意義，不能對其進(jìn)行進(jìn)一步的語義轉(zhuǎn)換和重新表達(dá)。這表明，數(shù)學(xué)語言僅靠字面含義理解是不夠的。第五個(gè)特點(diǎn)：數(shù)學(xué)語言的理解常是句法分析先于語義理解。根據(jù)心理學(xué)的研究，“學(xué)會了語言和閱讀的人，都具有一個(gè)心理詞典。”所謂心理詞典就是詞的意義在人的心理上的表征，通常我們說認(rèn)知一個(gè)詞，就是在心理詞典中找出與這個(gè)詞相對應(yīng)的詞條。在每個(gè)詞條中都包括了與這個(gè)詞條相對應(yīng)的詞的語音與寫法方面的表征以及詞的意義的表征。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果是在學(xué)習(xí)者內(nèi)部形成一個(gè)數(shù)學(xué)心理詞典，利用這個(gè)詞典可以解釋外部輸入的數(shù)學(xué)信息。一個(gè)詞的特征在心理詞典中被呈現(xiàn)的形式常常被設(shè)想為一種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過這個(gè)語義網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以找到一個(gè)詞的特征集合，即詞義。9按照語義學(xué)理論，句子是表達(dá)完整思想的具有一定語法特征的、最基本的言語單位。語言學(xué)習(xí)的中心應(yīng)該是學(xué)習(xí)句子，先理解句子，再造出句子?！熬渥拥睦斫饩褪菑臅嫖淖种衼斫?gòu)意義?！彼^建構(gòu)意義，就是從書面詞的序列中建造起具有層次安排的命題。建構(gòu)意義通?？梢圆捎脙煞N策略：語義策略和句法策略。語義策略是指在閱讀一個(gè)句子的時(shí)候，通過識別句中詞的意義和對句中的詞進(jìn)行意義搭配來確定這句話的含義的策略。如在一個(gè)句子中看到了“紅、小孩、蘋果、吃”這幾個(gè)詞，即便沒有任何其他的句法信息，讀者也能建立起下面兩個(gè)命題（意義）：小孩吃蘋果，蘋果是紅的。這里，讀者使用了語義策略。句法策略是指把句子切分為構(gòu)成成分進(jìn)行分析，考察這個(gè)語言的內(nèi)部構(gòu)造，弄清這些構(gòu)成成分是怎樣相互聯(lián)系起來的，從而建立起句子的底層結(jié)構(gòu)意義。句法就是指對句子中的構(gòu)成成分的“系統(tǒng)安排”，它為人們提供了一種編碼，使人們能夠利用詞的序列去傳遞思想。而句法結(jié)構(gòu)使同樣的一個(gè)詞在不同的句子中起著不同的句法作用，從而使句子具有不同的意義。如“與的平方和”“與和的平方”，兩個(gè)句子都由同樣的詞組成，差異在詞的序列不同，正是這種詞序的不同，才使它們具有完全不同的意義。在自然語言句子的加工中，語義的聯(lián)系常常統(tǒng)治著理解，而句法的分析則是在必需的時(shí)候才起到證實(shí)和去歧義的作用。所以，讀者首先是按照句子的意義來進(jìn)行加工，其次才是按照它的句法來進(jìn)行整理。然而，根據(jù)數(shù)學(xué)語言表達(dá)的特點(diǎn)，學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解更多的是句法結(jié)構(gòu)理解，直接深入到語言材料內(nèi)部，尋找關(guān)系，探明結(jié)構(gòu)，根據(jù)