考點(diǎn)測試44直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)高考概覽考綱研讀1以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題一、基礎(chǔ)小題1下列條件中，能判定直線l平面的是()Al與平面內(nèi)的兩條直線垂直Bl與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直Cl與平面內(nèi)的某一條直線垂直Dl與平面內(nèi)任意一條直線垂直答案D解析由直線與平面垂直的定義，可知D正確2設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)l時，lm且ln但當(dāng)lm，ln時，若m，n不是相交直線，則得不到l即l是lm且ln的充分不必要條件故選A3給出下列四個命題：垂直于同一平面的兩條直線相互平行；垂直于同一平面的兩個平面相互平行；若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任一直線，那么這條直線垂直于這個平面其中真命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析由直線與平面垂直的性質(zhì)，可知正確；正方體的相鄰的兩個側(cè)面都垂直于底面，而不平行，故錯誤；由直線與平面垂直的定義知正確，而錯誤4若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c()A一定平行B一定相交C一定是異面直線D平行、相交、異面直線都有可能答案D解析當(dāng)a，b，c共面時，ac；當(dāng)a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交5下列命題中錯誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面答案D解析對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項易知均是正確的6如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A直線AB上B直線BC上C直線AC上DABC內(nèi)部答案A解析由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1又AC平面ABC，平面ABC1平面ABCC1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上7如圖所示，在立體圖形DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因為ABCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，而BEDEE，所以AC平面BDE因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC平面BDE又由于AC在平面ADC內(nèi)，所以平面ADC平面BDE故選C8如圖所示，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABCDEF，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是()APAADB平面ABCDEF平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABCDEF所成的角為30答案A解析因為PA平面ABCDEF，所以PAAD，故選項A正確；選項B中兩個平面不垂直，故選項B錯；選項C中，AD與平面PAE相交，BCAD，故選項C錯；選項D中，PD與平面ABCDEF所成的角為45，故選項D錯故選A二、高考小題9(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析如圖，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯誤；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯誤故選C10(2015福建高考)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析由“m且lm”推出“l(fā)或l”，但由“m且l”可推出“l(fā)m”，所以“l(fā)m”是“l(fā)”的必要而不充分條件故選B三、模擬小題11(2018大連雙基測試)已知互不重合的直線a，b，互不重合的平面，給出下列四個命題，錯誤的命題是()A若a，a，b，則abB若，a，b，則abC若，a，則aD若，a，則a答案D解析構(gòu)造一個長方體ABCDA1B1C1D1對于D，平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1平面ABCDA1B1平面A1B1C1D112(2018河南安陽二模)已知a，b表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，下列說法錯誤的是()A若a，b，則abB若a，b，ab，則C若a，ab，則bD若a，ab，則b或b答案C解析對于A，若a，則a，又b，故ab，A正確；對于B，若a，ab，則b或b，存在直線m，使得mb，又b，m，故B正確；對于C，若a，ab，則b或b，又，b或b，故C錯誤；對于D，若a，ab，則b或b，故D正確，故選C13(2018安徽亳州模擬)如圖甲所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，如圖乙所示，那么，在四面體AEFH中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案A解析AHHE，AHHF，且EHHFH，AH平面EFH，A正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，B不正確；AGEF，EFAH，AGAHA，EF平面HAG，EF平面AEF，平面HAGAEF，過H作平面AEF的垂線，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；HG不垂直于AG，HG平面AEF不正確，D不正確，故選A14(2018福建泉州二模)在下列四個正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是()答案D解析如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點(diǎn)，易知E，F(xiàn)，G，M，N，Q六個點(diǎn)共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項A，B，C中的平面與這個平面重合，不滿足題意，只有選項D中的直線BD1與平面EFG不垂直，滿足題意故選D15(2018南昌模擬)如果PA，PB，PC兩兩垂直，那么點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影一定是ABC的()A重心 B內(nèi)心 C外心 D垂心答案D解析如圖，O是點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影，連接OA，OB，OC，PA，PB，PC兩兩垂直，PA平面PBC，又BC平面PBC，PABC，而PO平面ABC，BC平面ABC，POBC，又PAPOP，BC平面PAO又AO平面PAO，BCAO同理可知ACBO，ABCOO為ABC的垂心故選D16(2018南昌摸底)如圖，四棱錐PABCD中，PAB與PBC是正三角形，平面PAB平面PBC，ACBD，則下列結(jié)論不一定成立的是()APBACBPD平面ABCDCACDPD平面PBD平面ABCD答案B解析取BP中點(diǎn)O，連接OA，OC，易得BPOA，BPOCBP面OACBPAC選項A正確；又ACBDAC面BDPACPD，平面PBD平面ABCD，所以選項C，D也正確故選B17(2018山西臨汾模擬)如圖，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為MC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()A平面BCE平面ABNBMCANC平面CMN平面AMND平面BDE平面AMN答案C解析分別過A，C作平面ABCD的垂線AP，CQ，使得APCQ1，連接PM，PN，QM，QN，將幾何體補(bǔ)成棱長為1的正方體BC平面ABN，又BC平面BCE，平面BCE平面ABN，故A正確；連接PB，則PBMC，顯然，PBAN，MCAN，故B正確；取MN的中點(diǎn)F，連接AF，CF，ACAMN和CMN都是邊長為的等邊三角形，AFMN，CFMN，AFC為二面角AMNC的平面角，AFCF，AC，AF2CF2AC2，即AFC，平面CMN與平面AMN不垂直，故C錯誤；DEAN，MNBD，DEBDD，DE，BD平面BDE，MNANN，MN，AN平面AMN，平面BDE平面AMN，故D正確，故選C18(2018西安六校聯(lián)考)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PC，PD的中點(diǎn)，則棱AB與PD所在的直線垂直；平面PBC與平面ABCD垂直；PCD的面積大于PAB的面積；直線AE與直線BF是異面直線以上結(jié)論正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)答案解析由條件可得AB平面PAD，ABPD，故正確；PA平面ABCD，平面PAB，平面PAD都與平面ABCD垂直故平面PBC不可能與平面ABCD垂直，故錯誤；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA，可知正確；由E，F(xiàn)分別是棱PC，PD的中點(diǎn)可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE與BF共面，故錯誤一、高考大題1(2018全國卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離解(1)證明：因為APCPAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2連接OB，因為ABBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2由OP2OB2PB2知OPOB由OPOB，OPAC，ACOBO，知PO平面ABC(2)作CHOM，垂足為H又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離由題設(shè)可知OCAC2，CMBC，ACB45所以O(shè)M，CH所以點(diǎn)C到平面POM的距離為2(2018天津高考)如圖，在四面體ABCD中，ABC是等邊三角形，平面ABC平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB2，AD2，BAD90(1)求證：ADBC；(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值解(1)證明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC(2)取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND又M為棱AB的中點(diǎn)，故MNBC所以DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DM因為AD平面ABC，故ADAC在RtDAN中，AN1，故DN在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為(3)連接CM因為ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，故CMAB，CM又因為平面ABC平面ABD，而CM平面ABC，故CM平面ABD所以，CDM為直線CD與平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4在RtCMD中，sinCDM所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為3(2017全國卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積解(1)證明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD由于ABCD，故ABPD，又APPDP，從而AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD(2)如圖，在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，ABADA，可得PE平面ABCD設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx故四棱錐PABCD的體積VPABCDABADPEx3由題設(shè)得x3，故x2從而結(jié)合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為PAPDPAABPDDCBC2sin6062二、模擬大題4(2018湖南益陽模擬)如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，AD2BC，DABABP90(1)求證：AD平面PAB；(2)求證：ABPC；(3)若點(diǎn)E在棱PD上，且CE平面PAB，求的值解(1)證明：因為DAB90，所以ADAB因為平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以AD平面PAB(2)證明：由(1)知ADAB，因為ADBC，所以BCAB又ABP90，所以PBAB因為PBBCB，所以AB平面PBC，因為PC平面PBC，所以ABPC(3)過E作EFAD交PA于F，連接BF因為ADBC，所以EFBC所以E，F(xiàn)，B，C四點(diǎn)共面又CE平面PAB，且CE平面BCEF，平面BCEF平面PABBF，所以CEBF，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以EFBCAD在PAD中，因為EFAD，所以，即5(2018廣東江門一模)如圖，直角梯形ABEF中，ABEBAF90，C，D分別是BE，AF上的點(diǎn)，且DAABBCa，DF2CE2a沿CD將四邊形CDFE翻折至四邊形CDPQ的位置，連接AP，BP，BQ，得到多面體ABCDPQ，且APa(1)求多面體ABCDPQ的體積；(2)求證：平面PBQ平面PBD解(1)DAABBCa，ABCBAD90，四邊形ABCD是正方形，CDAD，CDDP，又ADDPD，CD平面ADPABCD，AB平面ADP，AD2DP2AP2，ADDP，又CDAD，CDDPD，AD平面CDPQ，又ADBC，BC平面CDPQ，VBCDPQS梯形CDPQBCaa3，VBADPSADPABa2aa，多面體ABCDPQ的體積為VBCDPQVBADP(2)證明：取BP的中點(diǎn)G，連接GQ