專題訓(xùn)練(四)與圓有關(guān)的計(jì)算和證明1.2017慶陽如圖ZT4-1,AN是M的直徑,NBx軸,AB交M于點(diǎn)C.點(diǎn)A(0,6),N(0,2),ABN=30.圖ZT4-1 (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)若D為線段NB的中點(diǎn),求證:直線CD是M的切線.2.2017巴中如圖ZT4-2,AH是O的直徑,AE平分FAH,交O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E的直線FGAF,垂足為F,B為半徑OH上一點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上.圖ZT4-2 (1)求證:直線FG是O的切線.(2)若AF=12,BE=6,求FCAD的值.3.2018貴港如圖ZT4-3,已知O是ABC的外接圓,且AB=BC=CD,ABCD,連接BD.圖ZT4-3 (1)求證:BD是O的切線;(2)若AB=10,cosBAC=35,求BD的長及O的半徑.4.2018曲靖如圖ZT4-4,AB為O的直徑,點(diǎn)C為O上一點(diǎn),將BC沿直線BC翻折,使BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合,連接OC,CD,BD,過點(diǎn)C的切線與線段BA的延長線交于點(diǎn)P,連接AD,在PB的另一側(cè)作MPB=ADC.圖ZT4-4 (1)判斷PM與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若PC=3,求四邊形OCDB的面積.5.2017內(nèi)江如圖ZT4-5,在O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE.(1)求證:AC2=AEAB;(2)過點(diǎn)B作O的切線交EC的延長線于點(diǎn)P,試判斷PB與PE是否相等,并說明理由;(3)設(shè)O的半徑為4,點(diǎn)N為OC中點(diǎn),點(diǎn)Q在O上,求線段PQ的最小值.圖ZT4-56.2018廣東如圖ZT4-6,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的O經(jīng)過點(diǎn)C,連接AC,OD交于點(diǎn)E.圖ZT4-6 (1)證明:ODBC;(2)若tanABC=2,證明:DA與O相切;(3)在(2)的條件下,連接BD交O于點(diǎn)F,連接EF,若BC=1,求EF的長.參考答案1.解:(1)A的坐標(biāo)為(0,6),N(0,2),AN=4.ABN=30,ANB=90,AB=2AN=8,由勾股定理可知NB=43,B(43,2).(2)證明:連接MC,NC.AN是M的直徑,ACN=90,NCB=90.在RtNCB中,D為NB的中點(diǎn),CD=12NB=ND,CND=NCD,MC=MN,MCN=MNC.MNC+CND=90,MCN+NCD=90,即MCCD.直線CD是M的切線.2.解:(1)證明:連接OE.OA=OE,OAE=OEA.AE平分FAH,HAE=EAF,FAE=OEA,OEAF,OEG=AFG.又AFFG,AFG=90,OEG=AFG=90,OEFG,直線FG是O的切線.(2)四邊形ABCD為矩形,BEAB.EFAF,又AE平分FAB,EF=BE=6.又四邊形ABCD為矩形,D=C=90.D=90,DAF+AFD=90.又AFFG,AFG=90,AFD+CFE=90,DAF=CFE.又D=C,ADFFCE,FCAD=EFAF.FCAD=612=12.3.解:(1)連接BO并延長交AC于H,由于O是ABC的外接圓,AB=BC,則BHAC且AH=CH,又AB=CD,ABCD,四邊形ABDC是平行四邊形,ACBD,BHBD,即OBBD,BD是O的切線.(2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2ABcosBAC=21035=12.BD=12.設(shè)圓的半徑為r,OH=x,則有r+x=BH,連接AO,在RtOAH中,AH2+x2=r2,又BH=AB2-AH2=102-62=8,r+x=8.又由AH2+x2=r2得,(r+x)(r-x)=AH2=36,r-x=92.,聯(lián)立,解得r=254,O的半徑為254.4.解:(1)過點(diǎn)O作OHPM,連接OD交BC于點(diǎn)E,由于點(diǎn)D為BC中點(diǎn),且沿BC折疊與O重合,所以O(shè)D垂直平分BC,OE=12OD=12OB,所以O(shè)BC=30,所以ADC=MPB=30,則POH=60,又因?yàn)镻OC=2OBC=60,所以POH=POC,又因?yàn)镻HO=PCO,PO=PO,所以PHOPCO,所以O(shè)H=OC,直線PM到圓心的距離等于半徑,且OHPM,因此PM是O的切線.(2)由于D是BC中點(diǎn),且沿BC折疊與點(diǎn)O重合,所以O(shè)B=DB,OC=CD,又因?yàn)镺C=OB,所以O(shè)C=CD=DB=BO,所以COD是等邊三角形,四邊形OCDB是菱形,由(1)得出CPO=HPO=30,所以O(shè)C=PCtan30=333=1,則四邊形OCDB的面積為2121132=32,因此四邊形OCDB的面積為32.5.解:(1)證明:如圖,連接BC,CDAB,CB=CA,CAB=CBA.又AE=CE,CAE=ACE.ACE=ABC.CAE=BAC,CAEBAC.ACAB=AEAC,即AC2=AEAB.(2)PB=PE.理由如下:如圖,連接BD,OB.CD是直徑,CBD=90.BP是O的切線,OBP=90.BCD+D=PBC+OBC=90.OB=OC,OBC=OCB.PBC=D.A=D,PBC=A.ACE=ABC,PEB=A+ACE,PBN=PBC+ABC,PEB=PBN.PE=PB.(3)如圖,連接PO交O于點(diǎn)Q,則此時(shí)線段PQ有最小值.N是OC的中點(diǎn),ON=2.OB=4,OBN=30,PBE=60.PE=PB,PEB是等邊三角形.PEB=60,PB=BE.在RtBON中,BN=OB2-ON2=42-22=23.在RtCEN中,EN=CNtan60=23=233.BE=BN+EN=833.PB=BE=833.PQ=PO-OQ=OB2+PB2-OQ=42+(833)2-4=4321-4.6.解析 (1)連接OC,由SSS可證得OADOCD,得ADO=CDO,由AD=CD可證DEAC,再由AB為直徑證得BCAC,從而得ODBC;(2)根據(jù)tanABC=2,可設(shè)BC=a,則AC=2a,AD=AB=AC2+BC2=5a,由OE為中位線知OE=12a,AE=CE=12AC=a,進(jìn)一步求得DE=AD2-AE2=2a,在AOD中利用勾股定理的逆定理證OAD=90即可;(3)先證AFDBAD,得DFBD=AD2,再證AEDOAD,得ODDE=AD2,從而可得DFBD=ODDE,即DFOD=DEBD,結(jié)合EDF=BDO知EDFBDO,據(jù)此可得EFOB=DEBD,結(jié)合(2)所得相關(guān)線段的長,代入計(jì)算可得.解:(1)證明:連接OC,在OAD和OCD中,OA=OC,AD=CD,OD=OD,OADOCD(SSS),ADO=CDO.AD=CD,DEAC,AEO=90.AB為O的直徑,ACB=90,AEO=ACB,ODBC.(2)證明:tanABC=ACBC=2,設(shè)BC=a,則AC=2a,AD=AB=AC2+BC2=5a.OEBC,且AO=BO,OE=12BC=12a,AE=CE=12AC=a.在AED中,DE=AD2-AE2=2a.在AOD中,AO2+AD2=52a2+(5a)2=254a2,OD2=(OE+DE)2=12a+2a2=254a2,AO2+AD2=OD2,OAD=90,則DA與O相切.(3)連接AF,AB是O的直徑,AFD=BAD=90,又ADF=BDA,AFDBAD,DFAD=ADBD,即DF