內(nèi) 容,第一章 函數(shù)(Function)與極限(Limit) 第二章 導(dǎo)數(shù)(Derivative)和微分 第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第四章 不定積分(Integral) 第五章 定積分及其應(yīng)用,1,2,第一章 函數(shù)和極限,1.1 預(yù)備知識(shí) 一. 集合(Set)一切數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 二. 實(shí)數(shù)(Real Number) 在微積分中，數(shù)就是指實(shí)數(shù) 1.2 函數(shù)(Function) 函數(shù)是微積分學(xué)的運(yùn)算和研究對(duì)象 1.3 極限(Limit) 1.4 函數(shù)的連續(xù)性,1.1 預(yù)備知識(shí),一、集合(Set) 1.集合及其表示法 例. 廈大2010級(jí)全體學(xué)生構(gòu)成一個(gè)集合 所有大于0小于1的數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合 定義(Definition) 集合是指具有某種屬性的事物的全體; 組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素。 我們通常用大寫字母 A，B，C， 表示集合，用小寫字母 a,b,c, 表示集合中的元素。,3,元素a屬于集合A: 記作 元素b不屬于集合A: 記作 例. 若A是全體正數(shù)組成的集合，則 ， 。 例.”廈大2010級(jí)全體新生中個(gè)子高的同學(xué)”是否構(gòu)成一個(gè)集合？,4,命題(Proposition) 集合元素的性質(zhì):,1.確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合。 2.獨(dú)立性：集合中的元素的個(gè)數(shù)、集合本身的個(gè)數(shù)必須為自然數(shù)(Nature Number,記為 )。 3.互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。 例. 如寫成1，1，2，等同于1，2。,5,命題(Proposition) 集合元素的性質(zhì):,4.無(wú)序性： 例. 1,2, 2,1是同一個(gè)集合。 5.純粹性和完備性： 例. 給定集合A： A是全體正數(shù)組成的集合。 集合A 中所有的元素都要符合x0(純粹性); 所有符合x0的數(shù)都在集合A中(完備性).,6,7,集合的表示：,（1）列舉法,列舉法優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明清楚,例. A=a，b，c，d，e 為5元集。,列舉法缺點(diǎn)：有些集合無(wú)法表示,列舉法適用范圍：包含有限個(gè)元素的有限 集或在沒有歧義情況下無(wú)限個(gè)可排列的元素的集合。,小于10的正整數(shù)集合： B=1,2,3, , 9,8,（2）描述法,例.,是全體正數(shù)所組成的集合。,是直角坐標(biāo)平面上的一條直線。,集合的表示：,9,定義. 由有限個(gè)元素組成的集合稱為有限集； 由無(wú)限個(gè)元素組成的集合稱為無(wú)限集； 不含任何元素的集合稱為空集，記作 。 例. 大于一切自然數(shù)的數(shù)構(gòu)成空集。 表示獨(dú)點(diǎn)集。 為n元集。 自然數(shù)集 為無(wú)限集。,10,2 集合間的關(guān)系與運(yùn)算,子集 設(shè)A和B都是集合，如果 ， 那么就說A是B的子集，,定義. 設(shè)A和B都是集合， 記作 相等。,例.,11,例題：,(1) 給定集合：,試判斷它們之間是否存在包含或相等的關(guān)系。,答：,(2) 判斷：,集合A=x|x1是空集,3. 空集是一切集合的子集,2. 空集屬于任何集合,12,集合間的運(yùn)算,定義. 設(shè)A、B是兩集合，則,交 “AB”,xxA且xB,并 “AB”,xxA或xB,差 “ AB”,xxA但xB,等價(jià) AB 一一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合等價(jià),與自然數(shù)集合N等價(jià)的集合稱為可列集 例. 偶數(shù)集與奇數(shù)集都為可列集，且等價(jià)。,定義 在一個(gè)具體問題中，如果所涉及的集合都是某個(gè) 集合的子集，則稱這個(gè)集合為全集，記作：I。 如果， 為集合B在全集I中的余集(或補(bǔ)集)。,13,（4）對(duì)偶原理：,（3）分配律：（AB ) C =(A C) (B C) （AB ) C =(A C) (B C),（5）,A(A B) =A, A(AB) =A,定理(Theorem),（1）交換律：A B= BA，,AB =BA,（2）組合律：（AB )C =A(B C),(A B) C = A(B C),14,二、實(shí)數(shù),1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸,全體自然數(shù)(Natural number)的集合,全體有理數(shù)(Rational number)的集合,全體整數(shù)(Integer)的集合,全體實(shí)數(shù)(Rational number)的集合,數(shù)軸是具有方向、原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度的有向直線。 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.,15,2.絕對(duì)值,常用的絕對(duì)值性質(zhì) 及不等式:,(2),(1),(3),16,2.區(qū)間 (Interval),稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為左閉右開區(qū)間,稱為左開右閉區(qū)間,17,無(wú)限區(qū)間,區(qū)間長(zhǎng)度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.,18,定義,鄰域的半徑.,左鄰域：,右鄰域：,3.鄰域,19,定義,設(shè)有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使每個(gè)數(shù)xD，,都有一個(gè)(只有一個(gè)) 實(shí)數(shù)y,與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f 為定義在D上 的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，或稱變量y是變量x的函數(shù)， 記作y=f(x)，xD. x叫做自變量， y叫做因變 量。集合D稱為函數(shù)的定義域，也可以記做 D(f),值域記作Z(f) 。,1.2初等函數(shù) 一、函數(shù)的概念,若D是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集,20,注意：,如,就不是同一個(gè)函數(shù)，為什么？,2求定義域的方法：,(1) 應(yīng)用題由實(shí)際意義確定； 例. 從甲地到乙地，行李收費(fèi)如下：每公斤收費(fèi)2元，10公斤起運(yùn)。設(shè)行李重為x, 以f(x)記其運(yùn)費(fèi)，則 f 是一函數(shù)： , f 的定義域是,(2)形式題就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。,1.當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩者才是同一個(gè)函數(shù)。,看一下課本第6頁(yè)例1,例.,21,函數(shù)表示法,（一）三種表示法,1、公式法：例如y=sinx 2、表格法：如例1 3、圖表法：如例2,例1.設(shè) , 則右表 定義了一個(gè)函數(shù)f.,例2.,22,（二）分段函數(shù),一般在定義域的不同范圍有不同的表達(dá)式,例如：,23,常用的分段函數(shù)還有：,(1) 符號(hào)函數(shù),24,(2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),25,有理數(shù)點(diǎn),無(wú)理數(shù)點(diǎn),x,y,o,(3) 狄利克雷(Dirichlet)函數(shù),26,(4) 最大值和最小值函數(shù),27,1.單調(diào)函數(shù)(Monotone Function),二、具有某種特性的函數(shù),28,29,有界(Bounded),無(wú)界(Unbounded),2.有界函數(shù)(Bounded Function),s.t.(such that),30,3.奇(偶)函數(shù),偶函數(shù)(Even Function),y,x,o,x,-x,奇函數(shù)(Odd Function),31,4周期函數(shù)(Periodic Function),（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,看一下課本P7例2,32,三、隱函數(shù)，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),1.隱函數(shù)(Implicit Function),隱函數(shù)的顯化,33,注1：習(xí)慣上把x作為自變量，y作為因變量，因此把y=f(x)的反函數(shù)記為,如果設(shè)函數(shù),的定義域?yàn)?，值域?yàn)?如果對(duì)于,中的每一個(gè),，在,中都有滿足關(guān)系,的唯一的數(shù),與之對(duì)應(yīng)，則稱這樣的對(duì)應(yīng)法則,為,的反函數(shù)，記為,注2：求反函數(shù)的步驟,2.反函數(shù),34,注3：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系：,1.直接函數(shù)的定義域（或值域）是其反函數(shù)的值域（或定義域）;,35,例:求下列函數(shù)的反函數(shù),36,3復(fù)合函數(shù),引入：設(shè)有函數(shù) y=u2 和函數(shù) u=1-sinx,則 y=(1-sinx)2,是兩者的復(fù)合函數(shù)。,若函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈（f),u=g(x)的值域?yàn)閆(g),且Z(g) D( f ) ,其中x為自變量,y為因變量，u稱為中間變量。,注1：函數(shù)還可進(jìn)行三重，四重和多重復(fù)合。,則稱y=f（g(x)）為復(fù)合函數(shù)。,37,注2：,條件Z(g) D( f ) 必不可少，否則兩個(gè)函數(shù) 就不一定能構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。,和u=2+x2,就不能構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。,(值域?yàn)?,+)，定義域 為-1，1),如y=arcsinu,看一下課本P9例3,38,（一）基本初等函數(shù),四、基本初等函數(shù)與初等函數(shù),想一想這些函數(shù)的定義域和值域和函數(shù)圖象.,看一下課本P11例4；P12例5,39,（二）初等