序列相關(guān)性 Serial Correlation,一、序列相關(guān)性的概念 二、序列相關(guān)性的后果 三、序列相關(guān)性的檢驗(yàn) 四、具有序列相關(guān)性模型的估計(jì) 五、案例,如果模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)違背了互相獨(dú)立的基本假設(shè)，則認(rèn)為存在序列相關(guān)。,普通最小二乘法（OLS）要求計(jì)量模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)相互獨(dú)立或序列不相關(guān)。,一、序列相關(guān)性,1、序列相關(guān)的概念,對于模型,i=1,2,n,隨機(jī)誤差項(xiàng)互相獨(dú)立的基本假設(shè)表現(xiàn)為：,ij，i,j=1,2,n,如果出現(xiàn),ij，i,j=1,2,n,即對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為存在序列相關(guān)。,在其他基本假設(shè)仍滿足的條件下，隨機(jī)誤差項(xiàng)序列相關(guān)意味著：,（ij，i,j=1,2,n）,如果用矩陣符號表示，則序列相關(guān)意味著：,則稱為一階序列相關(guān)，或自相關(guān)（autocorrelation）。,其中：被稱為自協(xié)方差系數(shù)（coefficient of autocovariance）或一階自相關(guān)系數(shù)（first-order coefficient of autocorrelation）。,如果僅存在,（i=1,2,n-1）,這是最常見的一種序列相關(guān)問題。,自相關(guān)往往可寫成如下形式：,2、序列相關(guān)產(chǎn)生的原因,（1）慣性 （2）設(shè)定誤差：模型中遺漏了顯著的變量 （3）設(shè)定誤差：不正確的函數(shù)形式 （4）蛛網(wǎng)現(xiàn)象 （5）數(shù)據(jù)的“編造”,（1）慣性 大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)據(jù)都有一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是它的慣性。 GDP、價(jià)格指數(shù)、生產(chǎn)、就業(yè)與失業(yè)等時(shí)間序列都呈周期性，如周期中的復(fù)蘇階段，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)序列均呈上升趨勢，序列在每一時(shí)刻的值都高于前一時(shí)刻的值，似乎有一種內(nèi)在的動力驅(qū)使這一勢頭繼續(xù)下去，直至某些情況（如利率或課稅的升高）出現(xiàn)才把它拖慢下來。,（2）設(shè)定誤差：模型中遺漏了顯著的變量,例如：如果對牛肉需求的正確模型應(yīng)為 Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t 其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉價(jià)格，X2=消費(fèi)者收入，X3=豬肉價(jià)格。 但在建模時(shí)誤將模型設(shè)定為： Yt= 0+1X1t+2X2t+vt 那么該式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)實(shí)際上是：vt= 3X3t+t, 于是在豬肉價(jià)格影響牛肉消費(fèi)量的情況下，這種模型設(shè)定的偏誤往往導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)中有一個(gè)重要的系統(tǒng)性影響因素，使其呈序列相關(guān)性。,(3)設(shè)定誤差：不正確的函數(shù)形式,例如：如果邊際成本模型應(yīng)為： Yt= 0+1Xt+2Xt2+t 其中：Y=邊際成本，X=產(chǎn)出。 但在建模時(shí)誤將模型設(shè)定為： Yt= 0+1Xt+vt 因此，由于 vt= 2Xt2+t ，包含了產(chǎn)出的平方對隨機(jī)誤差項(xiàng)的系統(tǒng)性影響，隨機(jī)誤差項(xiàng)也呈現(xiàn)序列相關(guān)性。,(4)蛛網(wǎng)現(xiàn)象,例如：農(nóng)產(chǎn)品供給對價(jià)格的反映本身存在一個(gè)滯后期：Qt= 0+1Pt-1+t 其中：Qt=t 年農(nóng)產(chǎn)品的供給; Pt-1= t-1 年農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格。 意思是，農(nóng)民由于在前一年度（t-1）的過量生產(chǎn)（使該期價(jià)格下降）很可能導(dǎo)致在下一年度（t）削減產(chǎn)量，因此不能期望隨機(jī)干擾項(xiàng)是隨機(jī)的，往往產(chǎn)生一種蛛網(wǎng)模式。,(5)數(shù)據(jù)的“編造”,例如：如果季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，那么這種平均的計(jì)算會減弱每月數(shù)據(jù)的波動而使季度數(shù)據(jù)更為平滑，從而使隨機(jī)干擾項(xiàng)出現(xiàn)序列相關(guān)。 此外，當(dāng)歷史數(shù)據(jù)缺失時(shí)，在兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間采用“內(nèi)插”技術(shù)，也可能導(dǎo)致隨機(jī)干擾項(xiàng)出現(xiàn)序列相關(guān)。,二、序列相關(guān)性的后果,1、參數(shù)估計(jì)量非有效,OLS參數(shù)估計(jì)量仍具無偏性 OLS估計(jì)量不具有有效性 在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量仍然不具有漸近有效性，這就是說參數(shù)估計(jì)量不具有一致性,因?yàn)樵谟行缘淖C明過程中利用了,即同方差性和互相獨(dú)立性條件。,2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義,在變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為(n-k-1)的t分布。這些只有當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)具有同方差和互相獨(dú)立時(shí)才能成立。,因此，當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)時(shí)，t 檢驗(yàn)失去意義。,如果出現(xiàn)了序列相關(guān)，即,從而無法導(dǎo)出：,及,t,分,布統(tǒng)計(jì)量；,3、模型的預(yù)測功能失效,由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時(shí)，它的預(yù)測功能失效。,三、序列相關(guān)性的檢驗(yàn),1、基本思路,序列相關(guān)性檢驗(yàn)方法有多種，但基本思路是相同的： 首先，采用普通最小二乘法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)量”,然后，通過分析這些“近似估計(jì)量”之間的相關(guān)性，以達(dá)到判斷隨機(jī)誤差項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性的目的。,2、圖示法,3、解析法,（1）回歸檢驗(yàn)法,以,為被解釋變量，以各種可能的相關(guān)量，,等為解釋變量，建立各種,諸如以,方程，如：,具體應(yīng)用時(shí)需要反復(fù)試算。 回歸檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是： 一旦確定了模型存在序列相關(guān)性，也就同時(shí)知道了相關(guān)的形式； 它適用于任何類型的序列相關(guān)性問題的檢驗(yàn)。,然后，對各個(gè)方程估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式使得方程顯著成立，則說明原模型存在這種函數(shù)形式的序列相關(guān)性。,（2）杜賓-瓦森（Durbin-Watson）檢驗(yàn)法,D-W檢驗(yàn)是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗(yàn)序列自相關(guān)的方法。 該方法的假定條件是：,（1）解釋變量X為非隨機(jī)變量； （2）隨機(jī)誤差項(xiàng)i為一階自回歸形式： i =i-1+i （3）回歸模型中不應(yīng)含有滯后被解釋變量作為解釋變量，即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式： Yi=b0+b1X1i+bkXki+Yi-1+i （4）回歸模型中含有截距項(xiàng)； （5）沒有缺失數(shù)據(jù)。,D.W.統(tǒng)計(jì)量,Durbin和Watson假設(shè)：,H0：0，即i不存在一階自相關(guān)；,H1：0，即i存在一階自相關(guān) 。,并構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量,該統(tǒng)計(jì)量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系，因此其精確的分布很難得到。 但是，Durbin和Watson成功地導(dǎo)出了臨界值的下限dL和上限dU ，且這些上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個(gè)數(shù)k有關(guān)，而與解釋變量X的取值無關(guān)。 檢驗(yàn)步驟 計(jì)算D.W.統(tǒng)計(jì)量的值， 根據(jù)樣本容量n和解釋變量數(shù)目k，查D.W.分布表，得到臨界值dL和dU， 按照下列準(zhǔn)則考察計(jì)算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關(guān)狀態(tài)。,若 0D.W.dL 則存在正自相關(guān) dLD.W.dU 不能確定 dUD.W.4-dU 無自相關(guān) 4-dUD.W.4-dL 不能確定 4-dLD.W.4 存在負(fù)自相關(guān),可以看出，當(dāng)D.W.值在2左右時(shí)，模型不存在一階自相關(guān)。,為什么可以通過D.W.值檢驗(yàn)自相關(guān)的存在呢？,證明過程：見教材P64。,（1）從判斷準(zhǔn)則看到，存在兩個(gè)不能確定的D.W.值區(qū)域，這是這種檢驗(yàn)方法的一大缺陷。 （2）D.W.檢驗(yàn)雖然只能檢驗(yàn)一階自相關(guān)，但在實(shí)際計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，一階自相關(guān)是出現(xiàn)最多的一類序列相關(guān)； （3）經(jīng)驗(yàn)表明，如果不存在一階自相關(guān)，一般也不存在高階序列相關(guān)。 所以在實(shí)際應(yīng)用中，對于序列相關(guān)問題一般只進(jìn)行D.W.檢驗(yàn)。,注意：,四、具有序列相關(guān)性模型的估計(jì),如果模型被檢驗(yàn)證明存在序列相關(guān)性，則需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型。 最常用的方法是廣義最小二乘法（GLS: Generalized least squares）、一階差分法（First-Order Difference)和廣義差分法(Generalized Difference)。,1、廣義最小二乘法,對于模型 Y=XB+N ，如果存在序列相關(guān)，同時(shí)存在異方差，即有,該模型具有同方差性和隨機(jī)誤差項(xiàng)互相獨(dú)立性：,由于為一實(shí)對稱矩陣，并且是正定矩陣，于是存在可逆矩陣D，使得 =DD,用D-1左乘模型 Y=XB+N 的兩邊，得到一個(gè)新的模型：,D-1 Y=D-1 XB+D-1 N,即,Y*=X*B+N*,于是，可以用OLS法估計(jì)模型 D-1 Y=D-1 XB+D-1N ，得,這就是原模型 Y=XB+N 的廣義最小二乘估計(jì)量(GLS estimators)，它是無偏的、有效的估計(jì)量。,如何得到矩陣？,仍然是對原模型 Y=XB+N 首先采用普通最小二乘法，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成矩陣的估計(jì)量 ，即,當(dāng)我們應(yīng)用包含有廣義最小二乘法的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包時(shí)，只要選擇廣義最小二乘法，輸入上述方差協(xié)方差矩陣，估計(jì)過程即告完成。 這樣，同樣引出了人們通常采用的經(jīng)驗(yàn)方法：即并不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)和序列相關(guān)性檢驗(yàn)，而是直接選擇廣義最小二乘法。如果確實(shí)存在異方差性和序列相關(guān)性，則被有效地消除了；如果不存在，則廣義最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。,2、一階差分法,一階差分法是將原模型,i=1,2,n,變換為,i=1,2,n,其中,即使對于非完全一階正相關(guān)的情況，只要存在一定程度的一階正相關(guān)，差分模型就可以有效地加以克服。,如果原模型存在完全一階正自相關(guān)，即在 i=i-1+i 中，=1， i不存在序列相關(guān)。,滿足應(yīng)用OLS法的基本假設(shè)，用OLS法估計(jì)該差分模型得到的參數(shù)估計(jì)量，即為原模型參數(shù)的無偏、有效的估計(jì)量。,那么，差分模型,3、廣義差分法,該模型即為廣義差分模型，它不存在序列相關(guān)問題。采用普通最小二乘法估計(jì)該模型得到的參數(shù)估計(jì)量，即為原模型參數(shù)的無偏的、有效的估計(jì)量。,如果原模型存在,那么，可以將原模型變換為,廣義差分法可以克服所有類型的序列相關(guān)帶來的問題，一階差分法是它的一個(gè)特例。,其中，i不存在序列相關(guān)。,4、隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)系數(shù)的估計(jì),應(yīng)用廣義差分法，必須已知不同樣本點(diǎn)之間隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)1, 2, l 。實(shí)際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必須首先對它們進(jìn)行估計(jì)。,常用的方法有： （1）科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法； （2）杜賓（durbin）兩步法。,（1）科克倫-奧科特迭代法,首先，采用OLS法估計(jì)原模型（以一元回歸為例） Yi=0+1Xi+i 得到的隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)值”，并以之作為觀測值采用OLS法估計(jì)下式 i=1i-1+2i-2+Li-L+i,類似地，可進(jìn)行第三次、第四次迭代。,關(guān)于迭代的次數(shù)，可根據(jù)具體的問題來定。 一般是事先給出一個(gè)精度，當(dāng)相鄰兩次1，2，L的估計(jì)值之差小于這一精度時(shí)，迭代終止。 實(shí)踐中，有時(shí)只要迭代兩次，就可得到較滿意的結(jié)果。兩次迭代過程也被稱為科克倫-奧科特兩步法。,（2）杜賓（durbin）兩步法,該方法仍是先估計(jì)1，2，L，再對差分模型進(jìn)行估計(jì)。,5、應(yīng)用軟件中的廣義差分法,在Eview/TSP軟件包下，廣義差分采用了科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估計(jì)。 在解釋變量中引入AR(1)、AR(2)、，即可得到參數(shù)和1、2、的估計(jì)值。 其中AR(m)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的m階自回歸。在估計(jì)過程中自動完成了1、2、的迭代.,6、虛假序列相關(guān)問題,所謂虛假序列相關(guān)問題，是指模型的序列相關(guān)性是由于忽略了顯著的解釋變量而引致的。 避免產(chǎn)生虛假序列相關(guān)性的措施是，在開始時(shí)建立一個(gè)“一般”的模型，然后逐漸剔除確實(shí)不顯著的變量。,LM（Lagrange multiplier）檢驗(yàn),拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)克服了DW檢驗(yàn)的缺陷，適合于高階序列自相關(guān)以及模型中存在滯后解釋變量的情形。 它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被稱為GB檢驗(yàn)。,對于模型,如果懷疑隨機(jī)擾動項(xiàng)存在p階序列相關(guān)：,GB檢驗(yàn)可用來檢驗(yàn)如下受約束回歸方程,約束條件為： H0: 1=2=p =0,約束條件H0為真時(shí)，大樣本下,其中，n為樣本容量，R2為如下輔助回歸的可決系數(shù)：,給定，查臨界值2(p)，與LM值比較，做出判斷， 實(shí)際檢驗(yàn)中，可從1階、2階、逐次向更高階檢驗(yàn)。,五、案例:某地區(qū)商品出口模型,1、某地區(qū)商品出口總值與國內(nèi)生產(chǎn)總值的數(shù)據(jù),2、序列相關(guān)性檢驗(yàn) （1）圖示法檢驗(yàn),（2）D.W.檢驗(yàn),在5%在顯著性水平下，n=19，k=2(包含常數(shù)項(xiàng))，查表得dL=1.18，dU=1.40， 由于D.W.=0.9505dL，故存在正自相關(guān)。,3、自相關(guān)的處理, 一階差分法,R2=0.4747, D.W.=1.8623 由于D.W.du=1.39（注：樣本容量為18個(gè)），已不存在自相關(guān)。, 廣義差分法,采用杜賓兩步法估計(jì),由于D.W.du=1.39(注：樣本容量為19-1=18個(gè))，已不存在自相關(guān)。于是原模型估計(jì)式為：,采用科克倫-奧科特迭代法估計(jì),一階廣義差分的結(jié)果：,由于D.W.du=1.39(注：樣本容量為18個(gè))，已不存在自相關(guān)。,二階廣義差分的結(jié)果：,由于D.W.du=1.38(注：樣本容量為19-2=17個(gè))，已不存在自相關(guān)。 但由