2019/5/19,1,內(nèi)容回顧,1. 概率論中的基本概念：,樣本點(diǎn)，,樣本空間，,隨機(jī)事件,2. 隨機(jī)事件的四種關(guān)系和三種運(yùn)算以及De Morgen律,3.概率的統(tǒng)計(jì)定義：,頻率越大，事件發(fā)生的可能性越大,4. 概率的公理化定義：,非負(fù)性，規(guī)范性，可加性,5. 概率的五條性質(zhì),2019/5/19,2,古典概型,一、古典概型的定義 二、古典概型的公式 三、應(yīng)用,第三節(jié),基本內(nèi)容：,2019/5/19,3,2019/5/19,4,注:,2 判斷古典概型的兩個(gè)依據(jù)：, 的有限性；, 各基本事件的等可能性.,3 加法原理、乘法原理、排列與組合在古典概型,中起著重要的作用.,1 古典概型與樣本空間的建立有關(guān)；,2019/5/19,5,預(yù)備知識(shí)：,1.加法原理：完成1件事，有n類辦法. 在第1類辦法中,有m1種不同的方法，,在第2類中有m2種不同的方法，,在第n類中有mn種不同的方法，,那么完成這件事共有,2.乘法原理：完成1件事，需要分成n個(gè)步驟.,做第1步,有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法，,做第n步有mn種不同的方法，,那么完成這件事共有,2019/5/19,6,3.排列：從n個(gè)不同元素中取出m (mn)個(gè)元素的所有,排列的個(gè)數(shù)，,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記為,4.組合：從n個(gè)不同元素中取出m (mn)個(gè)元素并成一,組，,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記為,2019/5/19,7,例1：從0, 1, 2,9共10個(gè)數(shù)字中任取一個(gè).假定每,(1) 7個(gè)數(shù)字全不同；,(2) 不含4和7；,出7個(gè)數(shù)字，試求下列各事件的概率:,個(gè)數(shù)字都以1/10的概率被取中,取后還原,先后取,三、常見的古典概型,1.隨機(jī)取數(shù)模型,2019/5/19,8,解:,樣本空間所包含的基本事件總數(shù)：107.,(1) A表示“7個(gè)數(shù)字全不同”.,A所包含的基本事件數(shù)：,(2) B表示“ 不含4和7”.,2019/5/19,9,2.分房模型,解：1 先求樣本空間所含的樣本點(diǎn)總數(shù).,有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率 1/N被分配,在N (nN) 間房中的每一間中，試求下列各事件,的概率：,(1) 某指定n間房中各有一人；,(2) 恰有n間房，其中各有一人；,(3)某指定房中恰有m (m n)人.,例2:,2019/5/19,10,分析 把n個(gè)人隨機(jī)地分到N個(gè)房間中去, 每一,種分法就對(duì)應(yīng)著一個(gè)樣本點(diǎn)(基本事件)，,由于每個(gè)人都可以住進(jìn)N間房中的任一,間，所以每一個(gè)人有N種分法, n個(gè)人共,有 Nn 種分法, 即,基本事件總數(shù)：,2,(1) 設(shè) A表示“某指定n間房中各有一人”,則 A所含樣本點(diǎn)數(shù)：,2019/5/19,11,(2) 設(shè)B表示“恰有n間房，其中各有一人”,這n間房可以從N個(gè)房間中任意選取, 共有,各有一人的分法有 n!種, 所以事件B所含的,樣本點(diǎn)數(shù)：,種分法. 而對(duì)于每一選定的n間房,其中,分析 對(duì)于事件B，由于未指定哪n個(gè)房間,所以,2019/5/19,12,求其中恰有2件次品的概率.,例3：設(shè)一批產(chǎn)品共100件,其中共有95件正品和,5件次品,按放回抽樣方式從這批產(chǎn)品中抽取10,件樣本,放回地抽取10件樣品共有基本事件數(shù),設(shè)事件A1表示“取出的10件樣品中恰有2件次品”,解：,事件A1包含的基本事件數(shù)：,3.產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?2019/5/19,13,基本事件的,相當(dāng)于從100件樣品中取10件作組合,求取出的10件樣本中恰有2件次品的概率.,例4.,上題按不放回抽樣方式從這批產(chǎn)品中抽取,10件樣品,解1：,從這批產(chǎn)品中不放回抽樣抽取10件樣品,總數(shù)為,設(shè)事件A2表示“取出的10件樣品中恰有2件次品”,則事件A2包含的基本事件數(shù)為,按古典概型的概率公式,2019/5/19,14,則事件A2包含的基本事件數(shù)為,解2：,第一次抽取有100種不同取法,第二次抽取,有99種不同取法,第10次抽取有91種不同取法,因此基本事件的總數(shù)為,設(shè)事件A2表示“取出的10件樣品中恰有2件次品”,按古典概型的概率公式,2019/5/19,15,(2)在不放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A2）的概率為,(1)在放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A1）的概率為,設(shè)一批產(chǎn)品共N件, 其中有M件次品, 從這批產(chǎn)品,中隨機(jī)抽取n件樣品，則,產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?2019/5/19,16,就是從N件產(chǎn)品中任取,次取出的產(chǎn)品是次品的概率.,例5.,設(shè)一批產(chǎn)品共N件,其中有M件次品,每次,從這批產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品,取出后不放回,求,第,解:,到第i次取出的產(chǎn)品時(shí),i件樣品的排列,所以基本事件的總數(shù)為,設(shè)事件Ai表示“第i次取出的產(chǎn)品是次品”,它包含的,基本事件數(shù)為,2019/5/19,17,注：放回抽樣或不放回抽樣中,無論哪次抽取次品的概率都一樣,即取出次品的概率與先后次序無關(guān).,按古典概型的概率公式, 得,2019/5/19,18,同類型的問題還有：,5) 撲克牌花色問題；,4) 鞋子配對(duì)問題；,6) 英文單詞、書、報(bào)及電話號(hào)碼等排列問題.,1) 中彩問題；,2) 抽簽問題；,3) 分組問題；,2019/5/19,19,19,解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3.,例：某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?,人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。,2019/5/19,20,條件概率 概率乘法公式,一、條件概率 二、概率乘法公式 三、全概率公式與貝葉斯公式,基本內(nèi)容：,第四節(jié),2019/5/19,21,條件概率是概率論中的一個(gè)重要概念，,什么是條件概率？,同時(shí)，我們將發(fā)現(xiàn)它也是用來計(jì)算,復(fù)雜模型中概率的重要工具。,2019/5/19,22,2019/5/19,23,所謂 “事件A1已發(fā)生”,是指A1 中某一個(gè)樣本點(diǎn)已出現(xiàn)。 那么，“在事件A1已發(fā)生的條件下，事件A2再發(fā)生”， 必然是這個(gè)已出現(xiàn)的樣本點(diǎn)又屬于A2(屬于A1A2).,例：設(shè)在10個(gè)同一型號(hào)的元件中有7個(gè)一等品,從這些元件中,不放回連續(xù)取兩次,每次取一個(gè)元件,求在第一次取得一等品的條件下,第二次取得一等品的概率.,分析：,設(shè)Ai表示“第 i 次取得一等品” (i=1, 2),在新的樣本空間 中求事件A1A2的概率,所以A1發(fā)生的條件下,A2發(fā)生的概率看成是,2019/5/19,24,2.條件概率的定義,為事件A在事件B發(fā)生的條件下的條件概率.,設(shè)A與B是兩個(gè)隨機(jī)事件,若P(B)0,則稱,2019/5/19,25,3. 條件概率的性質(zhì),(3) 可列可加性：,逆事件的條件概率:,(1) 非負(fù)性： 0P(A|B) 1;,(2) 規(guī)范性：,對(duì)于可列無窮個(gè)互不相容事件,故條件概率滿足概率的5條性質(zhì)，如,2019/5/19,26,例6.,設(shè)在10個(gè)同一型號(hào)的元件中有7個(gè)一等品,從這些元件中不放回連續(xù)取兩次,求在第一次取得一等品的條件下,第二次取得一等,每次取一個(gè)元件,品的概率.,解：,設(shè)Ai表示“第 i 次取得一等品” (i=1, 2),則,解1：,解2：,若按事件A1發(fā)生條件下縮減后的樣本空間,來計(jì)算,則,2019/5/19,27,例7,在肝癌普查中發(fā)現(xiàn), 某地區(qū)的自然人群中, 每十萬人中,平均有40人患原發(fā)性肝癌，有34人出現(xiàn)甲胎球蛋白高含量，,有32人既患原發(fā)性肝癌又出現(xiàn)甲胎球蛋白高含量。,從這個(gè)地區(qū)的居民中任選1人，若他患有原發(fā)性肝癌,記為事件A，甲胎球蛋白高含量記為事件B，則,由條件概率的定義有：,這兩個(gè)條件概率有何,現(xiàn)實(shí)意義？,2019/5/19,28,二、概率乘法公式,定理1：對(duì)事件A和B，,若P(B)0,則,或若P(A)0 ,則,此兩個(gè)公式都稱為概率乘法公式.,推廣: 設(shè) A1, A2 , , An 為n個(gè)隨機(jī)事件,P(A1A2 An-1)0,則有,若,2019/5/19,29,(2)三次中至少有一次取得一等品的概率.,設(shè)在10個(gè)同一型號(hào)的元件中有7個(gè)一等品，,從這些元件中不放回連續(xù)取三次，,每次取一個(gè)元件,求(1) 三次都取得一等品的概率；,例7.,解：,設(shè)Ai表示“第 i 次取得一等品” (i=1, 2, 3),2019/5/19,30,A,三、全概率公式與貝葉斯公式,B1,B2,B3,Bi,Bn,2019/5/19,31,如圖,A,B1,B2,B3,Bi,Bn,化整為零 各個(gè)擊破,2019/5/19,32,2019/5/19,33,以上這類問題在醫(yī)藥領(lǐng)域相當(dāng)重要，,顯然，甲的可能性要大得多，因?yàn)榧桩a(chǎn)量多，次品率也高。 實(shí)際上,因?yàn)槿藗兂３Ｐ枰獜脑\斷的結(jié)果來尋找真正的原因。,2019/5/19,34,貝葉斯公式 (或逆概率公式),A,B1,B2,B3,Bi,Bn,2019/5/19,35,肝癌普查問題,甲胎蛋白免疫檢測(cè)法(簡(jiǎn)稱AFP法)被普遍應(yīng)用,于肝癌的普查和診斷。,設(shè)A=肝癌患者,B=AFP檢驗(yàn)反應(yīng)為陽性;,由過去的資料已知：,假陽性率,又已知在人群中肝癌的發(fā)病率為,的可能性有多大？,今有一人AFP檢測(cè)結(jié)果為陽性，,現(xiàn)問該人患肝癌,真陽性率,2019/5/19,36,解：,由貝葉斯公式知,由全概率公式知,已知設(shè)A=肝癌患者,B=AFP檢驗(yàn)反應(yīng)為陽性;,2019/5/19,37,購買該廠的一件產(chǎn)品，,將該廠所有產(chǎn)品混合投放市場(chǎng)，,(1)求這件產(chǎn)品是次品的概率；,已知各條生產(chǎn)線的產(chǎn)量分別占該廠總產(chǎn)量的25%,例8.,某廠有、三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，,35%,40%;,各條生產(chǎn)線的產(chǎn)品的次品率分別是5%,4%, 2%,某消費(fèi)者,(2)若這件產(chǎn)品確實(shí)是次品, 問這件次品最可能是,哪一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的？,設(shè)事件A表示“消費(fèi)者購得一件次品”，,表示“這件產(chǎn)品是第i 條生產(chǎn)線的產(chǎn)品” (i=1, 2, 3),事件Bi,顯然B1, B2, B3是互不相容的,且,解：,2019/5/19,38,(1)按全概率公式得,設(shè)事件A表示“消費(fèi)者購得一件次品”，,表示“這件產(chǎn)品是第i 條生產(chǎn)線的產(chǎn)品” (i=1, 2, 3),事件Bi,顯然B1, B2, B3是互不相容的,且,解：,2019/5/19,39,解(2)：按貝葉斯公式得,所以這件次品最可能是第條生產(chǎn)線生產(chǎn)的.,(2)若這件產(chǎn)品確實(shí)是次品, 問這件次品最可能是哪一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的？,2019/5/19,40,(2)在顧客買下的一箱玻璃杯中確實(shí)無殘次品的概率.,解：(1),例9(研).,玻璃杯整箱出售，,每箱12個(gè)，,假設(shè)各箱中,有0, 1, 2 個(gè)殘次品的概率分別為 0.85, 0.10, 0.05.,顧客購買一箱玻璃杯時(shí)，,售貨員任取一箱,而顧客,開箱隨機(jī)察看4個(gè),若未發(fā)現(xiàn)殘次品,則買下該箱玻,璃杯;否則不買.,求,(1) 顧客買下該箱玻璃杯的概率；,設(shè)事件A表示“顧客買下該箱玻璃杯”,事件Bi表示“顧客察看的該箱玻璃杯中有i個(gè)殘次品”,那么B0,B1,B2互不相容,且,2019/5/19,41,根據(jù)全概率公式得,(2)根據(jù)貝葉斯公式得,計(jì)算條件概率,2019/5/19,42,條件概率、概率乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式的關(guān)系：,條件概率,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,2019/5/19,43,內(nèi)容小結(jié),1. 會(huì)計(jì)算古典概型的概率;,2. 理解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、,全概率公式以及貝葉斯公式，并能應(yīng)用這些公式,進(jìn)行概率計(jì)算.,2019/5/19,44,作業(yè),習(xí)題一（P27）：11、 13、15、18、21、22,2019/5/19,45,備用題,1. 鞋子配對(duì)問題,取走兩只, 求下列事件的概率.,(1)每人取走的鞋恰為一雙的概率;,(2)每人取走的鞋不成一雙的概率.,解 設(shè)第一個(gè)人從2n只中取任取2只, 第2個(gè)人從,2n-2只中任取2只, ,第n個(gè)人取走最后2只.,有n雙不同的鞋混放在一起,有n個(gè)人每人隨機(jī),2019/5/19,46,(1)每個(gè)取走一雙鞋的事件數(shù)為,于是,依乘法原理, 基本事件的總數(shù)為,2019/5/19,47,因?yàn)榈谝粋€(gè)人可以從n只右腳鞋中取一只, 又可以,從n只左腳中取一只 (只要2只鞋不成雙), 其余類推.,于是,(2)每個(gè)人取走的2只鞋都不成雙的事件數(shù)為(n!)2.,2019/5/19,48,2.生日問題,全班共有學(xué)生30人，求下列事件的概率：,(1) 某指定30天，每位學(xué)生生日各占一天；,(2) 全班學(xué)生生日各不相同；,(3) 全年某天恰有二人在這一天同生日；,(4) 至少有兩人的生日在10月1日.,解,日 房，N=365(天),2019/5/19,49,(1) A=“某指定30天，每位學(xué)生生日各占一天”,(2) 設(shè)B=“全班