1,7-5 可降階的微分方程 7-6 高階線性微分方程,2,解,x,3,復(fù)習(xí),1. 一階線性齊次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,2. 一階線性非齊次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,3. 伯努利方程,（1）一般式,（2）解法：,4,一階微分方程,關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握相應(yīng)的求解步驟.,5,高階微分方程定義：,二階及二階以上的微分方程.,可降階的高階微分方程：,可以通過(guò)代換將它化為較低,階的方程來(lái)解，,這種類型的方程稱為可降階的方程.,相應(yīng)的解法稱為降階法.,一般形式：,特點(diǎn)：,解法：,可降階的高階微分方程,依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .,6,解,所以原方程通解為,P316例1,7,特點(diǎn)：,不顯含未知函數(shù) y.,解法：,代入原方程,得,這是一階微分方程.,解,代入原方程,積分得,對(duì)它兩端積分,得,原方程通解為,8,解,代入原方程,得,兩邊積分得:,P318例3,9,特點(diǎn)：,不顯含自變量 x.,解法：,代入原方程,得,這是一階微分方程.,10,解,P320例5,11,解,代入方程得,積分得,利用初始條件,根據(jù),積分得,故所求特解為,得,例5. 解初值問(wèn)題,12,高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),第七節(jié),線性方程解的結(jié)構(gòu),13,的方程.,式叫二階線性齊次微分方程,式叫二階線性非齊次微分方程,n 階線性微分方程的一般形式為,時(shí), 稱為非齊次方程 ;,時(shí), 稱為齊次方程.,一、二階線性微分方程的定義,形如：,14,回顧: 一階線性方程,齊次通解Y,非齊次特解 y*,二階線性微分方程,式叫二階線性齊次微分方程,式叫二階線性非齊次微分方程,15,二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):,16,說(shuō)明:,不一定是方程(1)的通解.,就是它的通解.,為解決通解的判別問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性,無(wú)關(guān)概念.,17,定義:,例如,線性無(wú)關(guān).,線性相關(guān).,特別地：,18,兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:,常數(shù),思考:,相關(guān),19,就是它的通解.,推論:,20,證明,2.線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),推論：,21,說(shuō)明:,只須求它的一個(gè)特解,和,的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則,的通解為,例如, 方程,有特解,且,故方程的通解為,又知 方程,有特解,因此 的通解為,22,設(shè)非齊次方程(2)的右端,是幾個(gè)函數(shù)之和，,若,分別是方程,的特解，,那么,就是原方程的特解.,定理4.,解的疊加原理,定理 5.,是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為,齊次方程通解,非齊次方程特解,23,提示:,都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證),通解是 ( ).,例1.,(89 考研 ),24,解,且,常數(shù),因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,例2.,25,一階方程,可降階的二階方程,逐次積分求解,關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握相應(yīng)的求解步驟.,小結(jié),26,1.二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu):,2.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu):,分別是方程,的特解，,那么,就是原方程的特解.,27,作業(yè)：P323:1(1)(5)(6)(8)2(1) (4) P331:3.,預(yù)習(xí)：P332340,28,29,30,12-8 常系數(shù)齊次線性微分方程,下面討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法.,定義,(p,q為常數(shù)),31,1.二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,2.二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,(p,q為常數(shù)),(p,q為常數(shù)),通解為：,通解為：,即,一、二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及解的性質(zhì)：,32,二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,(p,q為常數(shù)),則,33,兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解：,得齊次方程的通解為, 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè)特征根為,如：,特征方程為,且,常數(shù),則通解為,34, 有兩個(gè)相等的實(shí)根,一特解為,得齊次方程的通解為,特征根為,如,特征方程為,知,取,則,則通解為,設(shè)另一特解為：,35, 有一對(duì)共軛復(fù)根,重新組合,得齊次方程的通解為,設(shè)特征根為,如,特征方程為,則通解為,36,定義,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其,總之,通解的表達(dá)式,特征根情況,實(shí)根,實(shí)根,復(fù)根,通解的方法稱為特征方程法.,37,解,特征方程為,解得,故所求通解為,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,求方程,的通解.,特征方程為,故所求通解為,解,38,解得,故所求特解為,解,特征方程為,解得,故所求通解為,39,例5,由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,練習(xí)：,為某二階常系數(shù)齊次方程的通解,則該方程 為,由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,解,解,40,特征方程:,推廣:,單實(shí)根r,給出一項(xiàng):,一對(duì)單虛數(shù)根,給出兩項(xiàng):,k重實(shí)根r,給出k項(xiàng):,一對(duì)k重虛數(shù)根,給出2k項(xiàng):,41,特征根為,故所求通解為,解,特征方程為,注意：,n次代數(shù)方程有n個(gè)根,且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù),對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),而特征方程的每一個(gè)根都,例6,求方程,的通解.,42,四、小結(jié),二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,43,思考與練習(xí),答案:,通解為,通解為,通解為,作業(yè):P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (4) .,預(yù)習(xí)：P311-P319,44,思考題：,為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .,解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程為,即,故所求方程為,其通解為,45,內(nèi)容小結(jié),可降階微分方程的解法, 降階法,令,令,逐次積分求解,46,1. 方程,如何代換求解 ?,答: 令,或,一般說(shuō), 用前者方便些.,均可.,但有時(shí)用后者方便 .,例如：,2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?,答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.,(2) 遇到開(kāi)平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).,思考：,47,作業(yè):P285 1(5) (6) (7) (8) ;4 P292 1 (4) (6) (8) ; 2(2) ；3,預(yù)習(xí)：P293-P310,48,為曲邊的曲邊梯形面積,上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面,備用：,二階可導(dǎo), 且,上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的,切線及 x 軸的垂線,區(qū)間 0, x 上以,解:,于是,在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 .,積記為,( 99 考研 ),利用,得,49,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,定解條件為,方程化為,利用定解條件得,得,故所求曲線方程為,50,解法1 化為線性方程.,原方程變形為,其