第二章 波函數(shù)和Schroinger方程,質(zhì)子在鈀中的波函數(shù) http:/www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.shtml,薛定諤 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961),2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波粒二象性的矛盾和解釋 1. 波和粒子的關(guān)系 波由粒子組成,波是大量粒子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn) 與減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一 個(gè)個(gè)從粒子源射出后仍有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)不符 粒子由波組成,粒子=波包,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,反例:i)自由粒子平面波,占據(jù)整個(gè)空間 ii)色散 群速度: 相速度: 必有色散-粒子解體,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,粒子性 顆粒性(V) 軌道(X) 波動(dòng)性 物理量周期分布(V and X) 將”粒子分布”視為物理量 疊加性-干涉,衍射(V),2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 時(shí)間為t時(shí)刻,粒子出在位置r的幾率,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波函數(shù)的討論 的平方可積 除了個(gè)別孤立奇點(diǎn)外,波函數(shù)單值,有界,連續(xù) 不確定性: i) 表示同一個(gè)態(tài)-歸一化 ii)相角不確定性(常數(shù)相角) 經(jīng)典,態(tài)確定性 量子:幾率性=可用以計(jì)算平均值,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波函數(shù)的討論 平面波 多粒子體系的推廣,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,動(dòng)量幾率分布函數(shù) =Fourier變換頻譜展開,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,可描寫體系狀態(tài), 也可描寫體系狀態(tài) 是同一個(gè)態(tài),不同自變量,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,代表在 態(tài)中, 出現(xiàn)單色平面波 的幾率,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,處在 的粒子,動(dòng)量無確定值 相當(dāng)于晶體衍射 如若 則,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象,2.2 態(tài)疊加原理,波疊加 經(jīng)典 合成的波中有各種成分 相干性 量子 相干性 新特點(diǎn),2.2 態(tài)疊加原理,新特點(diǎn) 可能性和概率 干涉項(xiàng)的概率性 是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不同粒子之間的干涉,2.2 態(tài)疊加原理,波疊加原理的表述 a)如果 是可能態(tài) 則 也是一個(gè)可能態(tài) b)在 中,體系出現(xiàn) 的幾率是,2.2 態(tài)疊加原理,討論 a) b)光子偏整態(tài):Malus定律,2.2 態(tài)疊加原理,討論 但任何時(shí)候觀測到的都是一整個(gè)光子, 而不是 個(gè)光子 =概率相干,2.2 態(tài)疊加原理,討論 c)線性疊加 d)疊加次序并不重要,2.3 薛定諤方程,經(jīng)典力學(xué) 牛頓方程特點(diǎn): 線性方程 二階全微分方程,只有一個(gè)獨(dú)立變量t 唯一性 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù),有普適性,2.3 薛定諤方程,量子力學(xué) 要求: 線性方程(態(tài)疊加原理的直接要求) 系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù) t與x,y,z均為變量=只能是偏微分方程 解的唯一性=兩階正規(guī)方程,2.3 薛定諤方程,量子力學(xué) 進(jìn)入方程式,體現(xiàn)微觀世界的特點(diǎn)(量子化) -0,過渡到牛頓方程,2.3 薛定諤方程,建立方程的啟示 自由粒子 已知解=方程式(不唯一),2.3 薛定諤方程,已知解=方程式(不唯一),2.3 薛定諤方程,一般情況:,2.3 薛定諤方程,說明: a)波動(dòng)力學(xué)的基本假定,表征量子體系特征的量h進(jìn)入了方程式,薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng) b)算符形式,2.3 薛定諤方程,力學(xué)量用算符表示 兩個(gè)慣例 1)只在直角坐標(biāo)中適用,因?yàn)槲⑸滩粎f(xié)變 例:二維極坐標(biāo)下的薛定諤方程,2.3 薛定諤方程,兩個(gè)慣例 2)將H分成三部分: i)與坐標(biāo)無關(guān)的動(dòng)量二次式 ii)只依賴于坐標(biāo)的函數(shù) iii),2.3 薛定諤方程,因?yàn)橛胁ê瘮?shù)統(tǒng)計(jì)解釋,因此概率流守恒定律自動(dòng)包含在薛定諤方程中,2.3 薛定諤方程,2.3 薛定諤方程,為什么 而與t無關(guān)?,2.3 薛定諤方程,定態(tài)U=U(r), 不顯含t,2.3 薛定諤方程,= 幾率流密度變不變?,2.3 薛定諤方程,本征值方程,2.3 薛定諤方程,邊界條件的討論: U連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) U不連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) U趨向無窮大 (一階)波函數(shù)連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù) U趨向無窮大(二階及以上)波函數(shù)不連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)亦不連續(xù),2.4 一維方勢阱,一維無限深勢阱,2.4 一維方勢阱,一維無限深勢阱,2.4 一維方勢阱,一維無限深勢阱,2.4 一維方勢阱,一維無限深勢阱,一維方勢阱波函數(shù)圖象,一維方勢阱波函數(shù)圖象,2.4 一維方勢阱,思考題: 將勢能為零的區(qū)間放大或者縮小一倍(分是足夠緩慢的變還是突變兩種情況)時(shí),波函數(shù)和能級(jí)怎么變? 將勢場曲線正題右移a,波函數(shù)和能級(jí)怎么變?,2.4 一維方勢阱,一維方勢阱,2.4 一維方勢阱,一維方勢阱,2.4 一維方勢阱,一維方勢阱,2.4 一維方勢阱,a)偶宇稱 波函數(shù)為 cos(kx) 關(guān)鍵:用 在 連續(xù)以代替波函數(shù) 以及導(dǎo)數(shù)的連續(xù).好處在于去掉波函數(shù)中常數(shù)的影響,2.4 一維方勢阱,結(jié)論:無論Ua2取何值,都有解(見下一頁圖),一維方勢阱偶宇稱能譜圖,2.4 一維方勢阱,b)奇宇稱 波函數(shù)為sin(kx) 結(jié)論:當(dāng) 時(shí)才有解(見下一頁圖),一維方勢阱奇宇稱能譜圖,2.4 一維方勢阱,c)當(dāng)勢場趨于無窮時(shí),回到一維無限深勢阱的特例,具有不同的深度 但是寬度相同的方勢阱(1),具有不同的深度 但是寬度相同的方勢阱(2),具有相同的深度 但是寬度不同的方勢阱(1),具有相同的深度 但是寬度不同的方勢阱(2),2.4 一維方勢阱,思考題: 半壁無限勢阱時(shí)的解如何?,2.5 一維諧振子,Motivation: 物理上: 勢場在平衡位置附近展開 U(x)k(x-x0)2 任何連續(xù)諧振子體系無窮多個(gè)諧振子集合 輻射場簡諧波的疊加 原子核表面振動(dòng),理想固體(無窮個(gè)振子) 真正可以嚴(yán)格求解的物理勢(不是間斷勢) 描述全同粒子體系產(chǎn)生,湮滅算符,2.5 一維諧振子,Motivation: 數(shù)學(xué)上: 學(xué)會(huì)一套規(guī)范化的求解薛定諤方程的方案 通過數(shù)學(xué),看物理,2.5 一維諧振子,2.5 一維諧振子,求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator 無量綱化 優(yōu)點(diǎn) 單位在物理學(xué)上并不重要,重要的是一些無量綱數(shù) 可使方程的系數(shù)變得最簡單,2.5 一維諧振子,2.5 一維諧振子,“抓兩頭,帶中間” 抓兩頭:看方程在兩邊邊界上的漸進(jìn)行為 (三維:0點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),一維:正負(fù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)) 帶中間:使函數(shù)在兩頭有與漸近行為相同的形式,2.5 一維諧振子,使之變成關(guān)于H的方程式,2.5 一維諧振子,求級(jí)數(shù)解,找遞推關(guān)系 看解在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為,”斬?cái)嗄ёΑ?無限求和截?cái)酁橛邢薜亩囗?xiàng)式,從而得到能譜及解 求出波函數(shù)=歸一化,2.5 一維諧振子,厄米多項(xiàng)式的討論 別名 母系(母函數(shù)) 仇家(正交性),2.5 一維諧振子,厄米多項(xiàng)式的討論 兄弟姊妹(遞推關(guān)系) 對(duì)稱性 節(jié)點(diǎn),2.5 一維諧振子,最低階的幾個(gè)厄米多項(xiàng)式及諧振子波函數(shù),2.5 一維諧振子,產(chǎn)生湮滅算符,2.5 一維諧振子,思考題: 半壁振子(兩種情況)(圖)(暫缺),2.5 一維諧振子,思考題: 對(duì)稱性 動(dòng)量表象,2.5 一維諧振子,思考題: n維諧振子體系等間距能級(jí) n個(gè)粒子 元激發(fā)(elementary exitation) 集合產(chǎn)生湮滅算符,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),一維非奇性勢薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)數(shù),2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象(圖見后),2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),能量本征函數(shù)性質(zhì),以x趨近正無窮大為例,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),能量本征譜性質(zhì) 振蕩解,連續(xù)譜,二度簡并,散射態(tài) 指數(shù)衰減解 振蕩解 本征譜連續(xù),無簡并,非束縛態(tài)解,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),兩端均指數(shù)衰減,束縛態(tài)解,分立譜,無簡并,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),節(jié)點(diǎn)數(shù): 基態(tài)無節(jié)點(diǎn),第n個(gè)激發(fā)態(tài)有n個(gè)節(jié)點(diǎn) 對(duì)稱性: 若U(x)=U(-x) 則波函數(shù)可具有確定的宇稱 正交歸一性,2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),上述結(jié)論均可用 的性質(zhì)證明 一維薛定諤方程的所有性質(zhì)都與其相應(yīng)的Wronskian行列式有關(guān),2.7 勢壘貫穿,經(jīng)典圖象:眼前無路好回頭 量子圖象:眼前無路穿著走 勢阱有無穿透? 什么條件下全透射無反射? 勢壘高度和寬度的影響?,2.7 勢壘貫穿,2.7 勢壘貫穿,2.7 勢壘貫穿,2.7 勢壘貫穿,2.7 勢壘貫穿,2.7 勢壘貫穿,2.7 勢壘貫穿,在非相對(duì)論情況下,粒子不可能穿透無限高位壘,2.7 勢壘貫穿,如果討論的是勢阱而不是勢壘,那么只需要作代換,2.7 勢壘貫穿,共振透射的條件和共振能量,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),輳力 普遍性質(zhì) 若U(r)處處有界=波函數(shù)處處有界 若U(r)有極小值,則體系平均能量必大于勢場的極小值 能量算符的本征值比大于勢場的極小值 若無窮遠(yuǎn)處勢場為零,則能量本征值小于零的能譜必定是分立譜,對(duì)應(yīng)束縛態(tài),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),普遍性質(zhì) Landau fall,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),Landau fall s2: r趨于零,吸引力為主;r趨于無窮,斥力為主 Landau fall s=2: 決定于c和alpha的數(shù)值 alpha_critical=barh2/8m,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),角度部分的解,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 別名,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),母系 兄弟姊妹,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),仇家 對(duì)稱性,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),幾個(gè)最低階的勒讓德多項(xiàng)式如下,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),綜上所述,球?qū)ΨQ場中薛定諤方程角度部分的解,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),最低的幾個(gè)球諧函數(shù)是,2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況),最低的幾個(gè)球諧函數(shù)是,2.9 氫原子,2.9 氫原子,庫侖場中的徑向方程,2.9 氫原子,2.9 氫原子,2.9 氫原子,2.9 氫原子,作代換 得到 令,2.9 氫原子,2.9 氫原子,為切斷無窮級(jí)數(shù),取 由 得到,2.9 氫原子,2.9 氫原子,由此,氫原子的鏡像波函數(shù)是,最低階的幾個(gè)徑向波函數(shù),2.9 氫原子,討論 簡并度,2.9 氫原子,討論 能級(jí) 對(duì)一般有心力場,能級(jí)與角動(dòng)量量子數(shù)l 與磁量子數(shù)m有關(guān),徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(a),徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(b),徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(c),2.9 氫原子,討論 徑向分布函數(shù): 節(jié)點(diǎn)數(shù),2.9 氫原子,討論 角分布 特點(diǎn):對(duì)z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(因?yàn)槭荓z的本征態(tài)),波