三重積分的概念,三重積分的計算,3 三重積分的概念與計算,是空間有界閉區(qū)域上的,如當各小閉區(qū)域直徑中的最大值,在每個,將閉區(qū)域任意分成n個小閉區(qū)域,其中,并作和,作乘積,有界函數(shù).,也表示它的體積.,表示第i個小閉區(qū)域,上任取一點,一、三重積分的概念,記為,函數(shù),趨于零時這和的極限總存在,則稱此極限為,在閉區(qū)域上的三重積分.,即,體積元素,二、三重積分的計算,1. 在直角坐標系下計算三重積分,直角坐標系下的體積元素為,在直角坐標系下三重積分可表為,投影法,如圖,閉區(qū)域,面上的投影為閉區(qū)域D,過點,作直線,解,化三重積分,為三次積分,例,所圍成的閉區(qū)域.,其中積分區(qū)域為由曲面,得交線投影區(qū)域,解,例,計算三重積分,其中V是長方體,例 求,解,的原函數(shù)不是初等函數(shù),應先x對積分,一定要交換積分次序.,截面法,(紅色部分),截面法的一般步驟,(1),投影,得投影區(qū)間,(2),(3),計算二重積分,(4),最后計算單積分,截面法(先二后一法),解,計算三重積分,例,原式=,規(guī)定,直角坐標與柱面坐標的關系為,就叫點M的,柱面坐標.,設M(x, y, z)為空間內一點,并設點M在xOy,面上的投影P的極坐標為,則這樣的三個數(shù),2、在柱面坐標系下計算三重積分,柱面坐標系中,以z軸為中心軸的圓柱面；,過z軸的半平面.,與xOy平面平行的平面;,三坐標面分別為,柱面坐標系中的體積元素為,在柱面坐標系中,如圖,得小柱體,即,(紅色部分).,若以三坐標面分割空間區(qū)域,注,通常是先積,再積,后積,解,例,所圍成.,積分域用柱坐標表示為,原式,其中由柱面,解,例,所圍成.,積分域用柱坐標表示為,原式,其中由半圓柱面,補充三重積分,對稱性質,則稱f關于變量z的奇 函數(shù).,(1),關于,坐標面的上半部區(qū)域.,(偶),(property),或,而得結果為零.,例,?,?,0,則,C,則( )成立.,記投影向量與x軸正方向的,規(guī)定,正方向間的夾角為,偏轉角為,球面坐標.,稱,為點M的,設M(x, y, z)為空間內一點,向xOy平面投影,3、在球面坐標系下計算三重積分,球面坐標系中的三坐標面分別為,原點為心的球面；,過z軸的半平面,球面坐標與直角坐標的關系為,原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；,球面坐標系中的體積元素為,如積分域為球域(如圖).,則,解,采用,例,由錐面和球面圍成,所圍成的立體體積.,球面坐標,求曲面 與,練習,解,被積函數(shù)是,圍成的空間區(qū)域,x的奇函數(shù).,4、三重積分的換元法,設被積函數(shù),在空間閉區(qū)域上連續(xù),若變換,滿足如下條件:,(1),的變換為O-xyz中的閉區(qū)域上的點;,(2),有連續(xù)的一階偏導數(shù),且雅可比行列式,設被積函數(shù),在區(qū)域D上連續(xù),若變換,滿足如下條件:,例,解,所圍成的閉區(qū)域.,其中為橢圓面,作廣義球坐標變換,解,法