第五節(jié)拋物線突破點一拋物線的定義及其應(yīng)用拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線一、判斷題(對的打“”，錯的打“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)AB為拋物線y24x的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y24，弦長|AB|x1x22.()答案：(1)(2)二、填空題1已知動點P到定點(2,0)的距離和它到直線l：x2的距離相等，則點P的軌跡方程為_答案：y28x2已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0_.答案：13已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為_答案：考法一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)(2019贛州模擬)若點A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y22x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A(0,0)B.C(1，)D(2,2)(2)(2019襄陽測試)已知拋物線yx2的焦點為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于點N，若|MN|NF|，則|MF|()A2B3C. D.解析(1)過M點作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|MA|MN|MA|，當(dāng)A，M，N三點共線時，|MF|MA|取得最小值，此時M(2,2)(2)如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，則NMH45.在MFK中，F(xiàn)MK45，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.故選C.答案(1)D(2)C方法技巧利用拋物線的定義解決問題時，應(yīng)靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價轉(zhuǎn)化“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點，看到焦點應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問題的有效途徑考法二焦點弦問題焦點弦的常用結(jié)論以拋物線y22px(p0)為例，設(shè)AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論：(1)x1x2，y1y2p2；(2)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；(3)為定值；(4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；(5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(6)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，A1FB190；(7)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線例2(2019長沙四校聯(lián)考)過拋物線C：y24x的焦點F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，與拋物線的準(zhǔn)線交于點M，且3，則|()A. B.C. D.解析如圖，不妨設(shè)Q點在第一象限，過P作PN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為N，由拋物線定義可知|PF|PN|，又因為3，所以2，所以|PM|2|PF|2|PN|，在RtPNM中，cosMPN，由拋物線焦點弦的性質(zhì)可知|.故選C.答案C方法技巧焦點弦問題的求解策略解決焦點弦問題的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，解題時，設(shè)出直線與拋物線兩交點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點弦長，再利用已知條件求解1.若拋物線y24x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標(biāo)原點，則OFP的面積為()A. B1C. D2解析：選B設(shè)P(xP，yP)，由題意可得拋物線的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1，又點P到焦點F的距離為2，由拋物線的定義知點P到準(zhǔn)線的距離為2，xP12，得xP1，代入拋物線方程得|yP|2，OFP的面積為S|OF|yP|121.故選B.2.已知AB是拋物線y22x的一條焦點弦，|AB|4，則AB中點C的橫坐標(biāo)是()A.2 B.C. D.解析：選C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p4，又p1，x1x23，點C的橫坐標(biāo)是.故選C.3.已知M是拋物線x24y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x1)2(y5)21上，則|MA|MF|的最小值是_解析：依題意，由點M向拋物線x24y的準(zhǔn)線l：y1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|MF|MA|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|MM1|的最小值等于圓心C(1，5)到y(tǒng)1的距離再減去圓C的半徑，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5.答案：5突破點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyy離心率e1焦半徑|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0一、判斷題(對的打“”，錯的打“”)(1)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(2)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(3)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切()答案：(1)(2)(3)二、填空題1已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x4y110上，則此拋物線的方程是_答案：y222x2拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y1，則a的值為_答案：3已知F是拋物線x28y的焦點，若拋物線上的點A到x軸的距離為5，則|AF|_.答案：7考法一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)(2019河南中原名校聯(lián)考)拋物線y22px(p0)的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M為拋物線上一點，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為()Ay26xBy28xCy216x Dy2(2)(2019江西協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，點M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析(1)設(shè)M(x，y)，因為|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以yp，又MFO的面積為4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)由已知得拋物線的焦點F，設(shè)點A(0,2)，拋物線上點M(x0，y0)，則，.由已知得0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得， 5，又p0，解得p2或p8，故選C.答案(1)B(2)C方法技巧求拋物線方程的3個注意點(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來解決問題考法二拋物線的幾何性質(zhì)例2(1)(2019蘭州雙基過關(guān)考試)拋物線y22px(p0)上橫坐標(biāo)為6的點到此拋物線焦點的距離為10，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A4 B8C16 D32(2)(2018贛州二模)拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，A是拋物線上一點，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點，則p的值為()A1 B2C3 D4解析(1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為x(p0)，如圖，則根據(jù)拋物線的性質(zhì)有|PF|610，解得p8，所以拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為8.(2)不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限，由題意可知即A，又點A在拋物線y22px上，2p，即p416，又p0，p2，故選B.答案(1)B(2)B方法技巧用拋物線幾何性質(zhì)的技巧涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題 1.頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P(4，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y解析：選D設(shè)拋物線為y2mx，代入點P(4，2)，解得m1，則拋物線方程為y2x；設(shè)拋物線為x2ny，代入點P(4，2)，解得n8，則拋物線方程為x28y.2.已知拋物線C：y24x的焦點為F，點A(0，)若線段FA與拋物線C相交于點M，則|MF|()A. B.C. D.解析：選A由題意，F(xiàn)(1,0)，|AF|2，設(shè)|MF|d，則M到準(zhǔn)線的距離為d，M的橫坐標(biāo)為d1，