6.1數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱考情考向分析1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).以考查Sn與an的關(guān)系為主，簡單的遞推關(guān)系也是考查的熱點本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空的形式進(jìn)行考查，難度屬于低檔.1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1 an其中nN遞減數(shù)列an1 an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因為n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.5數(shù)列an中，ann211n(nN)，則此數(shù)列最大項的值是 答案30解析ann211n2，nN，當(dāng)n5或n6時，an取最大值30.6已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則an .答案解析當(dāng)n1時，a1S12，當(dāng)n2時，anSnSn1n21(n1)212n1，故an題型一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式1數(shù)列0，的一個通項公式為()Aan(nN)Ban(nN)Can(nN)Dan(nN)答案C解析注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可2數(shù)列，的一個通項公式an .答案(1)n解析這個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an(1)n.思維升華 由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征；化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN處理(3)如果是選擇題，可采用代入驗證的方法題型二由an與Sn的關(guān)系求通項公式典例 (1)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1(nN)，則其通項公式為 答案an解析當(dāng)n1時，a1S13122112；當(dāng)n2時，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時，不滿足上式故數(shù)列的通項公式為an(2)(2017南昌模擬)若數(shù)列an的前n項和Snan(nN)，則an的通項公式an .答案(2)n1解析由Snan，得當(dāng)n2時，Sn1an1，兩式相減，整理得an2an1，又當(dāng)n1時，S1a1a1，a11，an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故an(2)n1.思維升華 已知Sn，求an的步驟(1)當(dāng)n1時，a1S1.(2)當(dāng)n2時，anSnSn1.(3)對n1時的情況進(jìn)行檢驗，若適合n2的通項則可以合并；若不適合則寫成分段函數(shù)形式跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017河南八校一聯(lián))在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項公式an .答案2n1解析由題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1.(2)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n1，則數(shù)列的通項公式an .答案解析當(dāng)n1時，a1S1314，當(dāng)n2時，anSnSn13n13n1123n1.顯然當(dāng)n1時，不滿足上式an題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式典例 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式(1)a12，an1anln；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2.解(1)an1anln，anan1lnln (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnln ln 222ln2ln n(n2)又a12適合上式，故an2ln n(nN)(2)an12nan，2n1 (n2)，ana12n12n2212123(n1).又a11適合上式，故an(nN)(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，an123n1，故an23n11(nN)引申探究在本例(2)中，若anan1(n2，且nN)，其他條件不變，則an .答案解析anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.當(dāng)n1時也滿足此等式，an.思維升華 已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法(1)當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列(2)當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列(3)當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解(4)當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解跟蹤訓(xùn)練 (1)已知數(shù)列an滿足a11，a24，an22an3an1(nN)，則數(shù)列an的通項公式an .答案32n12解析由an22an3an10，得an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a13為首項，2為公比的等比數(shù)列，an1an32n1，當(dāng)n2時，anan132n2，a3a232，a2a13，將以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，an32n12(當(dāng)n1時，也滿足)(2)在數(shù)列an中，a13，an1an，則通項公式an .答案4解析原遞推公式可化為an1an，則a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐項相加得ana11，故an4.題型四數(shù)列的性質(zhì)命題點1數(shù)列的單調(diào)性典例 已知an，那么數(shù)列an是()A遞減數(shù)列 B遞增數(shù)列C常數(shù)列 D不確定答案B解析an1，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，nN，易知an是遞增數(shù)列命題點2數(shù)列的周期性典例 數(shù)列an滿足an1，a82，則a1 .答案解析an1，an1111(1an2)an2，n3，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.命題點3數(shù)列的最值典例 數(shù)列an的通項an，則數(shù)列an中的最大項是()A3 B19C. D.答案C解析令f(x)x(x0)，運(yùn)用基本不等式得f(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3時等號成立因為an，所以，由于nN，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n9或n10時，an最大思維升華 (1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法用作差比較法，根據(jù)an1an的符號判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列用作商比較法，根據(jù)(an0或an0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解跟蹤訓(xùn)練 (1)數(shù)列an滿足an1 a1，則數(shù)列的第2 018項為 答案解析由已知可得，a221，a32，a42，a521，an為周期數(shù)列且T4，a2 018a50442a2.(2)(2017安徽名校聯(lián)考)已知數(shù)列an的首項為2，且數(shù)列an滿足an1，數(shù)列an的前n項的和為Sn，則S2 016等于()A504 B588 C588 D504答案C解析a12，an1，a2，a3，a43，a52，數(shù)列an的周期為4，且a1a2a3a4，2 0164504，S2 016504588，故選C.解決數(shù)列問題的函數(shù)思想典例 (1)數(shù)列an的通項公式是an(n1)n，則此數(shù)列的最大項是第 項(2)若ann2kn4且對于nN，都有an1an成立，則實數(shù)k的取值范圍是 思想方法指導(dǎo) (1)可以將數(shù)列看成定義域為正整數(shù)集上的函數(shù)；(2)數(shù)列的最值可以根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行分析解析(1)an1an(n2)n1(n1)nn，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又通項公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN，k3.答案(1)9或10(2)(3，)1(2017湖南長沙一模)已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是()Aan(1)n11BanCan2sin Dancos(n1)1答案C解析對n1,2,3,4進(jìn)行驗證，知an2sin 不合題意，故選C.2(2018葫蘆島質(zhì)檢)數(shù)列，的第10項是()A BC D答案C解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號、分母、分子很容易歸納出數(shù)列an的通項公式an(1)n1，故a10.3(2017黃岡質(zhì)檢)已知在正項數(shù)列an中，a11，a22,2aaa(n2)，則a6等于()A16 B4 C2 D45答案B解析由題意得aaaaaa3，故a是以3為公差的等差數(shù)列，即a3n2.所以a36216.又an0，所以a64.故選B.4若數(shù)列an滿足a12，a23，an(n3且nN)，則a2 018等于()A3 B2C. D.答案A解析由已知a3，a4，a5，a6，a72，a83，數(shù)列an具有周期性，且T6，a2 018a33662a23.5(2018長春模擬)設(shè)an3n215n18，則數(shù)列an中的最大項的值是()A. B. C4 D0答案D解析an32，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n2或3時，an最大，最大為0.6(2017江西六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足an且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,5) B.C. D(2,5)答案D解析an且an是遞增數(shù)列，解得2a0，所以a11.(2)因為3TnS2Sn，所以3Tn1S2Sn1，得3aSS2an1.因為an10，所以3an1Sn1Sn2，所以3an2Sn2Sn12，得3an23an1an2an1，即an22an1，所以當(dāng)n2時，2.又由3T2S2S2，得3(1a)(1a2)22(1a2)，即a2a20.因為a20，所以a22，所以2，所以對nN，都有2成立，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1，nN.13(2017江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)定義：在數(shù)列an中，若滿足d(nN，d為常數(shù))，稱an為“等差比數(shù)列”已知在“等差比數(shù)列”an中，a1a21，a33，則等于()A42 01521 B42 01421C42 01321 D42 0132答案C解析由題知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則2n1，所以ana1(2n3)(2n5)1.所以4 0274 025(4 0261)(4 0261)4 0262142 01321.14若數(shù)列中的最大項是第k項，則k .答案4解析設(shè)數(shù)列為an，則an1an(n1)(n5)n1n(n4)nn(10n2)所以當(dāng)n3時，an1an；當(dāng)n4時，an1an.因此，a1a2a3a5a6，故a4最大，所以k4.15在數(shù)列an中，a11，a22，若an22an1an2，則an等于()A.n2n Bn35n29n4Cn22n2 D2n25n4答案C解析由題意得(an2an1)(an1an)2，因此數(shù)列an1an是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，an1an12(n1)2n1，當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)113(2n3)1(n1)21n22n2，又a1112212，因此ann22n2(nN)，故選C.16(2017太原五中模擬)設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(