第5講橢圓一、選擇題1.橢圓1的焦距為2，則m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.8解析當(dāng)m4時(shí)，m41，m5；當(dāng)0m4時(shí)，4m1，m3.答案C2.“2m6”是“方程1表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若1表示橢圓.則有2m6且m4.故“2m6”是“1表示橢圓”的必要不充分條件.答案B3.設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為()A. B. C. D.解析在RtPF2F1中，令|PF2|1，因?yàn)镻F1F230，所以|PF1|2，|F1F2|.故e.故選D.答案D4.(2015全國(guó)卷)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|()A.3 B.6 C.9 D.12解析拋物線C：y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，準(zhǔn)線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，因?yàn)殡x心率e，所以a4，所以b2a2c212.由題意知|AB|26.故選B.答案B5.(2016江西師大附中模擬)橢圓ax2by21(a0，b0)與直線y1x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為()A. B. C. D.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則axby1，axby1，即axax(byby)，1，1，(1)1，故選B.答案B二、填空題6.焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析由題意知解得又b2a2c2，b29，b3.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為1，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為1.答案1或17.(2017南昌質(zhì)檢)橢圓1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.解析記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|PF2|2a10.則m|PF1|PF2|25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|5，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)或(3，0).答案(3，0)或(3，0)8.(2017烏魯木齊調(diào)研)已知F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)為橢圓1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_.解析設(shè)P(x，y)，則(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.答案三、解答題9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去).故C的離心率為.(2)由題意，知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0，2)是線段MF1的中點(diǎn)，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y10，則即代入C的方程，得1. 將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2 .10.(2017寶雞月考)已知點(diǎn)M(，)在橢圓C：1(ab0)上，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3，2)，求PAB的面積.解(1)由已知得解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為D(x0，y0).由消去y，整理得4x26mx3m2120，則x0m，y0x0mm，即D.因?yàn)锳B是等腰三角形PAB的底邊，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此時(shí)x1x23，x1x20，則|AB|x1x2|3，又點(diǎn)P到直線l：xy20的距離為d，所以PAB的面積為S|AB|d.11.(2016海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知直線l：ykx2過橢圓1(ab0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2y24截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，若L，則橢圓離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.解析依題意，知b2，kc2.設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L2，解得d2.又因?yàn)閐，所以，解得k2.于是e2，所以0e2，解得0e.故選B.答案B12.橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y).F1PF2為鈍角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，即x22，x2.解得xb0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC90，則該橢圓的離心率是_.解析由已知條件易得B，C，F(xiàn)(c，0)，由BFC90，可得0，所以0，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，3c22a2.所以，則e.答案14.(2017西安質(zhì)監(jiān))已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|6，直線ykx與橢圓交于A，B兩點(diǎn).(1)若AF1F2的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線PA的斜率k1(2，1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍.解(1)由題意得c3，根據(jù)2a2c16，得a5.結(jié)合a2b2c2，解得a225，b216.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一由得x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2BF2，因?yàn)?x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，結(jié)合b29a2，解得a212，e.法二設(shè)A(x1，y1)，又AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，所以AB，F(xiàn)1F2是圓的直徑，所以xy9，又由橢圓及直線方程綜合可得由前