課時(shí)跟蹤練(四十二)A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1aa2an1(a1，nN*)”，在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：當(dāng)n1時(shí)，把n1代入左端，計(jì)算得1aa111aa2.故正確答案為C.答案：C2一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)nk2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于()A一切正整數(shù)命題成立B一切正奇數(shù)命題成立C一切正偶數(shù)命題成立D以上都不對(duì)解析：本題證的是對(duì)n1，3，5，7，命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立答案：B3在數(shù)列an中，a1，且Snn(2n1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A. B.C. D.解析：由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.答案：C4對(duì)于不等式n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式k1成立，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過(guò)程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：當(dāng)nk1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用當(dāng)nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法答案：D5(2019岳陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8 C9 D10解析：左邊求和可得12，右邊2，故22，即26，解得n7.所以初始值至少應(yīng)取8.答案：B6用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為_(kāi)解析：當(dāng)nk時(shí)左端為123k(k1)(k2)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，左端為123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的項(xiàng)為(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)27數(shù)列an中，已知a12，an1(nN*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4，猜想an_解析：a12，a2，a3，a4.由此猜想an是以分子為2，分母是以首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，所以an.答案：8凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線則凸(n1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n1)與f(n)的遞推關(guān)系式為_(kāi)解析：f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案：f(n1)f(n)n19用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(nN*，n2)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，12，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即12.當(dāng)nk1時(shí)，12222，命題成立由(1)(2)知，原不等式在nN*，n2時(shí)均成立10已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an1anbn1，bn1(nN*)，且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，1)(1)求過(guò)點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于nN*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上(1)解：由題意得a11，b11，b2，a21，所以P2.所以直線l的方程為，即2xy1.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，2a1b121(1)1成立假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時(shí)，2akbk1成立當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk11也成立由知，對(duì)于nN*，都有2anbn1，即點(diǎn)Pn在直線l上B組素養(yǎng)提升11平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()An1 B2nC. Dn2n1解析：1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域答案：C12已知f(n)(2n7)3n9，存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意nN*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為()A18 B36 C48 D54解析：由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當(dāng)n1時(shí)，可知猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值為36.故選B.答案：B13設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時(shí)，f(n)_(用n表示)解析：f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)(n3)答案：5(n1)(n2)(n3)14(2019廣州模擬)已知函數(shù)f(x)axx2的最大值不大于，又當(dāng)x時(shí)，f(x).(1)求a的值；(2)設(shè)0a1，an1f(an)，nN*，證明：an.(1)解：由題意，知f(x)axx2.又f(x)max，所以f(x)maxf.所以a21.又當(dāng)x時(shí)，f(x)，所以即解得a1.又因?yàn)閍21，所以a1.(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，0a1，顯然結(jié)論成立因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，0f(x)，所以0a2f(a1).故當(dāng)n2時(shí)，原不等式也成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式0ak成