專題2.2 函數(shù)的單調性與最值1.理解函數(shù)的單調性、最大(小)值及其幾何意義2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質.知識點一 函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的 (2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調區(qū)間知識點二 函數(shù)的最值前提設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)對于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M結論M為最大值M為最小值【特別提醒】1.函數(shù)yf(x)(f(x)0)在公共定義域內與yf(x)，y的單調性相反.2.“對勾函數(shù)”yx(a0)的單調增區(qū)間為(，)，(，)；單調減區(qū)間是，0)，(0，.考點一 判斷函數(shù)的單調性【典例1】【2019年高考北京文數(shù)】下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調遞增的是（ ）ABy=CD【答案】A【解析】易知函數(shù)，在區(qū)間上單調遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.故選A.【方法技巧】函數(shù)不含有參數(shù)解決此類問題時，首先確定定義域，然后利用單調性的定義或借助圖象求解即可?！咀兪?】（2019黑龍江大慶實驗中學模擬）函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調遞增區(qū)間是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)【答案】D【解析】函數(shù)yx22x8(x1)29圖象的對稱軸為直線x1，由x22x80，解得x4或x0，x110，x210，故當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調遞減；當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調遞增。方法二：(導數(shù)法)f(x)當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調遞減；當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調遞增。 【方法技巧】判斷函數(shù)單調性常用以下幾種方法：(1)定義法：一般步驟為設元作差變形判斷符號得出結論(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調性(3)導數(shù)法：先求導數(shù)，利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間(4)性質法：對于由基本初等函數(shù)的和、差構成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)g(x)增減性質進行判斷；【變式2】（2019安徽蚌埠二中模擬）判斷并證明函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的單調性【解析】函數(shù)f(x)ax2(1a3)在1,2上單調遞增證明：設1x1x22，則f(x2)f(x1)axax(x2x1) ，由1x10,2x1x24，1x1x24，1.又因為1a3，所以2a(x1x2)0，從而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故當a(1,3)時，f(x)在1,2上單調遞增考點三 解函數(shù)不等式【典例3】（2019山東濰坊一中模擬） 已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足ff(1)的實數(shù)x的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)【答案】C【解析】由f(x)為R上的減函數(shù)且ff(1)，得即所以1x0或0x1.故選C.【方法技巧】求解函數(shù)不等式問題，主要是利用函數(shù)的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解此時應特別注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性質的應用【變式3】（2019廣東深圳中學模擬）設函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)內是增函數(shù)，又f(3)0，則f(x)0的解集是()Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x3Dx|3x0或0x3【答案】B【解析】f(x)是奇函數(shù)，f(3)0，f(3)f(3)0，解得f(3)0.函數(shù)f(x)在(0，)內是增函數(shù)，當0x3時，f(x)3時，f(x)0.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當3x0；當x3時，f(x)0.則不等式f(x)0的解集是x|0x3或x3考點四 利用函數(shù)的單調性求參數(shù)【典例4】（2019重慶南開中學模擬）若f(x)是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為_【答案】【解析】由題意知，解得所以a.【方法技巧】根據(jù)函數(shù)單調性把問題轉化為單調區(qū)間關系的比較。【變式4】（2019成都實驗外國語學校模擬）設函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a1)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B1,4C4，) D(，14，)【答案】D【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，若f(x)在(a，a1)上單調遞增，需滿足a4或a12，即a1或a4，故選D.考點五 函數(shù)的最值【典例5】(2018全國)若f(x)cos xsin x在0，a上是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B. C. D【答案】C【解析】f(x)cos xsin xsin，當x，即x時，ysin單調遞增，f(x)sin單調遞減，是f(x)在原點附近的單調減區(qū)間，結合條件得0，a，a，即amax.【方法技巧】求函數(shù)最值(值域)的常用方法(1)單調性法：先確定函數(shù)的單調性，再由單調性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.【變式5】（2019山東菏澤一中模擬）定義新運算：當ab時，aba；當ab時，abb2，則函數(shù)f(x)