數(shù)據(jù)包絡(luò)分析在多階段交換生產(chǎn)系統(tǒng)中的應(yīng)用 摘 要 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(dea)是一種用來(lái)對(duì)一組具有多輸入和多輸出的決 策單元(decision making unit ,簡(jiǎn)稱dmu) 的相對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)規(guī) 劃方法。該方法在不需要給出投入產(chǎn)出數(shù)理函數(shù)關(guān)系和權(quán)重假設(shè)的前提 下，僅利用投入產(chǎn)出的觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)價(jià)各個(gè)決策單元( dmu) 之間的差 異, 即相對(duì)有效性。經(jīng)典dea模型一般考察只有一個(gè)階段的生產(chǎn)系統(tǒng)或 者將多階段生產(chǎn)系統(tǒng)視為一個(gè)“黑箱” ，不考慮中間產(chǎn)品，即等價(jià)于單一 階段的生產(chǎn)系統(tǒng)。這顯然不能滿足生產(chǎn)實(shí)際的需要。 化工生產(chǎn)中經(jīng)常出現(xiàn)中間生產(chǎn)過(guò)程與外部有物質(zhì)交換的多階段生產(chǎn) 系統(tǒng)。如何評(píng)價(jià)一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程的效率并提出科學(xué)地提高該效率，是一個(gè) 值得研究的課題。為考察這一系統(tǒng)的生產(chǎn)效率，本文根據(jù)這一實(shí)際背景， 利用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法從三個(gè)不同角度建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即只考 慮一個(gè)階段的單階段模型、不考慮內(nèi)部轉(zhuǎn)化的多階段黑箱模型，以及考 慮內(nèi)部轉(zhuǎn)化的多階段總模型，給出了決策單元的各種 dea 有效性定義， 證明了各有效決策單元的存在性定理、量綱無(wú)關(guān)定理等性質(zhì)，最后討論 了各種不同模型 dea 有效性之間的關(guān)系， 并得到總模型的弱有效性可以 推出黑箱模型的弱有效性的結(jié)論。 關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，多階段，物質(zhì)交換，決策單元，dea 有效性 application of data envelopment analysis in multi- stage exchange production system abstract data envelopment analysis (dea) is a mathematical programming method of evaluating the relative efficiency of a series of decision making unit (dmu) with multi- input and multi- output. this method can evaluate the performance difference, namely relative efficiency, of dmus just through the real input and output, without the function between input and output or the weight assumption. classical dea model is generally used in a single stage production system, or a multi- stage production system which is treated as a black- box system without the internal mechanism, equal to a single stage one. but it s not suitable for many real production systems obviously. there are many multi- stage production systems with exchange of substance with outside during the process. how to evaluate the efficiency of a production system and then improve the efficiency scientifically, which is really a valuable problem. in order to evaluate the performance of this system, we use dea method to set up mathematic models from three different points of view, which include the single stage model, multi- stage black- box model which ignore the internal mechanism and multi- stage total model which include the internal mechanism according to the fact. we define the different dea efficiency of dmu and prove the existence theorem and dimension irrelevance theorem of efficient dmu, and so on. at last we analyze the relationship among the efficiency of different models. and we get conclusion that if there is an efficient dmu in the total model, then there must be an efficient one in the black- box model. key words: dea, multi- stage, exchange of substance, dmu, dea efficiency 上海交通大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不 包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品成果。對(duì)本文的研究 做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意 識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：陳 媛 日期：2 0 0 8 年 4 月 8 日 上海交通大學(xué) 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同 意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許 論文被查閱和借閱。本人授權(quán)上海交通大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或 部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制 手段保存和匯編本學(xué)位論文。 保密，在 年解密后適用本授權(quán)書。 本學(xué)位論文屬于 不保密。 （請(qǐng)?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打“” ） 學(xué)位論文作者簽名：陳 媛 指導(dǎo)教師簽名：王曉敏 日期：2 0 0 8 年 4 月 8 日 日期：2 0 0 8 年 4 月 8 日 1 第一章 緒論 1.1 dea 的發(fā)展 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis，簡(jiǎn)記 dea)是著名的運(yùn)籌學(xué)家 a. charnes和w.w .cooper和e.rhodes以相對(duì)效率概念為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的一種新的效率 評(píng)價(jià)方法。1978 年，第一個(gè) dea模型 2 c r出現(xiàn)1。此后 dea 方法和理論在實(shí)際的 應(yīng)用中快速發(fā)展并逐步成熟, 新的模型被不斷地建立, 如 2 bc模型(banker. r.d, w.w. cooper, 1984) 、fg 模型( fare r、grosscopf,1985) 、 22 c gs模型( a.charnes、w.w. cooper, 1985) 、 2 c w和 2 c wh模型( 魏權(quán)齡、charnes、cooper, 1986) 等。在過(guò)去的 近 30 年中,在運(yùn)作管理研究中,dea 是最有活力和富有成果的領(lǐng)域之一23，至今已 經(jīng)形成關(guān)于效率、生產(chǎn)可能集、生產(chǎn)前沿面等概念的完整的理論、方法和模型的研 究領(lǐng)域。 1.2 dea 方法的基本原理 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(dea) 是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃對(duì)同類決策單元(decision making unit ,簡(jiǎn) 稱dmu) 的相對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)的一種方法， 其研究對(duì)象是多投入多產(chǎn)出的生產(chǎn)過(guò)程。 所謂同類決策單元,是指具有三個(gè)特征的 dmu 集合:有相同的目標(biāo)和任務(wù);有相同的 外部環(huán)境;有相同的輸入和輸出指標(biāo)。 設(shè)某個(gè) j dmu在一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)) 活動(dòng)中的輸入向量為 1 (,.,)t jjmj xxx=，輸出向 量為 1 (,.,)t jjsj yyy=。初始的 dea 模型 2 c r是一個(gè)分式規(guī)劃，即 0 0 2 max .11,2,.,() 0,0 t t t j t j t u y w x u y stjnc r w x uw = 當(dāng)使用 1962 年由 charnes和 cooper 給出的 2 c 變換 （即過(guò) charnes- cooper 變換， 參見(jiàn)文獻(xiàn)4）后，可將分式模型化為一個(gè)與其等價(jià)的線性規(guī)劃問(wèn)題，即 2 2 0 0 max .01,2,., () 1 0,0 t tt jj i c r t t y stxyjn p x uw = = 于是對(duì) d e a 模型 2 ()c r 性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)于線性規(guī)劃模型 2 () i c r p的研究。 1.3 多階段 dea 模型的發(fā)展 在經(jīng)典 dea 模型中,每個(gè) dmu 都被看作是一個(gè)“黑箱”,人們并不關(guān)心輸入是 如何轉(zhuǎn)化為輸出的、運(yùn)作過(guò)程本身是不是影響整體效率等等。但這顯然不符合現(xiàn)實(shí) 中大多數(shù)生產(chǎn)過(guò)程的狀況，大多中間過(guò)程本身都對(duì)整個(gè)過(guò)程有著重要影響。在突破 單一階段的 dea 模型的過(guò)程中,代表性的成就是網(wǎng)絡(luò) dea 模型的提出。fare 和 grosskopf 首次提出網(wǎng)絡(luò) dea 的概念5 ,其實(shí)質(zhì)是將 dmu 的“黑箱”打開,將復(fù)雜 的業(yè)務(wù)流程進(jìn)行分解,從而考察每一業(yè)務(wù)環(huán)節(jié)可能存在的對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)整體效率的影 響。于是,生產(chǎn)過(guò)程之間的聯(lián)系變量中間產(chǎn)品就顯得格外重要,它既是前一階段的 輸出,又是后一階段的輸入。 目前研究較多的是基于兩階段生產(chǎn)過(guò)程的 dea 模型多階段 dea模型的特 例。其 dea 模型研究分為兩類:一類是資源約束型,即系統(tǒng)的總輸入同時(shí)為兩個(gè)階段 所消費(fèi),chen 等人于 2006 年研究了這類 dea 模型6 ,該方法是以各階段效率均值 最大化為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建模型的;一類是序列型,即系統(tǒng)的總輸入只為第一階段所消費(fèi), 后一階段的輸入完全來(lái)自前一階段的輸出，wang、gopal 和 zionts 于 1997 年提出 了序列型兩階段生產(chǎn)過(guò)程的 dea 效率評(píng)價(jià)模型7。 1.4 本文研究?jī)?nèi)容 本文主要提出中間過(guò)程與外部有物質(zhì)交換的多階段模型。所謂物質(zhì)交換是指需 要外部在中間過(guò)程中提供輸入，并且部分中間產(chǎn)物不再進(jìn)入到下一階段生產(chǎn)。這種 多階段生產(chǎn)過(guò)程是有其重要的現(xiàn)實(shí)意義的。 工業(yè)生產(chǎn)，尤其是在化工生產(chǎn)中，經(jīng)常有這樣的生產(chǎn)過(guò)程：最終產(chǎn)品需要經(jīng)過(guò) 多步中間反應(yīng)才可以生成。在這些中間反應(yīng)中，每一步的產(chǎn)物或者需要進(jìn)入下一步 的反應(yīng)過(guò)程，或者作為副產(chǎn)品回收，同時(shí)每一步反應(yīng)也需要從外部輸入補(bǔ)充原料或 催化劑等。例如硫酸的理論制造過(guò)程，如圖所示： 3 硫 2 so 3 so 硫酸 氧氣 氧氣 水 圖 1 硫酸制造流程圖 我們將這種帶有中間物質(zhì)交換的生產(chǎn)過(guò)程稱為多階段交換過(guò)程。其特點(diǎn)為： 1階段數(shù)大于 2； 2某個(gè)階段的一部分輸出可以作為下一階段的輸入，另一部分輸出要離開生產(chǎn)系 統(tǒng)，可以視為最終輸出之一； 3中間過(guò)程需要外部輸入的補(bǔ)充。 本文將利用 dea方法從三個(gè)不同的角度分別研究單階段過(guò)程、不考慮中間轉(zhuǎn)化 的多階段黑箱過(guò)程和考慮中間轉(zhuǎn)化的多階段過(guò)程，并建立相應(yīng)的三個(gè)原始分式模型， 然后通過(guò)變換將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性 dea 模型。對(duì)于得到的三個(gè)線性 dea 模型， 分別給出決策單元 dea有效性的定義， 并得到最優(yōu)解存在性， 有效決策單元存在性， 量綱無(wú)關(guān)以及輸入輸出同倍增長(zhǎng)無(wú)關(guān)等性質(zhì)。最后本文討論了不同模型 dea 有效性 的關(guān)系。 4 dt- 1 dt 第二章 t 階段 dea模型 2.1 模型的建立 設(shè)共有 n 個(gè)決策單元。對(duì)于第 j 個(gè)決策單元 j dmu，定義其輸入為 1, 1 2, (,.,) t j tttt jjmj t j x xxx x = ，輸出為 1, 1 2, (,.,) t j tttt jjmj t j y yyy y = ，其中 1,2,1,2, , tltm ltlts l jjjj xexeye ye 上標(biāo) 1 代表該部分輸入、輸出具有相同性質(zhì)，并且上一階段的輸出 1,1t y 可以直接作 為下一階段的輸入的一部分；上標(biāo) 2 代表該部分輸入完全要依靠外部提供，該部分 輸出不能作為下一階段的輸入。因此，多階段生產(chǎn)過(guò)程如下圖所示： 1,1 j x 1,1t j y 1,t j x 1,t j y 1, 1t j x + 2,1 j x 2,1 t j y 2,t j x 2,t j y 2,1t j x + 第 t 階段 圖 2 多階段生產(chǎn)過(guò)程示意圖 本章研究虛線框中的生產(chǎn)過(guò)程，即 t 階段生產(chǎn)過(guò)程。 為簡(jiǎn)便起，記 1,0 0(1,., ) j yjn=， 0 dmu 為 0 j dmu 0 (1,2,., )jn。并記第 t 階 段 d e a 模型為 t- d e a ，其原始模型為 0 111,1 00 111,1 1 1 2 () max ()() () () .11,2,.,(0) ()() () 0,0, 0 ttt ttttttt ttt j ttttttt jj t ttt l t uy wxwdy uy stjnt wxwdy w uwde w + = + = o o 5 （t- 0） 為一個(gè)分式規(guī)劃， 使用下列變換可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的多項(xiàng)式規(guī)劃形式： 111,1 00 1 ()() t ttttttt wxwdy = +o ， 1 2 t ttt t v w v = ， 11ttt w=， ttt u= 則目標(biāo)函數(shù)可以化為 0 () ttt y 約束條件為 111,1 () ()() t tt j t ttttt jj y xdy +o = 111,1 () 1 ()() () t tt j t ttt ttt jj uy wxwdy +o ，1,.,jn= 0,0 tt 而由 111,1 00 1 ()() () t ttttttt wxwdy = +o 可知它化為 111,1 00 ()() ()1 ttttttt xdy +=o 因此分式規(guī)劃（t - 0 ）化為 0 111,1 00 111,1 1 1 2 max() .()() ()1 ( - 1)()() ()()0 ,1,., 0,0, 0 ttt ttttttt tttttttttt jjj t ttt l t y stxdy txdyyjn v de v += += = o o 引理 2 . 1 分式規(guī)劃（t - 0 ）與多項(xiàng)式規(guī)劃（t - 1 ）在下述意義下等價(jià)： ( i ) 若 ,0,01,0 (,) ttt uwd 為（t - 0 ）的最優(yōu)解，則 ,0,0,0,0,0,01,0 (,) ttttttt uwd = 為（t - 1 ）的最優(yōu)解，且二者最優(yōu)值相等，其中 ,0 ,01,01,01,1 00 1 ()() () t ttttttt wxwdy = +o ； （i i ）若 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 1 ）的最優(yōu)解，則 ,0,01,0 (,) ttt d 也為（t - 0 ）的最 優(yōu)解，且二者最優(yōu)值相等。 證明：（i） 設(shè) ,0,01,0 (,) ttt uwd 為(t- 0)的最優(yōu)解， 顯然(t- 1)的任意可行解 1 (,)0 ttt d 都 6 為問(wèn)題(t- 0)的可行解，故(注意到 111,1 00 ()() ()1 ttttttt xdy +=o) ,0 00 0 ,01,01,01,1111,1 0000 ()() () ()() ()()() () tttttt ttt tttttttttttttt uyy y wxwdyxdy = +oo 又由 ,0 ,0,0,0 0 00 ,01,01,01,1 00 () ()() ()() () ttt ttttttt ttttttt uy uyy wxwdy = +o 故對(duì)（t - 1 ）的任意可行解 1 (,) ttt d 有 ,0 00 ()() tttttt yy. 而 ,0 ,0,0,0 ,01 , 01,01,1 00 ()() () t ttt ttttttt u u wxwdy = +o ,0 ,0,0,0 ,01,01,01,1 00 ()() () t ttt ttttttt w w wxwdy = +o 1,01,0tt dd = 為（t - 1 ）的可行解，因此 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 1 ）的最優(yōu)解，并且( t - 0 ) 與( t - 1 ) 最 優(yōu)值相等。 (ii) 設(shè) ,0,01,0 (,) ttt d 為(t- 1)的最優(yōu)解，可知 ,0,01,0 0,0,0 ttt l de ，并且 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t- 0）的可行解。此外，對(duì)于問(wèn)題（t- 0）的任意可行解 1 (,) ttt u w d ， 令 11 111,1 00 1 , ()() ttttttttt ttttttt uw dd wxwdy = +o ， 顯然 1 (,) ttt d 是（t - 1 ）的可行解，于是有 ,0 0 00 111,1 00 () ()() ()() () ttt tttttt ttttttt uy yy wxwdy = +o ， 因?yàn)?,01 , 01,01,1 00 ()() ()1 ttttttt xdy +=o，故 ,0 ,0 0 0 ,01 , 01,01,1 00 () () ()() () ttt ttt ttttttt y y xdy = +o ， 所以，對(duì)( t - 0 ) 的任意可行解 1 (,) ttt u w d ，有 ,0 00 ,01 , 01,01,1111,1 0000 ()() ()() ()()() () tttttt tttttttttttttt yuy xdywxwdy +oo 。 7 因此 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 0 ）的最優(yōu)解， ，并且（t - 0 ）與（t - 1 ）最優(yōu)值相等。 （t- 1） 是非線性規(guī)劃模型， 使用下列變換可將其化為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃的形式： 11ttt d =o 代入（t - 1 ）得線性規(guī)劃模型 0 1,1 00 1,1 1 1 2 max() .()()1 - 2()()()0,1,., 0,0, 0 ttt tttttt ttttttttt jjj t tttt t y stxy txyyjn v v += += = （） 引理 2 . 2 多項(xiàng)式規(guī)劃（t - 1 ）與線性規(guī)劃（t - 2 ）在下述意義下等價(jià)： （i ）若 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 1 ）的最優(yōu)解，其中 1,0 ,0 2 ,0 t t t v v = ，則 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最優(yōu)解，且兩者最優(yōu)值相等，其中 ,01,01,0ttt d =o。 （i i ）若 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最優(yōu)解，則 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 1 ）的最優(yōu) 解，且兩者最優(yōu)值相等，其中 1,0,01,0 / ttt d =。 證明: ( i ) 對(duì)模型 （t - 2 ） 的任意可行解(,) ttt ， 相應(yīng)的 1 (,) ttt d 都是模型 （t - 1 ） 的可行解，其中 1 / ttt d =。 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 1 ）的最優(yōu)解，則 ,0 00 ()() tttttt yy 而 ,0,0,0 (,) ttt 顯然是（t - 2 ）的可行解，其中 ,01,01,0ttt d =o，所以它是（t - 2 ）的 最優(yōu)解，且最優(yōu)值相等。 ( i i ) 令 1,0,01,0 / ttt d =，則 ,01,01,0ttt d =o，因此 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 1 ）的 可行解。又對(duì)（t - 1 ）的任意可行解 1 (,) ttt d ，顯然(,) ttt 是（t - 2 ）的可行解， 其中 11ttt d =o。由于 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最優(yōu)解，有 ,0 00 ()() tttttt yy 所以 ,0,01,0 (,) ttt d 也是( t - 1 ) 的最優(yōu)解, 且兩者最優(yōu)值相等。 由引理 2 . 1 、2 . 2 馬上得到如下定理。 定理 2 . 1 分式規(guī)劃問(wèn)題（t - 0 ）與線性規(guī)劃（t - 2 ）在下述意義下等價(jià)： 8 （i ）若 ,0,01,0 (,) ttt uwd 為（t - 0 ）的最優(yōu)解，則 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最優(yōu)解， 且兩者最優(yōu)值相等，其中 ,0 ,0 ,01 , 01,01 1 00 ()() () t t ttttttt u wxwdy = +o ,0 ,0 ,01,01,011 00 ()() () t t ttttttt w wxwdy = +o 1 , 01,0 ,0 ,01,01,011 00 ()() () tt t ttttttt wd wxwdy = + o o （i i ）若 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最優(yōu)解，則 ,0,01,0 (,) ttt d 為（t - 0 ）的最優(yōu) 解，且兩者最優(yōu)值相等，其中 1,0,01,0 / ttt d =。 2.2 模型的性質(zhì)研究 定理 2 . 2 線性規(guī)劃（t - 2 ）存在最優(yōu)解，并且最優(yōu)值小于等于 1 。 證明：令 0 2 0 t t t x x =， 1 1 0 2 0 2 t tt t x x = 則 11,1 *1,1 00 00 2 0 () ()()1 2 ttt tttt t xy xy x += + 令 0 2 0 0 11,12 11,1 00 000 2 0 2 () 2() 1 2 t t t t t tt tttt t x x x xy xxy x = + + 1 1 0 21,1 11,1 00 000 ()() 2() tt tt tttttt tttt x xy xxy = + + 令 1 (,0,.,0) tts e= 其中 9 1 1,1 1 ()() min tttttt jj t t j n sj xy e y + = 顯然有 1 0,0, 0 tttt ，并且 1,1 00 ()()1 t ttt tt xy += 以及 1,1 ()()()0,1,., ttttttttt jjj xyyjn += 因此 (,) ttt 是（t - 2 ）的可行解，即（t- 2 ）存在可行解。又顯然（t- 2 ）的可行域 有界，故由線性規(guī)劃最優(yōu)解存在性定理知（t- 2 ）存在最優(yōu)解。并且，對(duì)（t- 2 ）的任 意可行解(,) ttt ，有 11 000 ()()()1 ttttttttt yxy += 于是知（t- 2 ）的最優(yōu)解小于等于 1 。 定義 2 . 1 若線性規(guī)劃（t - 2 ）的最優(yōu)值為 1 ，則稱 0 j dmu為 t - 弱 d e a 有效。進(jìn)一步， 若模型( t - 2 ) 存在最優(yōu)解 ,0,0,0 (,) ttt ，滿足 ,0,0,0 0,0,0 ttt ，且最優(yōu)值為 1 ， 則稱 0 j dmu為 t - d e a 有效。 引理 2 . 3 設(shè) 1 1 2 0,0, 0,0 t ttttt t = ，滿足 11 ()()()01,., ttttttttt jjj xyyjn += 若對(duì)某 * (1)jjn，有 * 11 ()()()0 ttttttttt jjj xyy += 則 * j dmu為 t - 弱 d e a 有效。進(jìn)一步，若 0,0,0 ttt ，則 0 j dmu為 t - d e a 有 效。 證明：令 * 1,1 ()()0) tttttt jj xy +， * 1 2 1,1 ()() t t t t tttttt jj xy = + ， * 1,1 ()() t t tttttt jj xy = + ， * 1,1 ()() t t tttttt jj xy = + 10 則 1 0,0,0 tttt ，且滿足 1,1 ()()()0 ,1,., t ttt ttt tt jjj xyyjn += * 1,1 ()()1 t ttt tt jj xy += 又 * * * 1,1 () ()1 ()() t tt j t tt j t ttt tt jj y y xy = + 即當(dāng)模型 （t - 2 ） 中取 0* jj=時(shí)， (,) ttt 是 （t - 2） 的可行解， 且其目標(biāo)值 * ()1 t tt j y=。 因?yàn)椋╰ - 2 ）的目標(biāo)函數(shù)值小于等于 1 ，所以(,) ttt 為( t - 2 ) 最優(yōu)解且最優(yōu)值為 1 ， 由定義知 * j dmu為 t - 弱 d e a 有效。 當(dāng) 0,0,0 ttt 時(shí)，有0,0,0 ttt ，由定義知 * j dmu為 t - d e a有 效。 引理 2 . 4 存在0 ，對(duì)( , )o ，下面線性規(guī)劃存在可行解： 0 1,1 00 1,1 1 max() .()()1 ()()()0,1,., ( - 3) ttt tttttt ttttttttt jjj t m t s tt l y stxy xyyjn t e e e += += 證明：記 000 1 (,.,) tttt jm xxx=，令 0 * 2 0 0,1,., i t i t x im x = 0 * 2 0 ,1,., 2 i t ii t x il x = 則 11,1 *1,1 00 00 2 0 () ()()1 2 ttt tttt t xy xy x += + 令 11 0 0 2 0 11,12 11,1 00 000 2 0 2 0,1,., () 2() 1 2 i i t t t i t tt tt tt t x xx im xy xxy x = + + * 0 2*1 1 111 00 000 , 1,., ()() 2() t ii ii tttt tttt x il xy xxy = + + ,1,., r rs= 其中 ( , )o 1,1 111 ()() minmin,min,min,1 tttttt jj ii t i mi lj n sj xy e y + = 可知 1 , ttt msl eee 1,11,1 ()()()()()()0,1,., tttttttttttttttttt jjjjjsj xyyxyeyjn +=+= 1,1 00 ()()1 t ttt tt xy += 即 (,) ttt 為( - 3)t 的可行解。 定理 2 . 3 （存在性定理）至少存在一個(gè) d m u 是 t - d e a 有效的。 證明：考慮線性規(guī)劃問(wèn)題( - 3)t ，由引理 2 . 4 ，存在0 ，使得( - 3)t 有可行解。由 于對(duì)( - 3)t 的任意可行解(,) ttt ，其目標(biāo)函數(shù)值 11 000 ()()()1 ttttttttt yxy += 故知( - 3)t 存在最優(yōu)解。設(shè)其最優(yōu)解為 ,0,0,0 (,) ttt 。 （i）若存在 * (1)jjn，有 * ,0,01 1,0 ()()()0 ttttttttt jjj xyy += 根據(jù)引理 2.3， * j dmu為 t- dea 有效。 （i i ）若對(duì)1,2,.,jn=，均有 ,0,01 1,0 ()()()0 ttttttttt jjj xyy + 令 12 ,0,01 1 ,0 1 ()() min () tttttt jj ttt j n j xy y + = 則1 ，并有 ,0,01 1,0 ()()()0,1,2,., ttttttttt jjj xyyjn += ,0,011 00 ()()1 tttttt xy += ,0,0,01,0 , tttt mssl eeee 因此 ,0,0,0 (,) ttt 為( - 3)t 的可行解，但其目標(biāo)函數(shù)值卻有 ,0,0 00 ()() tttttt yy 這與 ,0,0,0 (,) ttt 為( - 3)t 最優(yōu)解相矛盾，故情況( i i ) 不可能，證畢。 定理 2 . 4 （有效性與量綱選取無(wú)關(guān)定理）決策單元的 t - 弱 d e a 有效性和 t - d e a 有效 性與輸入和輸出量綱的選取無(wú)關(guān)。 證 明 ： 設(shè) 輸 入 和 輸 出 的 量 綱 發(fā) 生 變 化 ， 即 各 j dmu由(,) tt jj xy變 為 (,),1,., tt jj xyjn=oo，其中 1 1 1212 2 (,.,) ,(,.,) tt ml = 1 1 1212 2 (,.,) ,(,.,) tt sl = 由于 1t j x與 1t j y具有相同量綱，因此 11 =。則量綱發(fā)生變化后的模型為 0 11,1 00 11,1 1 max() () .() ()() ()1 (4) () ()() ()() ()0,1,., 0,0, 0 ttt tttttt ttttttttt jjj tttt y stxy t xyyjn += += o oo ooo 由模型(t- 2)、(t- 4)可知，若 ,0,0,0 (,) ttt 為模型(t- 2)的最優(yōu)解，令 1,0,0,0 1 2 , ttt ttt = ) ) ) ) 則 ,0,0,0 (,) ttt 為模型(t- 2)的最優(yōu)解的充分必要條件是(,) ttt ) ) 為(t- 4)的最優(yōu)解， 并且 ,0,0,0 0,0,0 ttt 的充分必要條件是0,0,0 ttt ) ) 。 由 t- 弱 d e a 有效性 和 t- d e a 有效性的定義， 知定理結(jié)論成立。 13 定理 2 . 5 （有效性與 d m u 同倍 “增長(zhǎng)” 無(wú)關(guān)定理） 決策單元的 t - 弱 d e a 有效性和 t - d e a 有效性與決策單元對(duì)應(yīng)的輸入和輸出的同倍“增長(zhǎng)”無(wú)關(guān)。 證明：設(shè)輸入和輸出同倍“增長(zhǎng)“，即各 j dmu由(,) tt jj xy同倍“增長(zhǎng)”為 (,),1,., tt jjjj xyjn=，其中 1, 0,1,., jj ejn= 則同倍“增長(zhǎng)”后的模型為 00 11 0000 11 1 max() () .() ()() ()1 ( - 5) () ()() ()() ()0,1,., 0,0, 0 tttt ttttttt tttttttttt jjjjjj tttt y stxy t xyyjn += += 由 1, 0,1,., jj ejn=不難看出，上述規(guī)劃等價(jià)于線性規(guī)劃 00 11 000 11 0 1 max() () .()()1 (6) ()()()0,1,., 0,0, 0 ttt tttttt ttttttttt jjj tttt y stxy t xyyjn += += 由模型(t- 2)、(t- 6)可知，若 ,0,0,0 (,) ttt 為模型(t- 2)的最優(yōu)解，令 ,0,0,0 000 , ttt ttt = % % 則 ,0,0,0 (,) ttt 為模型(t- 2)的最優(yōu)解的充分必要條件是(,) ttt %為(t- 6)的最優(yōu)解， 并且 ,0,0,0 0,0,0 ttt 的充分必要條件是0,0,0 ttt % %。 由 t- 弱 d e a 有效性 和 t- d e a 有效性的定義，知定理結(jié)論成立。 2.3 本章小結(jié) 對(duì)于采用上一階段部分輸出作為本階段輸入，即引入 11,1 0 tt dy o作為部分輸入的 t 階段，其原始分式模型可以通過(guò)一系列變換等價(jià)的轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃形式，并且存在 與傳統(tǒng) d e a 模型相似的性質(zhì)。 14 dt- 1 dt 第三章 多階段黑箱 dea模型 3.1 模型的建立 本章考慮多階段黑箱模型，不考慮內(nèi)部生產(chǎn)過(guò)程的轉(zhuǎn)化，只考慮最終可見(jiàn)的輸 出和外部輸入。如下圖所示: 11,1 () tt lj edy o 1 () tt lj edyo 1,1 j x 1,1t j y 1,t j x 1,t j y 1, 1t j x + 1,k