摘要 本文主要應(yīng)用復(fù)分析理論和方法研究了幾類線性微分方程解的增長(zhǎng)性 首先，我們研究了方程，( 七) + a t , 一l ( z ) e & 一，( k - 1 ) + + a o ( z ) e p o y = o ( 其中4 f 為 整函數(shù)，仃( a ，) n ，b 為佗次多項(xiàng)式) 在系數(shù)滿足一定條件下的解的級(jí)或者超級(jí)，推廣、 改進(jìn)或完善了已有的結(jié)果 其次，我們研究了有關(guān)整函數(shù)的型的六個(gè)命題，主要得到了關(guān)于整函數(shù)的型與級(jí) 滿足的幾個(gè)關(guān)系 最后，我f 門研究了方程，( 七) + ( a k 一1 e p h 一1 + d k 1 ) ，似一1 ) + + ( a o e 焉+ d o ) ，= 0 ( 其中 ( z ) 、d j ( z ) 為整函數(shù)，a ( a j ) n ，仃( 島) 佗，弓z ) = 吩紗+ ) 在系數(shù)滿足 一定條件下的解的增長(zhǎng)性，主要把b 從一次多項(xiàng)式推廣n y n ( n 1 ) 次多項(xiàng)式，把二 階方程推廣到t k ( k 2 ) 階方程 關(guān)鍵詞：線性微分方程，整函數(shù)，級(jí)，超級(jí)，型 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h ec o m p l e xo s c i l l a t i o np r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so f s o m et y p e so fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ya p p 螄n gt h et h e o r i e sa n dm e t h o d so ft h e c o m p l e xa n a l y s i s a tf i r s t ，w ei n v e s t i g a t et h eg r o w t ho fs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，( 七) + a 七一i ( z ) e & 一1 ，( 七一1 ) + + a o ( z ) e l ： o f = 0 , w h e r ea ji sae n t i r ef u n c t i o n ，盯( a j ) a ( j = 0 ，七一1 ) ，弓i sa p o l y n o m i a l ，d e gp j = n ( n 1 ) w em a i n l ye x t e n d ，i m p r o v e ，o rc o m p l e m e n tt h ee x i s t i n g r e s u l t s s e c o n d l y , w ei n v e s t i g a t es i xp r o p o s i t i o n so ft h et y p eo fe n t i r ef u n c t i o n s i nf a c t ，w e o b t a i ns o m er e l a t i o n sb e t w e e nt h et y p eo ft h ee n t i r ef u n c t i o na n dt h eo r d e ro fi t a tl a s t ，w ei n v e s t i g a t et h eg r o w t ho fs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，( 七) + ( a 七一1 e 一1 + d k 1 ) ，( 七一1 ) + + ( a o e p o + d o ) f = 0w h e r ea j ( z ) 、d 3 ( z ) a x ee n t i r ef u n c t i o n s ，盯( a j ) n ，盯( 易) n ，p j ( z ) = a j z n + w eo b t a i ns o m er e s u l t st h a tg r e a t l ye x t e n dt h e d e g 弓= 1t od e gp j = n ( n 1 ) a n df o r ms e c o n do r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a lt oh i g h e r o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a l k e yw o r d s ：l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e n t i r ef u n c t i o n ；o r d e ro fg r o w t h ； h y p e ro r d e r ；t y p e i i 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所 取得的研究成果除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何 其他個(gè)人或集體己經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的 個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本人完全意識(shí)到本聲明的法律后 果由本人承擔(dān) 作者簽名：關(guān)t 1 、塹 日期：加1 口年6 月1 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意 學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文 被查閱和借閱本人授權(quán)長(zhǎng)沙理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存 和匯編本學(xué)位論文 本學(xué)位論文屬于 1 、保密c i ，在年解密后試用本授權(quán)書 2 、不保密囪 ( 請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“”) 作者簽名：皇t 1 、型包 日期： 7 o l 。年易月 f 日 導(dǎo)師簽名：眵岳8 日期：p 夕。年莎月 ( e l 1 1 研究背景 第一章緒論 微分方程的復(fù)振蕩理論是上世紀(jì)八十年代興起的邊緣領(lǐng)域，它應(yīng)用復(fù)分析的理論 和方法，其主要工具是n e v a n l i n n a 值分布論、w i m a n - v a l i r o n 理論、位勢(shì)理論、漸進(jìn)方 法等，研究復(fù)域微分方程解的振蕩性，即研究解的增長(zhǎng)性復(fù)振蕩問題就是復(fù)線性微分 方程的解在復(fù)平面c 中的零點(diǎn)或極值點(diǎn)的分布，如果解的零點(diǎn)或極值點(diǎn)有無窮多個(gè)則 認(rèn)為該解是振蕩的我們一般用零點(diǎn)收斂指數(shù)、不動(dòng)點(diǎn)的收斂指數(shù)、級(jí)、超級(jí)、迭代級(jí) 等來衡量那個(gè)無窮多，該問題具有廣泛的實(shí)際背景，它的研究在理論上是有意義的，在 實(shí)踐上也是很有意義的 微分方程的復(fù)振蕩理論始于1 9 8 2 年s b a n k 和i l a i n e 對(duì)二階齊次線性微分方程的研 究，隨后，j k l a n g l e y ，g g u n d e r s e n 和s h e l l e s e i n 在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)做了大量的研究1 9 8 9 年，高仕安對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)微分方程得到了富有起始性和啟發(fā)性的結(jié)果后來，陳宗煊解 決了這一領(lǐng)域內(nèi)的幾個(gè)重要問題，并且對(duì)系數(shù)分別為多項(xiàng)式、有理函數(shù)、超越整函數(shù) 及亞純函數(shù)的線性微分方程的復(fù)振蕩理論進(jìn)行了研究，得到了一系列深入和頗有意義 的精確結(jié)果現(xiàn)今已成功地研究了單位圓內(nèi)微分方程的復(fù)振蕩理論 最初，我們用零點(diǎn)收斂指數(shù)入( 廠) 來衡量解的增長(zhǎng)性為了更好的描述函數(shù)的增長(zhǎng) 性，我們引進(jìn)了特征函數(shù)t ( r ，f ) ，當(dāng)r o o 時(shí)，為了得到t ( r ，) 的增長(zhǎng)率，我們定義了 級(jí)口( ，) ，若級(jí)為。o 時(shí)，那該函數(shù)的增長(zhǎng)率具體又是怎樣呢，接著我們就引進(jìn)超級(jí)a 2 ( f ) 的 概念，從而對(duì)無窮級(jí)解作出更精確的估計(jì)，甚至用迭代級(jí)a i ( f ) ( a i ( f ) = 百i 竺魯型， r - 薯 l u g 7 i ( ，) 為迭代級(jí)指標(biāo)) ，i 級(jí)。值點(diǎn)收斂指數(shù)九( ，。) ( 凡( ，n ) = j l _ + i m 。l 。g in m t 巳( r r , f ) ) ，i a ( ，。) 為 一o 1 n 口7 v ，r ! 一、 收斂指標(biāo)) 和不動(dòng)點(diǎn)的 級(jí)收斂指數(shù)瓦( 廠) ( n ( ，) = 百面：二! 羔三型，i r ( 廠) 為不動(dòng)點(diǎn)收斂 指標(biāo)) 來得到更精確的增長(zhǎng)率估計(jì)這就是對(duì)線性方程解的一些研究趨勢(shì)，即研究其零 點(diǎn)收斂指數(shù)、級(jí)、超級(jí)、迭代級(jí)、零點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)等對(duì)于方程的研究，一般情況下我們從 二階研究到高階，從齊次研究到非齊次，從多項(xiàng)式系數(shù)到特殊的整函數(shù)到一般的整函 數(shù)再到亞純函數(shù)，且主要研究方程的系數(shù)對(duì)解的影響 本文運(yùn)用復(fù)分析的方法，主要研究了線性微分方程解的增長(zhǎng)性文章共分為四章： 第一章，介紹了該研究領(lǐng)域的一些發(fā)展背景以及一些預(yù)備知識(shí)；第二章，研究了一類 高階整函數(shù)系數(shù)線性微分方程解的復(fù)振蕩性質(zhì)，得到了方程解的級(jí)以及超級(jí)更精確的 估計(jì)，推廣、完善或改進(jìn)了已有的結(jié)果；第三章，研究了整函數(shù)的型的六個(gè)命題，其實(shí) 主要討論了整函數(shù)的型與級(jí)之間的幾個(gè)關(guān)系：第四章，研究了另一類線性微分方程解 的性質(zhì) 1 2 基本定義 本文中采用n e v a n l i n n a 值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)與相關(guān)定義 1p 2 7 r 定義1 2 1 【1 1 m ( r ，) = 去l o g + l f ( r e 亂4 l d q o 它是i ，( z ) i 的正對(duì)數(shù)在h = r 上 在平均值；其中i ，( z ) i 的正對(duì)數(shù)定義為 定義1 2 2 1 1 1 l o g i = l 。o g 陟p q i 冀鍘訊1 腳= 0 7 業(yè)掣出州。批g n ( r ，1 ) ：f 煎幽掣d t + 佗( o ，l f ) l 。弘 ，0 厶 這里佗( t ，) 表示( z ) 在l z i 亡上的極點(diǎn)數(shù)，n ( o ，1 ) 表示f ( z ) 在原點(diǎn)處的極點(diǎn)的重級(jí)，禮( t ，1 1 f ) 表 示，( z ) 在h 舌上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，零點(diǎn)重級(jí)按重?cái)?shù)計(jì)算，n ( o ，1 ，) 則表示，( z ) 在原點(diǎn)的 零點(diǎn)重級(jí) 定義1 2 3 f 1 1 t ( r ，) = m ( r ，) + n ( r ，) ，t ( r ，) 稱為，( z ) 的特征函數(shù) 定義1 2 4 【1 l 設(shè)，( z ) 為開平面上的亞純函數(shù)，則定義，( z ) 的增長(zhǎng)級(jí)盯( 廠) ，零點(diǎn)( 計(jì) 及重?cái)?shù)) 及不同零點(diǎn)( 不計(jì)及零點(diǎn)) 的收斂指數(shù)a ( ，) 和天( ，) ，極點(diǎn)( 計(jì)及重?cái)?shù)) 及不同 極點(diǎn)( 不計(jì)及零點(diǎn)) 的收斂指數(shù)入( 1 ，) 和天( 1 ，) 分別如下： 町) _ 1 - 1 - 1 - i i l o g l o g t ( r r , f ) 洲，) - 甄警， _ ( ，) - 1 - 磊- ml o g l n 0 9 ( r r , f ) 刈1 ，) = t 而- - c o 警， 一a c l l f ) ：面型堅(jiān)塑 定義1 2 5 【2 1 假設(shè)，( z ) 為亞純函數(shù)，定義，( z ) 的超級(jí)c r 2 ( ，) 為 c r 2 ( ，) ：l i m l o g l o gt ( r , f ) 如果，( z ) 為整函數(shù)，那么 眈( ，) ：1 - - 示- l o gl o g 1 0 9m ( r , f ) ：1 - 而- l o gl o gt ( r , f ) 1 t 0 0 t o gr r + o o l o gr 定義1 2 6 2 1 設(shè)鉗j ( z ) = 擴(kuò)為整函數(shù)，則對(duì)給定的r ，我們稱p ( 7 i ) = 瓣 i a n l r n ) n = ：u 一 為叫( z ) 的最大項(xiàng)，稱口( r ) = m a x n ：p ( 7 ) = i a n i p 為叫( z ) 的中心指標(biāo)當(dāng)r = o 時(shí)，定 義 ( o ) = p ，其中唧為叫( z ) 的t a y l o r 展開式的第一個(gè)非零系數(shù) 2 一定登蘭竺r 簍普毗則我們定義e 的對(duì)數(shù)測(cè)度硼( 肭州恥掣如， 其中x e 為e 的特征函數(shù)，即 x e c z ，= 三二主莖： 定義1 2 8 【3 l 設(shè)，( z ) 是以刁，z 2 ，知，為零點(diǎn)的有窮仃級(jí)整函數(shù)，則存在一個(gè) 整數(shù)p ，與p 無關(guān)，使乘積 o o p ( z ) = z ，p ) 弘2 l 一” 在z 平面上任何有限區(qū)域?yàn)橐恢率諗咳鏿 是使級(jí)數(shù)妻( 去) 舛1 收斂的最小整數(shù)，則稱p ( z ) 為 由，( z ) 的零點(diǎn)所構(gòu)成的典型乘積，而p 稱為這個(gè)乘v 積= l 的虧數(shù) 1 3 預(yù)備知識(shí) 、h l i r o n 理論f 1 j 設(shè)，( z ) 為超越整函數(shù)，則有 l i m 踹籪“ w i m a n - v a l i r o n 理論f 1 j 設(shè)廠是一個(gè)超越整函數(shù)，6 為常數(shù)滿足o 6 m ( r ，) z ，( r ，) 一 + 6 的點(diǎn)，則除去一對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的值r 的集 合外，有 掣：( 掣) m ( 1 + d ( 1 ) ) _ 兩2 i 廠八上+ d 【1 ) j n e v a n l i n n a 理論： 第一基本定理【1 】 設(shè)，( 名) 于i z i r ( 。) 內(nèi)亞純，若口為任一有窮復(fù)數(shù)，則對(duì)于o r r 有 r e ( r , 壽) + ( 7 ，南) = 丁( ， ，) + l o g i c r l + ( 口，r ) ， 其中餌為赤在原點(diǎn)的t a y l o r 展式中第一個(gè)非零系數(shù)，i e ( r ，n ) i l o g + l a l + l 0 9 2 第二基本定理f 1 】揪f ( z ) - j ：l z i r ( o 。) 內(nèi)亞純，不蛻化為常數(shù)，又設(shè)n ，( ： 1 ，2 ，g ) 為g ( 2 ) 個(gè)有窮復(fù)數(shù)，并且1 m i n 地 o 若，( o ) o ，o 。；，( o ) l 、n 地i a 一。 其中 l ( 7 ) = ( 2 ( 7 ，) 一( 7 ，) ) + ( 7 1 ) ， 跗= 嘶，手) + 嘶，芻q 忑f , ) + q l o g + 警+ l o g2 + l o g 麗1 s ( 吖) = 仇( n 手) + m ( _ 芻忑) 魯 麗 3 ， rs + r m 一 ， r丁2 一 p o m g 聞 + ，j rm 對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理【1 j 設(shè)函數(shù)，( z ) 于h r ( o o ) 內(nèi)亞純，若，( o ) 0 ，o 。；廠( o ) 0 ， 則對(duì)于0 r p r 有 嘶，手) 1 0 + 4 l o g + l o g + 麗1 + 2l o g + 吾+ 3 l o g + 巧1 + 4 l o g + p + 4 l o g + t ( 硝) 若，( z ) 為無窮級(jí)亞純函數(shù)，則 m ( r ，睪) = o l o g ( r t ( r ，) ) ) ，r 疊e ，仇l ( e ) l ( j = 0 ，1 ，k 1 ) ，一1 c = m a xc f ，則方程( 2 1 ) 的所有非零解具有無窮級(jí) 在文【9 1 中毛志強(qiáng)和王金蓮證明了： 定理2 1 b 【9 l 設(shè)如( z ) ( o ) g = 0 ，1 ，七一1 ) 是多項(xiàng)式，且滿2 = a j c o ) 0 = 0 ，1 ，七一1 ) ，滿足2 勺o(hù) o ，勺 l ( j = 0 ，1 ，k 一1 ) ，c 七一l c21 m f c21 m j c2 1 m f a 七x 一2 勺，則方程( 2 1 ) 的 每一非零解的超級(jí)為c r 2 ( ，) = d 在文【1 1 1 中涂金和陳宗煊證明了： 定理2 1 d i n 假設(shè)a f 0 是整函數(shù)滿足增長(zhǎng)級(jí)小于1 ，o f 是互不相同的復(fù)數(shù)，那 么方程( 2 1 ) 的所有超越解的增長(zhǎng)級(jí)都為無窮 那么方程( 2 2 ) 若n j 為互不相同的復(fù)數(shù)時(shí)其解如何，本文做出了證明： 定理2 1 2 假設(shè)如( z ) ( o ) g = 0 ，1 ，k 1 ) 是整函數(shù)且口( a ) d ，弓( z ) = a j ，1 z d + ，叼，1 0 = 0 ，1 ，k 一1 ) 為互不相同的非零復(fù)數(shù)，則方程( 2 2 ) 的所有超越 解的級(jí)都為無窮 定理2 1 e 【2 2 1 5 假設(shè)a ( z ) o ( j = 0 ，1 ) 是整函數(shù)且盯( 山) 1 ) ，那么方程 ，+ a 1 ( z ) e 口z f + a o ( z ) e b z f = 0 的所有非零解具有無窮級(jí) 對(duì)如下的微分方程 ，( 七) + a k - 1 e 口一1 ：f ( k - 1 ) + + a o e 知。，= 0( 2 3 ) 其中a f ( z ) 為多項(xiàng)式 在2 0 0 4 年文【1 3 】陳宗煊得到了： 定理2 1 f 【1 2 l 設(shè) ( z ) d = 0 ，k - 1 ) 是多項(xiàng)式，嶼= a j e a j 。0 = 0 ，k - 1 ) 為 復(fù)數(shù)，若存在a 。使得a 。0 ，而大部加s 時(shí)，如果h j 0 ，則吩= 勺，0 勺 1 ； 如果蘭0 ，則勺= 0 ，那么方程( 2 3 ) 的每個(gè)超越解，都有o ( f ) = + o 。和a 2 ( f ) = 1 更進(jìn)一步，如果m a x c 1 ，白一1 ) o ( 僅與口有關(guān)) 與( m ，他) ( m ，n o ，七) ，m n ) 滿 足對(duì)所有z ，當(dāng)h = r 舅【0 ，1 】ue 時(shí)，有 1 ，( n ( z ) ，( m ( z ) i b ( t ( o f f ，) l o g 。rl o g t ( a r ，f ) r ) n m 6 引理2 【8 】假設(shè)，( z ) 為整函數(shù)，且仃( ，) = o o f f j t r 2 ( f ) = o t 0 及充分大的他，有 1 i m1 0 9u ( r k ) l o g 弦= o o ，e x p 咤噸 u ( r k ) 0 ，使得對(duì)h = ? r ，有 ( t ) 如果6 ( p 0 ) 0 ，那么e x p ( 1 一e ) 6 ( p o ) r n 】 i g ( r e 硼) l e x p ( 1 + s ) 6 ( p o ) r 竹) ； ( i i ) 如果6 ( p 0 ) 0 ，那么e x p ( 1 + ) 6 ( p o ) r n ) i g ( r e 陽) i e x p ( 1 一e ) 6 ( p o ) r n ) ， 其中颶= 口 0 ，2 7 r ) ；6 ( p ，0 ) = o ) 是有限集 引理4 【8 】設(shè)，( z ) 是超越整函數(shù)，則存在一對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合ec ( 1 ，+ o 。) ， 當(dāng)名滿足i z i = r 量【0 ，1 】ue 和i f ( z ) i = m ( r ，) ，有i l f ( z ) f ( 8 ) ( z ) i 2 r 5 ( s ) 引理5 1 1 0 l 設(shè)碼0 = 0 ，1 ，k 一1 ) 為整函數(shù)，r o - ( 馬) d r o 是任意給定的常 數(shù)，那么存在一線測(cè)度為零的集合ec 【0 ，2 7 r ) ，使得如果妒【0 ，2 7 r ) e ，存在常 數(shù)r = r l ( 妒) 1 ，使得對(duì)所有滿足a r gz = 妒和h = r r 1 的z 以及所有( 七，歹) h ， 有 i 豁i 唰州- l + 引 引理7 l l l 】假設(shè)，( z ) 為整函數(shù)，假定，( 七) ( z ) 在射線a r g z = 口上是無界的，那么存在一 無窮點(diǎn)列鋤= r n e 胡( 扎= 1 ，2 ，) ，其中r n o o ，滿足，( 七) ( 磊) _ 0 0 和 i 勰l o 是與無關(guān)的常數(shù)) ，那么，( z ) 是一個(gè)次數(shù)不超 過k 的多項(xiàng)式 ， 引理9 【1 l 】設(shè)，是超越亞純函數(shù)，a ( f ) = 盯 0 ，存在r o 0 ，使得 當(dāng)7 r o 且r 茌 0 ，1 】ue 時(shí)，有 e 印 一7 口+ 8 ) i ，( z ) l e x p r 口+ 5 ) ， 其中l(wèi) z i = r ，e 為一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的幣數(shù)集合 7 e j i 理i o 設(shè)，( z ) 是無窮級(jí)整函數(shù)，且c r 2 ( ，) = 仃 + c o ，ec 【1 ，+ o o ) 為對(duì)數(shù)測(cè)度有 窮的集合，那么存在點(diǎn)列 = e 靠) ，使得l f ( z ) l = m ( h ，) ，以【o ，2 7 r ) ，魍恐靠= 如【0 ，2 7 r ) ，r nge ，當(dāng)禮一。時(shí)，r n o o ，有 1 i m l o g u ( 一r n ) ：o 。 瓦2 死萬l o gr n l i m l o g _ = l o g u ( r n ) ：盯 漸l o gr n ( 2 5 ) ( 2 6 ) 證明：若c r 2 ( ，) = 盯= 0 ，則對(duì)任意的r n _ o 。，都有( 2 6 ) 成立，由：甄筍= ， 知存在【吒) ( 吒葉o 。) ，l 婊j t 瓦= l i m 網(wǎng)掣= o o 設(shè)m l ( e ) = 6 o o ，那么o 6 0 ，則由甄：字= 口，知存在【吒) ( 吒一o o ) ，使得f l l , 驄虹篙筍= 仃，那n - + o - + 1 。n 么與上面類似地可證，存在r n i t ，( 6 + 2 ) 吒】e ，( 佗= 1 ，2 ，) ，使得恕超等掣 仃，但甄超篙掣盯，從而( 2 6 ) 成立 e ) 【p r n 8 5 ) ( 7 k ) 0 ( 2 7 ) 又w i m a n v a r l i o n 理論，存在島c 1 ，+ 。o ) 具有有限對(duì)數(shù)測(cè)度，對(duì)所有滿 足i z i ：r 乒【0 ，1 】u 易且l ，( z ) i = m ( t ，1 ) 笆j z 有 鉻= ( 掣九1 + d ( 1 ) ) ，j i = 1 ，七 ( 2 8 ) 8 冥中( r ) 為，( z ) 的中心指標(biāo) 由引理2 ，我們能找到一個(gè)點(diǎn)列z n = r n e 溉，滿足i ，( ) i = m ( r n ，) ，以 0 ，2 7 r ) ， 熙6 1 1 = o o o ，2 7 r ) ，g 【o ，i iu 日u 易u(yù) 玩( 島如引理2 所定) ，垤 0 ，當(dāng)r n 充分 l i m 掣：。，(29)n-，00 1 0 9 h 令a o ，l = o t + 徊，6 ( p 0 ( z ) ，o o ) =c o s d o o x ，s i n d o o = 6 ，下面分6 o 與6 0 ，1 酗n l - + i r a o n _ o o ，所以當(dāng)幾充分大時(shí)，有6 ( r ( 磊) ，以) 0 ，由引理3 知， i a o ( z ) e 局( l e x p _ 【( 1 + e ) 7 ：石( r ( ) ，以) ) ，( 2 1 0 ) i a j ( ) e 馬i e x p ( 1 一) r ：6 ( 弓( z n ) ，以) ) = e x p ( 1 一) 7 ：勺6 ( p o ( 磊) ，以) ) ，( j = 1 ，k 一1 )( 2 1 1 ) 由引理4 知，當(dāng) 磊= r n e ) 滿足l ，( ) i = m ( r n ，) 時(shí)，有 l 茄高i 2 口1 ( 2 1 2 ) 。弘一1 ) ( ) 。二“n 。 p “叫 由方程( 2 1 ) 得 以川- = 舄+ a k - 2 e p k - 2 f _ ( k 叫- 2 ) 十+ 缸而南 = 舄+ a k - 2 e p - - 2f ( k ，- 2 ) + 州。e 島】麗f ， 由( 2 7 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 得 e x p ( 1 一) q 一1 r 要6 ( 島( ) ，p n ) k b ( t ( 2 r n ，) ) 2 七2 磚_ 1e x p ( 1 + ) c 7 ：6 ( r ( ) ，靠) ) 取o 亳囂，則有觀( ，) 1 ( i i ) j 0 ，由方程( 2 1 ) ，可得 一華：a ( k - d e 掣+ 仙e m ( 2 1 3 ) 因?yàn)橐?guī)o n = o o ，所以當(dāng)n 充分大時(shí)，有6 ( r ( ) ，靠) r l 的z ，都有 i 揣i i z l 七，k 歹 i 0 ， ( 2 1 6 ) j 。知， 令1 = + t 島，e 2 = 口 0 ，2 7 r ) ：6 ( 易，0 ) = 喲c o s ( n o ) 一島s i n ( 扎p ) ，歹= 0 ，1 ，一l u 口【0 ，2 丌) ：( b 一只，0 ) = 0 ，0 ( i ) 歹( k 一1 ) ，易知易是一個(gè) 含有有限個(gè)0 的集合，對(duì)于每個(gè)整函數(shù)a f = f e p # ，由引理3 知，存在一個(gè)相應(yīng)的線測(cè)度 為零的集合毋c 【0 ，2 7 r ) ，使得當(dāng)z = r e 陽，0 【0 ，2 7 r ) 島且r 充分大時(shí)， 滿足引理3 ， 令b = u 馬，易知易是一個(gè)線測(cè)度為零的集合，對(duì)任意的0 【0 ，2 7 r ) 研ue 2ue 3 ， 我們有6 ( 弓，0 ) 0 ，6 ( 只，0 ) 6 ( b ，p ) 由于，1 為互不相同的復(fù)數(shù)，那么對(duì)任意給定的0 【0 ，2 7 r ) 歷u 易u(yù) 易，有且僅 有一個(gè)a 8 1 滿足6 ( 弓，0 ) = m a x 6 ( 弓，0 ) ：歹= 0 ，1 ，k 一1 ) ，令6 = 6 ( 只，掃) ，6 l = m a x g ( b ，0 ) ：j s ) ，那么民 o 和6 0 ，由引理3 ，對(duì)任意給定的1 ( o 3 1 學(xué)) 以及充分大的r ，我們有 1 4 。r e 胡) l e ( 1 - 1 ) 打”， h ( r e 硼) i e ( 1 扣1 ) 以r ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 現(xiàn)在我們證明i ，( 。) p e 徊) l 刪a r g z = 口上是有界的，如果l ，( 8 ( 7 e 徊) l 刪a r g z = p 上是無界的，那么由引理7 ，存在一無窮點(diǎn)列磊= r n e ( 禮= 1 ，2 ，) 滿足- o o ，i ，( 8 ( ) i o 。和 i 粼i i 擴(kuò)i m + 0 ( 1 ) ) ，。- - - - 0 , 1 , - , s - 1 )( 2 1 9 ) 把( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 代入方程( 2 2 ) ，得 e ( 1 咱渺n i 似訓(xùn)i 錙i + m i “訓(xùn)l 錙i + i a s - 1 ( 酬i 錙i + + i 似酬i 器| k e ( 1 + e 1 ) 6 1 嘿l 磊l m ，( 2 2 0 ) 其中m 是常數(shù)，每次出現(xiàn)不必相同，由( 2 2 0 ) 知 e ；( 6 一占1 ) 嘿m ，( 2 2 1 ) 這是矛盾的，因此i ，( 5 ) ( r e 胡) i ，在射線q 7 9 z = p 上成立由此易得 i f ( r e i e ) l m r 七 ( 2 2 2 ) 1 0 在躺 a a r g z = p 上成立 ( i i ) 5 0 e h 方程( 2 2 ) 有 - 1 - 缸t 而f ( k - 1 ) ( z ) + 州z ) 篇+ 州以) 器( 2 2 3 ) 現(xiàn)在我們證明i ，( 。) ( r e 硼) l ：徽a r g z = 口上是有界的，如果i ，( 七) ( ， e 徊) i 在射線a r g z = p 上是無界的，那么由引理7 ，存在一無窮點(diǎn)列鈿= r n e 徊n ( 幾= l ，2 ，) 滿足r n _ o o ，j ，( 七( 鋤) i o 。和 i 粼l i z i 州( 1 + d ( 1 ) ) ，u = o , 1 , - - , k - 1 ) ( 2 2 4 ) 由引理3 ，對(duì)任意給定的2 ( o e 2 2 ) 使得6 ( z ，o o ) = 6 ( o l z ，o o ) 耳孵 巧( z ，p o ) 從而當(dāng)扎充分大 時(shí)，有 j 7 一o 6 ( 口。z ，以) 田野 6 ( z ，如) ( 2 2 8 ) j 手3 或者 6a v z , 以) = 6 a l z ，靠) m j 烈a x 。 $ ( a j z ，如) ) ( 2 2 9 ) 不失一般性，可設(shè)( 2 2 9 ) 成立，并設(shè) z ，將( 2 2 7 ) 代入方程( 2 3 ) 有 ( 掣) 七( 1 + 。( 1 ) ) + 風(fēng)一l ( 掣) ( 1 + 。( 1 ) ) + + u o ( 1 + 。( 1 ) ) ：o ， 其中馬= 如e 口j ：，則 礬( 掣h 1 + 甍( 掣) l - m + d ( 1 ) ) 】( 1 圳) = 一( 掣九1 + d ( 1 ) ) 一j v , l 馬( 掣九1 + d ( 1 ) ) ， 所以 ，、 i 凰i ( 掣) 田( 7 ，n ) c 擴(kuò)( r n ) 嚴(yán)e x p b r ， ( 2 3 0 ) 其中c 為常數(shù)( 以下出現(xiàn)可以不同) ，b = 艘i 巧( z ，靠) ) ，常數(shù)q m a x 如) ，( ) = j 于l ，v 一。, d e g 1 1 一i 魯i ( 掣) 卜口( 1 + d ( 1 ) ) i 一 若有熱( ) = o ，則存在 ) 的子列，仍記為 7 n ，使得撬( h ) = o ，則可 得 i 甍i _ ( 掣廣”+ 0 ( 1 ) ) 由于6 ( n l z ，t 9 ) = 6 ( o z ，靠) ，所以從上式得 i 糕l - ( 掣r 訊十d ( 1 ) ) 注意a ，a 為多項(xiàng)式，于是得 ( ) = o ( r 磐) ， 其中m 為常數(shù)，由引理1 0 知得到矛盾 老：百= l i m 溺a ( r n ) 0 ，則存在常數(shù)m 0 0 ，使得當(dāng)佗充分大時(shí)有( r n ) m o ，于是 由( 2 3 0 ) ，注意i 志i = o ( 1 ) 二f f m oe x p 5 ( a z ，靠) r ) c ( ( ) ) 扣p r 口e x p b r ， 即 e x p 【( 6 ( o v z ，如) 一b ) r ) c ( 1 ，( 7 n ) ) 七一甜，q 由此推得 一l i ml o g ，l o gv ( r ) 芝1 從- f f u o 2 ( f ) 1 ，再南引理2 知c r 2 ( 廠) 1 ，故o 2 ( f ) ：1 1 2 2 3 4定理2 1 4 的證明 由定理2 1 d ，知方程( 2 3 ) 的任一超越解是無窮級(jí)的，且f h 引理5 知，c r 2 ( ，) 1 i 掃w i m a n - v a l i r o n 定理知，存在ecr + ，m t ( e ) m a g x 8 ( a j z ，阮) ) 要么存在u ，l o ，1 ，k 1 ) ( 1 ) 使得巧( 。t ，z ，0 0 ) = 6 ( 口l z ，o o ) m 例a ，x 8 ( a i z ，) ) 從而當(dāng)佗充分大 時(shí)，有 6 ( o 。z ，以) 珥邸 6 ( z ，) ( 2 3 2 ) j 8 或者 6 ( 口廿z ，8 n ) = 8 ( a t z ，以) 罌臀 j ( z ，6 1 1 ) ) ( 2 3 3 ) ，1 口 不失一般性，可設(shè)( 2 3 3 ) 成立，并設(shè) l ，將( 2 3 1 ) 代入方程( 2 3 ) 有 ( v 譬- - a ) 七( 1 + 。( 1 ) ) + 風(fēng)一l ( 竺婆塵) 七一1 ( 1 + 。( 1 ) ) + + h o ( 1 + 。( 1 ) ) ：o ， 其中塢= a e q 。，則 風(fēng)( 掣h l + 甕( 掣廣+ 0 ( 1 ) ) 】( 1 + d ( 1 ) ) ：一( _ v ( r n ) ) 七( 1 + 。( 1 ) ) 一塢( 掣) j ( 1 + 。( 1 ) ) ” j 廿，l 一“ 所以 ，、 i 礬i ( 掣) v ( 7 n ) c 擴(kuò)( r n ) 產(chǎn)e x p b r ) ， ( 2 3 4 ) 其中c 為常數(shù)( 以下出現(xiàn)可以不同) ，b2 掣焉 6 ( z ，靠) ) ，常數(shù)q m j 雙a x d e g 如) ，( ) = 1 1 一i 甓i ( 掣) 卜 ( 1 + d ( 1 ) ) i 若有熱( r n ) = 0 ，則存在 r n 的子列，仍記為 ) ，使得0 驄( h ) = o ，則可 i 瓦h(yuǎn) ih 掣廣l ( 1 + d ( 1 ) ) f h t - 6 ( a l z ，靠) = 6 ( n 。z ，以) ，所以從上式得 i 糕l - ( 掣廣l ( 1 + d ( 1 ) ) 1 3 因?yàn)閍 ，a 為整函數(shù)，且口( 如) 0 ，使得當(dāng)n 充分大時(shí)有( ) m o ，于是 由( 2 3 4 ) ，注意l 瓦b i = d ( 1 ) 有 m oe x p 6 ( a z ，以) 7 - c ( z ，( ) ) 扣v 戶e x p b r ， 即 由此推得 e x p ( 艿( 口口z ，如) 一b ) r ) c ( ( r n ) ) 七一 r 。 l i ml o g 1 0 9u ( r n ) l ， n _ o 。l o g7 n 從而眈( ，) 1 ，再由引理2 知o 2 ( f ) 1 ，故o 2 ( f ) = 1 1 4 第三章整函數(shù)的型 3 1整函數(shù)的型的定義 級(jí)的概念是為了估計(jì)整函數(shù)的最大