摘要 本文利用同分布n a 樣本，對(duì)連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)b a y e s 估計(jì)和檢 驗(yàn)問(wèn)題做了討論第一章引言部分，對(duì)本文的研究背景做了介紹，第二章在乎方損 失下，導(dǎo)出了參數(shù)的b a y e s 估計(jì)，用非參數(shù)方法對(duì)同分布n a 樣本構(gòu)造了參數(shù)的經(jīng) 驗(yàn)b a y e s ( e b ) 估計(jì)，研究了其漸近最優(yōu)性和收斂速度問(wèn)題，并給出一個(gè)例子第三 章討論了單參數(shù)指數(shù)族中參數(shù)的單邊和雙邊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，利用同分布n a 樣本構(gòu) 造了e b 檢驗(yàn)函數(shù)，并在適當(dāng)條件下證明了所構(gòu)造的e b 檢驗(yàn)函數(shù)的漸近最優(yōu)性， 并獲得了其收斂速度。最后，還給出了一個(gè)滿足定理?xiàng)l件的例子 關(guān)鍵詞：?jiǎn)螀?shù)指數(shù)族；經(jīng)驗(yàn)b a y e s 估計(jì)；經(jīng)驗(yàn)b a y e s 檢驗(yàn)；n a 樣本 漸近最優(yōu)性；收斂速度 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ee m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o na n dt e s t p r o b l e m sf o rt h ec o n t i n u o u s o n e p a r a m e t e re x p o n e n t i a lf a m i l yh a v eb e e nd i s c u s s e d t h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h e i s s u e si si n t r o d u c e di nt h ef i r s tc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg e tb a y e se s t i m a t i o no f p a r a m e t e ru n d e rs q u a r el o s sf u n c t i o n ，t h ee m p i r i c a lb a y e s ( e b ) e s t i m a t i o no fp a r a m e t e r i sc o n s t r u c t e db yu s i n gt h ei d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da n dn e g a t i v e l ya s s o e i a t e d ( n a ) s a m p l e s i nt e r m so fn o n p a r a m e t r i cm e t h o d s t h ea s y m p t o t i co p t i m a lp r o p e r t ya n dc o n v e r g e n c e r a t e sf o rt h ep r o p o s e de be s t i m a t i o na r eo b t a i n e d f i n a l l y , a ne x a m p l ec o n c e r n i n gc o t r e s p o n d i n gr e s u l t s i s g i v e na tt h ee n d o ft h es e c o n dc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w e d i s c u s so n e s i d e da n dt w o s i d e dt e s tp r o b l e m sf o rt h ep a r a m e t e rr e s p e c t i v e l yt h ee m - p i r i c a lb a y e s ( e b ) t e s tr u l e s o fp a r a m e t e ri sa l s oc o n s t r u c t e db y u s i n gt h ei d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e da n dn e g a t i v e l ya z s o c i a t e d ( n a ) s a m p l e s ，a n dt h ea s y m p t o t i co p t i m a lp r o p e r t y a n dc o n v e r g e n c er a t e sf o rt h ep r o p o s e de bt e s t sa r eo b t a i n e d w ea l s og i v ea ne x a m p l e c o n c e r n i n gm a i nr e s u l t sa tt h ee n do ft h el a s tc h a p t e r k e yw o r d s ：c o n t i n u o u so n e p a r a m e t e re x p o n e n t i a lf a m i l y ；n as a m p l e s e m p i r i c a l ) a y e se s t i m a t i o n ；e m p i r i c mr a y e st e s t a s y m p t o t i co p t i m a l i t y ；c o n v e r g e n c er a t e s 2 第一章引言 連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族是一類(lèi)范圍廣泛的分布族，許多常見(jiàn)的分布如：指數(shù)分布， 正態(tài)分布，g a m m a 分布等都屬于這一分布族 經(jīng)驗(yàn)貝葉斯( e b ) 方法最初是由r o b b i n s 1 1 ，f 瑚首先提出來(lái)的自r o b b i n s 提出 e b 方法以來(lái)，e b 估計(jì)和檢驗(yàn)問(wèn)題在文獻(xiàn)中已研究的相當(dāng)多了，尤其是對(duì)指數(shù)分 布族。如l i n 吼s i n g h 4 】討論了連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族e(cuò) b 估計(jì)問(wèn)題。陳希孺1 5 ) 研究 了一維離散型單參數(shù)指數(shù)族e(cuò) b 估計(jì)的漸近最優(yōu)性，趙林城【6 】討論了一類(lèi)離散分布 參數(shù)的e b 估計(jì)的收斂速度問(wèn)題；s i n g h a n dw e i 7 1 討論了刻度指數(shù)族的e b 估計(jì)問(wèn) 題。韋來(lái)生吼【9 】研究了連續(xù)型多參數(shù)指數(shù)族的e b 估計(jì)問(wèn)題；y a n g a n dw e i 【1 0 】，【1 1 1 討論了離散型多參數(shù)指數(shù)族的e b 估計(jì)問(wèn)題z h a n g ( 1 2 j ，【1 3 】討論了連續(xù)型單參數(shù)指 數(shù)族中變量帶誤差( e v ) 情形時(shí)的e b 估計(jì)問(wèn)題 e b 檢驗(yàn)方法最早是由j o h n s ，v a nr y z i n 1 4 】，【1 5 】分別對(duì)離散型和連續(xù)型單參數(shù)指 數(shù)族獨(dú)立同分布( i i d ) 樣本情形的單邊檢驗(yàn)提出來(lái)的。v a nh o w e l i n g e n 1 6 】，l i a n g 【l f 】， k a r u n a m u n la n dy a n g 【l 8 】研究了上述分布族中單調(diào)的e b 檢驗(yàn)問(wèn)題韋來(lái)生【l 蹦2 0 1 研究了離散型和連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族雙邊的e b 檢驗(yàn)問(wèn)題。胡太忠、潘國(guó)華【l 】在樣 本為i i d 情形時(shí)，討論了刻度指數(shù)族在線性損失下單邊的e b 檢驗(yàn)問(wèn)題s i n g ha n d w e i 2 2 討論了刻度指數(shù)族參數(shù)的雙邊的e b 檢驗(yàn)問(wèn)題。k a v u n a m u n i a n dz h a n g 2 3 1 討論了同一分布族的e v 情形下的e b 檢驗(yàn)問(wèn)題 現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于e b 估計(jì)和e b 檢驗(yàn)的結(jié)果幾乎都是針對(duì)i i d 樣本而考慮的。 然而，在可靠性理論，滲透理論和某些多元統(tǒng)計(jì)分析問(wèn)題中，隨機(jī)樣本常常不是i i d 的，而是具有一定的相關(guān)性，如負(fù)相協(xié)( n a ) 和正相協(xié)( p a ) 樣本就是常見(jiàn)的兩種。 關(guān)于n a 序列極限理論的研究見(jiàn)m a t u l a 2 4 1 ，蘇淳等 2 5 】，f 26 1 韋來(lái)生f 27 】，f 2 8 j 研究了 n a 樣本概率密度函數(shù)核估計(jì)的相合性和n a 樣本情形刻度指數(shù)族參數(shù)的e b 檢驗(yàn) 問(wèn)題。本文將在同分布n a 樣本情形下，討論連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的e b 估計(jì) 和檢驗(yàn)問(wèn)題 n a 隨機(jī)變量序列的定義是由j o a g - d e v 和p r o s c h a n 剛】最先提出來(lái)的。 定義1 1r v x 1 ，弛，j 0 稱(chēng)為n a 的，如果對(duì)于集合 1 ，2 ，n ) 的任何 兩個(gè)不交的非空子集a l 與如，都有 c o v ( a ( x i ，i a 1 ) ，2 ( 瑪，j a 2 ) ) 0 ( 1 1 ) 3 其中 ，2 是任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙? 或同時(shí)對(duì)每個(gè)變?cè)?升) 的函數(shù)。稱(chēng)r v 列 瑪，j n ) 是n a 的，如果對(duì)任何自然數(shù)n 2 ，x 1 ，x 2 ，一， 都是n a 的。 本文第二章將討論連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)e b 估計(jì)的構(gòu)造方法，并研究其漸 近最優(yōu)( a o ) 性和收斂速度問(wèn)題。第三章將討論連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的單邊和 雙邊e b 檢驗(yàn)的構(gòu)造，并研究其a 0 性和收斂速度問(wèn)題。同時(shí)在第二、三章末各給 出一個(gè)例子，說(shuō)明適合定理?xiàng)l件的先驗(yàn)分布是存在的 4 2 1引言 第二章參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)b a y e s 估計(jì)問(wèn)題 考慮如下的連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族：設(shè)給定0 時(shí)隨機(jī)變量x 的條件密度匾數(shù)為 f ( x l o ) = c ( 日) “( z ) e l 啦( 日z ) ，( 2 1 ) 此處爿= ( o ，6 ) ，0 0 o 0 ，0 = p ：c ( 印- 1 = 厶u ( z ) e x p ( o x ) d x 2 為正整數(shù) 對(duì)n a 序列的協(xié)方差做如下的假定： ( b ) i c o v ( x 1 ，瑪) | c l 為任意確定的自然數(shù)， 心( z ) “= 0 ，1 ，2 ) 是b o r e l 可測(cè)的有界函數(shù)，在( o ，1 ) 區(qū)間之外為零，且滿足下述條 件( c ) ： ( c 1 ) 對(duì)i = 0 ，1 ，2 有 。 ；p 腳肛r 墓，b _ 乩 ( c 2 ) 托( z ) 在r 1 上是可微分的，且5 u p l ( z ) i c l 則可定義目的e b 估計(jì)為： 瓦翻叫壚 觜l 刊z ， 塒 記e 表示對(duì)( x l ，矗，( x ，8 ) ) 的聯(lián)合分布求均值，b 表示對(duì)( x ，x 。) 之聯(lián)合分布求均值。那么，瓦( 。1 的全面b a y 。風(fēng)險(xiǎn)為 r 。= r 。( 瓦扛) ，g ) = 日( 瓦( z ) 一p ) 2 按定義，若。l i r a + 。r n = r g ，這時(shí)稱(chēng)磊為漸近最優(yōu)( a o ) 的e b 估計(jì)。 的，若有r 。一r a = o ( 釓一9 ) ，q 0 ，則稱(chēng)瓦的e b 估計(jì)的收斂速度為q 。 f 2 1 6 ) 進(jìn)一步 本章中c ，c l ，c 2 ，表示常數(shù)，它們?cè)诓煌牡胤娇梢匀〔煌闹?，即使是在?一個(gè)表達(dá)式里也是如此。 7 2 4主要引理 為了證明參數(shù)8 的e b 估計(jì)的漸近最優(yōu)性，進(jìn)而得到它的收斂速度，我舸需要 以下一些引理。 引理2 1 令x 和y 是n a 變量，皆有有限方差，則對(duì)任何兩個(gè)可微函數(shù)9 1 和 9 2 ，有 l c o y ( 9 1 ( x ) ，9 2 ( 1 ，) ) lss u p l 9 i 0 ) is u p l 9 ；白) i 一c o v ( x ，y ) 1 ( 21 7 ) ， 證明：見(jiàn)p a n ( 3 1 】弓f 理1 的證明 引理2 2 設(shè)省( z ) 由( 2 1 2 ) 式定義，i = 0 ，1 ，2 ，s 1 ，s 2 為正整數(shù)， 噩，x 2 ，一為同分布弱平穩(wěn)n a 樣本序列，假定條件( b ) 、( c ) 成立， ( 1 ) 當(dāng)連續(xù)，且當(dāng)k _ 0 ，n 碟+ 2 - 。斗) 時(shí)，對(duì)v 。z 和 0 r 2 ， 恕晶 硝( z ) 一產(chǎn)( 。) r = o ( 2 ) 若，( i ( z ) 滿足l i p s c h i t z 條件，0 r 2 ，則當(dāng)取h n = n 一，0 p 采b 時(shí)，有 易j 硝( 。) 一( 。) l 墨c k ， ( 3 ) 若條件( a ) 成立，當(dāng)取h 。= n 一南，對(duì)0 as1 ， e 。i 硝( 。) 一，( 。( 。) 1 2 1 m 一幫 證明：( 1 ) 由c r 不等式可知，對(duì)i = 0 ，1 ，2 晶i 踏( z ) 一產(chǎn)( z ) 曼c(diǎn) f 玩矗( z ) 壘c 。兄+ c 2 蝮 由( 21 2 ) 式可知 螂訓(xùn)= 晶 麗i 蚤n 匱c 等) = 驢1z 1k ( ) ，( 們匆= 去z 1 匱( u ) ，扛+ u ) d u ( 2 舯) 8 8 0 茁 有 互 曼 y r 2 c 0 + 1 ) 一 扛 s q ， 椅一z + n “) 在z 處作t a y l o r 展開(kāi)到第i + l 項(xiàng)，有 弛滬施) 十掣鋤卜+ 盟掣妒 其中0 矗 1 由假定( e 1 ) 可知， l 晶庸k ) k ) f = l 去z 1 墨( u ) ，扛+ n u ) 砒一產(chǎn)k ) f = ；上1 訓(xùn)( “) i ( z 鵠啪) 氣。) 卜 如果( 。) 連續(xù)，則 。si 上1 u 2 f 甄f 溉 ，( i 沁十矗 ?！癹 一產(chǎn)7 ( z ) f 孔：。 故有 撬玨= 熱i 風(fēng)硝( z ) 產(chǎn)( z ) 1 7 = 0 其珩 ( 2 2 i ) ( 2 ，2 2 ) 慚 赤耋尬c 等， _ 去p ( 等) j + 赤蕊( k c 等c 等，) 噬+ 拶 r 2 2 3 掣s 去z 1 霹( 刈( 。+ m ) 機(jī) c ( n 一1 ( 2 2 4 ) 記慨t ( z ，p ) = 甄( 孚) ，由條件f c 2 ) 及引理2 1 ，有 卜( kc 等c 等，) f 去( s u pi 苗啪“z ，訓(xùn)) 2 一g w ( 蜀，五) 番i g ( 瑪，托m 故由條件( b ) 和 x 。，n 1 ) 的弱平穩(wěn)性可知 拶赤善篆蠢fg w c 瑪，五，f 轟舞委f 。c 禮盈 g 將( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 代入( 2 2 3 j 得， 咳= 哳( ) ；= ( 掣+ 刪5 c ( n h 一； ( 2 2 6 ) 因此，當(dāng)h 。- 0 ，n h l 妒2 2 _ 0 0 ( n - + 0 0 ) 時(shí)有 一l i m 。i i 7 = 熙卜r ( ( 圳 5 = 撬( 掣+ 刎5 - o ( 2 - 2 7 ) 故由( 21 8 ) ，( 2 2 2 ) 及( 2 2 7 ) 知， 。l 。i r a 。b 憎( z ) 一產(chǎn)1 = 0 引理結(jié)論( 1 ) 證畢 ( 2 ) 如果，( i ) ( 。) 滿足l i p s c h i t z 條件，由( 2 2 0 ) 可知 晶臂) ( z ) ) ( 刮= ；f o i t t i i 硒( 蚓 c a m l 矗 n 1 c 4 h 。 因此， 玨= i b 硝( z ) 一，( ( 。) l c 。r ( 22 8 ) 當(dāng)取h n = n ，0 p 貿(mào)j b 時(shí)，將( 2 2 6 ) ，( 2 2 8 ) 代入( 2 1 8 ) 知 e 。i 硝( 茁) 一，( 0 ) 1 7 墨c l 二+ c 2 ( 禮 i + 2 。) 一i c h ： 引理結(jié)論( 2 ) 得證 ( 3 ) 由g 不等式可知對(duì)i = 0 ，1 ，2 ，s l ，有 玩i 踏( z ) 一( z ) l 。曼2 島臂( z ) 一，( f ( z ) i n + 2i v n r ( 硝( z ) ) 1 壘2 ( 詹+ j ：i ：f ) 將，04 - h ) 在z 處作t a y l o r 展開(kāi)到第5 + 1 項(xiàng)，有 他) + ，1 ) 扛) h n u - b 掣“) 2 + 十黜妒。1 + 掣妒 1 0 ( 2 2 9 ) 這里0 f 1 由( 2 1 9 ) 和假定( a ) 及( c 1 ) ，我們有 j 玩搿沁，一產(chǎn)沁，i5 n z 1p 學(xué)f u l 甄c u ，f 孔s c n 乒。 因此，當(dāng)取h 。= n - - 南時(shí)有 。囂= 忙矗；( z ) 一，( z ( z ) f 2 sc h i a ( s i c n 一型* 2 - t - z 丑 由于如。= 如，故由( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 可知，當(dāng)h 。= n - - 南時(shí)有 也：sc l ( n 凡2 。) 一1 + c 2 2 。) 一1 c n 一2 a + = 三2 故有 最曠觜 將( 2 3 0 ) ，( 2 3 2 ) 代入( 2 2 9 ) 可得引理結(jié)論( 3 ) ，引理證畢 引理2 3 若r g o 。，則對(duì)任何e b 估計(jì)瓦的風(fēng)險(xiǎn)r 。有 r 一兄g = e + ( 瓦一醅( 。) ) 2 證明：見(jiàn)s i n g h 4 】引理2 1 引理2 4 如果對(duì)t l ，e l o i 0 0 ，則 ( 1 ) 對(duì)由( 2 1 0 ) 式定義的酩( z ) 有 ( 2 ) 對(duì)由( 21 0 ) 式給出的c e ( x ) ，若b ( ”0 ) ) 。 o o ，則 e i c b ( z ) i 0 0 證明：由j e n s e n 不等式知，對(duì)下凸函數(shù)廠，f ( e x ) e f ( x ) ，因此 b i o e ( z ) l = e 曼l i 二 曼e l 瓦( 。) 1 ，( z ) 出= i 臣引。) ( p ) l 。f ( x ) d x j o o r + o 。r + 0 0 ( e ( o i 。) l o l t ) f ( x ) d x = | | 1 0 1 t f ( w i o ) d g ( o ) d x ( 2 3 0 ) ( 2 ，3 1 ) ( 23 2 ) o l 。d g ( o ) = e l o l o o ，( 2 3 3 ) 根據(jù)( 2 1 0 ) 式，有如( z ) = 島( 。) + ”( z ) 成立，再利用g 不等式 e ；j 曲8 ( z ) j 。s2 一1 【e + j 舀j ( z ) 1 。+ e 。i ( z ) j 0 ，對(duì)0 r 2 有 e l 等一等 。1 7 墨。l ”i 一7 e l y - y l r + ( f 苦i + 工) e i y 一。1 7 ) ， 證明：見(jiàn)趙林城【6 引理3 2 5e b 估計(jì)的漸近最優(yōu)性和收斂速度 我們先討論由( 2 1 4 ) 式定義的0 的e b 估計(jì)瓦( z ) 的漸近最優(yōu)性 定理2 1 設(shè)- r g 、r 。分別由( 2 1 1 ) 和( 2 1 6 ) 式定義，酲( z ) 由( 2 1 4 ) 式定義，其 中h 。= n ，0 ”莖；，x 1 ，x 2 ，為同分布弱平穩(wěn)n a 樣本序列若假定( b ) ，( c ) 成立，且 ( 2 ) ，等阡d o ( o ) 。，e + ( u ( z ) ) 2 0 0 ， ( i i ) ，( 1 ) ( z ) 滿足l i p s c h i t z 條件， 則當(dāng)k = o ( “) 時(shí)，如為0 的漸近最優(yōu)e b 估計(jì)，即 恕凰。r g 證明：由引理2 4 ，r g = e ( x ，a ) ( b 一日) 2 莖2 ( b ( 島) + b ( 口2 ) ) 。，故引理2 3 的條件成立，于是有 r 。一r g = e + l 瓦( x ) 一如( x ) 1 2 = e + i 磊( x ) 一曲b ( x ) 1 2 ( 2 3 5 ) 由控制收斂定理，只要證明以下兩條 ( 。) 晶( 磊( z ) 一咖b ( 。) ) 2 i ( x ，日) 對(duì)充分大n 成立，且置x ，日) m ( x ，口) o o ( 6 ) 撬取( 五( z ) 一加( z ) ) 2 = 0 對(duì)固定的耳0 成立 則有l(wèi) i m 硫= r a 】2 先證明( n ) 。由( 2 1 3 ) 知，五( z ) 三如，因此 蠊歸晶 觜一觜 2 = 蜀f 學(xué)一幫鳴拶 sz 籪2 晶c ， 1 沁，一產(chǎn)沁爐+ z 旌c z ，取p 號(hào)轟筍 2 壘 + 屯 ( 2 3 6 ) 由弓f 理2 2 ( 2 ) ，當(dāng)h n = n 一”，0 1 時(shí)，有 j l 2 c 2 i c o 再考慮如，由于 風(fēng)( ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) = 玩( 毪筍) 2 一m 腳。， 12 ，c ，c 。， 2 時(shí)，由( 2a g ) - ( 2 4 1 ) 式可知 易 掣斧卜- 他s s 隴a z ， 又從( 2 ，3 6 ) ，( 2 ，a 8 ) ，( 2 4 2 ) 可知，jn = m a x ( n i ，2 j ，當(dāng)n n ，0 p 5 時(shí)，有 r ( 蠢( 。) 一( 。) ) 2 c o + 1 0 癌 再根據(jù)引理2 4 ， e ( x ，目) ( c o + 1 0 毋芻( x ) ) c o + i o e ( x ，口) ( x ) o 。， 這即證明了( n ) 從( 2 3 6 ) 一( 24 1 j 式可以看出，對(duì)任意固定的。，0 0 s 0 窯譬反( 瓦( z j c b ( z ) ) 2 0 9 警f + 2 如( z ) ( 如，+ 如2 ) 熙h ：+ c 2 如( z ) ( 鏟碡+ p ( m ) l 為任意確定的自然數(shù)，； r l ，x i ，x 2 ，為同分布弱平穩(wěn)n a 樣本序 列。若假定( a ) ，( b ) ，( c ) 成立，且 ( z )，茗l o l ”。d g ( o ) 。o ，b l u ( z ) p 。 ( i i ) b ( ，( 。) ) ” ， 貝0 當(dāng) 。= n 一南時(shí)，有 r 。一r g ；o f 。一止薔等產(chǎn)1 1 4 證明：由引理2 4 ，r g = e ( 即) ( 酩一日) 2 2 ( 風(fēng)( 酩) + b ( 日2 ) ) o 。，故引理 2 3 的條件成立，因此知， 一r g ：e + l 瓦( x ) 一如伍) 1 2 ：鼠1 磊( x ) 一如( x ) 1 2 ( 2 4 3 ) 令a 。= z r 1 ：【廬且( 。) f o ，6 o ，日 o( 2 4 7 ) 這里盧和6 為已知參數(shù)，因此 m ) = m 卵胭= 蔫，巾) = 鬻= i c 2 4 8 ) 這里，c l = 。r t m + 6 ) r + ( 1 b 渺+ l “) ，。2 = m l _ 1 ) 矧卵= 也揣( 一目) 啪e 8 8 = 鬻器( 鴨 z 1 當(dāng)m i + 2 r s 時(shí) ；i 畚茹d x c 2 + c 3e 南婦 l 3 ) 當(dāng)( m 1 ) ( 1 一r ) 0 ，即； rs l 且m l 肘， e c ，陋，r = c 。z 0 。( 石齋) 卜7 如 1 ， 伊舀而如 o ，放當(dāng)m 21 ，； r 等時(shí)，有及( ，( z ) ) 。 0 0 此時(shí)，定理2 1 和定理2 2 條件均成立故 有下述結(jié)論： 定理2 3 對(duì)g a m m a 分布族( 2 4 6 ) ，先驗(yàn)分布由( 2 4 7 ) 給出，當(dāng)m 3 ，0 r 2 時(shí)，定理2 i 結(jié)論成立；如果； 鞏t ( ，)珥：0 l 0 如hh i ：0 0 2 ( 3 1 ) 這里0 0 ，0 。和0 2 為已知常數(shù)。這里用到的所有表達(dá)式如末指明，均與第二章相同 我們首先考慮檢驗(yàn)問(wèn)題( i j ，檢驗(yàn)問(wèn)蹈( i i ) 將在本章第三節(jié)討論對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn) 題( i ) ，取損失函數(shù)為： l 。c e ，a 。，= ：9 一。若若8 0 0 0 ，工tc a ，a ，= ：。如一。，喜：圣2 ，c 。z ， 此處。為給定的常數(shù)，d = ( d o ，d 】) 是行動(dòng)空間，d o 表示接受h o ，d 1 表示否定凰 設(shè) 6 扛) = 尸( 接受三七j x = z ) ( 3 , 3 ) 為隨機(jī)化判決函數(shù)，則在先驗(yàn)分布g ( 日) 下，6 ( z ) 的b a y e s 風(fēng)險(xiǎn)為 r ( 6 ( 乩g ( = 厶五卜羽淌) d ( 叫+ l ，( 目，d 1 ) ( 1 6 ( 圳 ，( z 如船( 口) = o f6 ( z ) a ( ) d z + c a ， ( 3 4 ) 其中 由( 2 5 ) 可知 五圳口，d 1 ) _ ，( 卵) 如d g = 上州p ，d 1 ) d g ( 既 ( 35 ) 雌) = 上( 口噸) m d g ( 目) = 厶州鄧) d g ( 町( 。) = f c l ) 0 ) 一0 ( 。) + 8 0 ) ，( z ) ( 36 ) 1 7 故由( 3 4 ) 式可知，b a y e s 判決函數(shù)為 獅，2 。1粥囂 c s ， 其b a y e s 風(fēng)險(xiǎn)為 r ( g ) = 1 薩r ) = r ( 6 g ，g ) = n 上a ( 茁) 6 g ( z ) 如+ ( 3 8 ) 在( 3 8 ) 中，當(dāng)先驗(yàn)分布c ( o ) 是已知且6 ( z ) 等于6 g ( z ) 時(shí)，n ( c ) 是完全可以 達(dá)到的。但由于此處先驗(yàn)分布a ( o ) 是未知的，因此如( z ) 也是未知的，因而如( z j 不可用這就導(dǎo)致引入e b 方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題 本章第二節(jié)研究了檢驗(yàn)問(wèn)題i 的e b 檢驗(yàn)的漸近最優(yōu)性和收斂速度，第三節(jié)對(duì) 雙邊的e b 檢驗(yàn)問(wèn)題i i 討論了同樣的問(wèn)題在第四節(jié)我們給出一個(gè)滿足定理?xiàng)l件的 例子。 3 2 單邊e b 檢驗(yàn)函數(shù)的構(gòu)造 本節(jié)利用第二章已得到的n a 樣本概率密度函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的核估計(jì)，i 1 1 ( z ) ，n ( z ) 來(lái)構(gòu)造e b 檢驗(yàn)函數(shù)。 定義。( z ) 的估計(jì)量如下； a 。( z ) = ，( ) 一( u ( z ) 十舶) k ( z )( 39 ) 因此，e b 檢驗(yàn)函數(shù)定義為 蹦牡r刪；： 令e 。表示對(duì)r v x l ，x 2 ，一，x 。的聯(lián)合分布求均值，則靠( z ) 的全面b a y e s 風(fēng) 險(xiǎn)為 r 。= r 。( 矗，g ) = n d ( z ) e 。( “( z ) ) d z 十c b( 3 1 1 ) 按定義，若艦r n = r ( g ) ，則稱(chēng) “) 為漸近最優(yōu)( a n ) 的e b 檢驗(yàn)函數(shù)一若r n r ( a ) = 0 一9 ) ，口 0 ，則稱(chēng)e b 檢驗(yàn)函數(shù)限 的收斂速度的階為。咖一。) 。 1 8 3 3 單邊e b 檢驗(yàn)函數(shù)的漸近最優(yōu)性和收斂速度 為導(dǎo)出本章的主要結(jié)果，我們需要以下引理我們用c ，cz ，c 2 ，表示不依賴(lài)于 n 的正的常數(shù)，它們?cè)诓煌牡胤娇梢员硎静煌闹?，即使在同一表達(dá)式中也是如 此 引理3 1 令r ( g ) ，分別由( 3 8 ) 和( 3 1 1 ) 定義，則 0 r 。一r ( g ) o i o ( z ) 1p “o 。( 。) 一o ) l i a ( z ) i ) d x 證明：參見(jiàn)j o h n s 【1 5 】引理1 的證明 下面的兩個(gè)定理分別給出船檢驗(yàn)函數(shù) 如) 的a o 性和收斂速度。 定理3 1 設(shè)r ( g ) 和分別由( 3 8 ) 和( 3 1 1 ) 式給出，x l ，x 2 ，為同分布弱 平穩(wěn)n a 樣本序列。若假定( b ) ，( c ) 成立，且 ( i ) e 蚓 o 。， ( i i ) ，( 1 ) ( z ) 連續(xù)， 則當(dāng)l i r ah 。= 0 ，l i mn 礙= 。o 時(shí)，有 l i m 局。( 如，c ) = r ( g ) 證明：由引理3 1 可知 0s 冗。一r ( c ) s 。i o 扛) p ( f n 。( z ) 一。( z ) i o 扛) i ) 如 設(shè)風(fēng)= f n ( z ) p ( f o 。( z ) 一o ) f f 。( 。) f ) ，易見(jiàn)玩( z ) s 陋( z ) f 由( 3 6 ) 可知， 上姒列出sl 島 五，( 。) 出+ 工五劇，掃d e ( 口) 如 i 臼0 1 + e 蚓 o 。 由控制收斂定理 0 。l i m ( r 一n ( c ) ) s 。六! 溉& ( z ) ) 如 ( 3 1 1 2 ) 因此，為證定理只須證明l i r a 鞏( z ) = 0 對(duì)任意固定的z 爿a s 成立即可由 m a r k o v 不等式及( 3 6 ) ，( 3 9 ) 可知 b 。( z )= f o ( z ) lp ( f a 。( ) 一d ( ) f2l o ( z ) f ) 磊f 口n ( ) 一口( 士) f e 。l 矗1 ( z ) 一，( 1 0 ) i + i v ( x ) + o o le 。i 0 ) f ( x ) l ( 3 ，1 3 ) 1 9 由引理22 f 1 ) ，當(dāng)i = o ，r = l 時(shí)， 1 i mb l ( z ) 一，( 刮= 0 ( 3 1 4 ) 當(dāng)i = l ，r = 1 時(shí)， l i r ab j ， 1 ( z ) 一，( 1 ( z ) 1 = 0 ( 3 1 5 ) 因此將( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 代入( 3 1 3 ) 可知，對(duì)任意固定的。z ，熙b n ( z ) = 0 ；再由 ( 3 1 2 ) 可知，定理3 1 得證 定理3 2 設(shè)r ( c ) 和如分別由( 3 8 ) 及( 3 1 1 ) 式給出，x 1 ，恐， 平穩(wěn)n a 樣本序列。若假定( a ) ，( b ) ，( c ) 都成立，且對(duì)0 a 1 有 ( i ) 厶l d ( 圳1 - 1 如 。 ( i i ) & 0 _ ( z ) 1 1 - a j ”( z ) + 島i d x o o 則當(dāng)h n = n - - 南日寸 ?！?r 。一r ( c ) = 0 ( n i 莉) 證明：由引理3 1 和m a r k o v 不等式可知 尺。一r ( c ) 。i 。( 。) fp ( i a n ( x ) 一。( 。) f 陋( z ) f ) 如 j 爿 。 ( z ) 1 一 e 。j a 。( z ) 一d ( 。) j d z j 疋 c 1 l 口( z ) 1 1 1e 。1 ，1 1 ( 。) 一，( 1 ( 。) 1 1 d x j z + c 2 忸扣) 1 1 1 m 扛) 十0 0 1 1 k i ，n 扛) 一，扛) 1 1 d x jx 壘n + t o 由引理2 2 ( 3 ) ，當(dāng)i = i ，h 。= n 一南時(shí)，對(duì)o a 1 ，有 取( z ) 一，( 1 ( 。) 1 1s 。一嬲 為同分布弱 ( 3 1 6 ) 再由定理?xiàng)l件( i ) 可知， 乃郇一爵端 i 。( 。) p d x 蘭c n 一箐黯 ( 31 7 ) 乃c l 耳一i f 兩j ( z ) | 1 1蘭c n 一司麗 ( 31 7 ) j 爿 由引理2 , 2 ( 3 ) ，當(dāng)i = 0 ，h 。= n 一贏時(shí)，對(duì)0 瑚 ( 3 船7 關(guān)于檢驗(yàn)問(wèn)題( 32 0 ) ，取如下的損失函數(shù)； ( 口，d o ) = 上：( 9 ，d 1 ) = 若 若 若 若 這里的。為一個(gè)正常數(shù)此時(shí)設(shè)隨機(jī)化判決函數(shù)為 6 + ( z ) = p ( 接受塌j x = z ) ， 則在先驗(yàn)分布g ( 口) 下，類(lèi)似文獻(xiàn) 2 0 】可得擴(kuò)( z ) 的b a y e s 風(fēng)險(xiǎn)為 r ( j ( 。) ，g ( 日) ) = 。o r * ( z ) 擴(kuò)( x ) d x + c a j g g 由( 35 ) 給出。類(lèi)似a ( z ) 的求法，結(jié)合( 25 ) 和( 2 6 ) 可知： d + ( z 屯【( 9 一) l 碉m i o ) d g ( o ) 2 厶即( 鄧) 嘏( 目) 一2 釓正州卵) d g ( 日) + ( 略商上m d g ( 日) = ，2 ( z ) 一，1 ( 。) ( 2 ( ? ) 十2 0 0 ) + ，( z ) ( 2 v 2 ( z ) + 2 0 0 ( 。) 一 ( 2 ) + 籪 = - ，( 2 ) ( 。) 一 ( 。) ，( 1 ) ( 。) + 妒( 。) ，( 。) 這里， 出) = 等，) = 等，吣舊卅蛾 p ( z ) = 2 v 2 ( z ) 4 - 2 0 0 r ( z ) 一 ( ) + ( 鉛一p 3 ) 2 1 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) p ；) ( 32 4 ) ( 32 5 ) ( 3 2 6 ) l23 伽肋 邶腳 一 臥踟踟踟 一 一 一 一 p 8 p 療 確 蝴 2 一 p 搖 o 0 o o ，l，、【 由( 3 2 3 ) 易見(jiàn)，b a y e s 判決函數(shù)為 ，= ：鞫揣 其b a y e s 風(fēng)險(xiǎn)為 彤( g ) 2 簪r ( 擴(kuò)，g ) = r ( 略( 。) ，g ) 2 。上。+ ( 。) 略( 。) 出+ 于是( 。) 的估計(jì)定義為： a ：( z ) = ，乎( 。) 一叫( z ) ，( 。) + 妒( 。) 厶( z ) 其中籃( z ) ( i = o ，1 ，2 ) 由第二章給出因此，定義e b 判決函數(shù)如下t 馳，= 。1騮描 其全面b a y e s 風(fēng)險(xiǎn)為 磷= r 。( 醛( 。) ，g ) = 口0 4 ( z ) 晶( 酩( 2 ) ) 出+ 蝕 ( 3 3 1 ) 下面的定理給出 髭) 的a l o 性和收斂速度，其證明方法與定理3 i 和定理3 2 類(lèi)似 定理3 3 設(shè)r + ( g ) 和聰分別由( 3 ，2 s ) 、( 3 3 i ) 式給出，x l ，恐，為同分布 弱平穩(wěn)n a 樣本序列 ( 1 )若假定( b ) ，( c ) 成立，且，( 2 ) ( z ) 為連續(xù)函數(shù)， e ( 0 2 ) o 。，則當(dāng)h n _ 0 ，n ：_ 。m _ o 。) 時(shí)， 有縣惡r n ( 螃，g ) 2 r + ( g ) ( 2 ) 若假定( a ) ，( b ) ，( c ) 皆成立，且對(duì)0 l ，有下列條件成立： ( i ) 凡p ( z ) 1 。1 1 u ( z ) 1 帕d x 。o ， m = o ，1 ，2 ( i i ) 厶州z ) p 吣) 1 1 出 。 則當(dāng)h 。= n 一赤，s 3 為正整數(shù)時(shí)，磁一r + ( g ) = o ( n 一市兩) 證明：( 1 ) 的證明與定理3 1 類(lèi)似，不同之處是要證明當(dāng)e ( e 2 ) o 。時(shí)，有 厶 o + ( z ) 如 o 。具體證明如下： 厶l 。俐如= 上心鐘卅州口) d g ( 卟如 口2 d a ( o ) + 2 1 0 0 i l o l d a ( o ) + 1 0 5 一肛3 l o o 盯 鸛 妁 3 3 3 3 宙引理3 ，1 可知 o 磁一r ( g ) 。六m z ) 口一a ( 圳m ) 設(shè)點(diǎn)瓷( 。) = i a 4 ( z ) i | p ( j n ：( z ) 一礦( z ) l 三i ( 。) i ) ，易見(jiàn)磁( z ) 墨l 礦( 。) 1 故由控制收斂定 理 o s 。1 i m 。( r * 一r ( g ) ) c j z | i m b n * ( z ) 如 ( 3 3 2 ) 因此，為證定理只須證明。l 。i r a 。聯(lián)( ) = 0 對(duì)任意固定的z za s 成立即可由 m a r k o v 不等式及( 3 2 4 ) ，( 3 2 9 ) 可知 日嘉( z ) = i q ( 。) fp ( f a ：( 士) 一a 4 ( 。) f 三f o ( z ) f ) e 矗f 三( z ) 一q ( z ) ? 取i 胛( z ) 一，c 2 ( 圳+ i ”( 。) i 圾l 船( z ) 一，( 1 ( z ) l + i 妒( z ) ie n 【，n ( z ) 一f ( x ) l ( 3 3 3 ) 由引理2 2 ( i ) ，當(dāng)i = o ，r = i 時(shí)， 。1 i r a 。昧f 厶扛) 一，括) f = o 當(dāng)i = l ，r = l 時(shí)， 。l i r a 風(fēng)坩( z ) 一產(chǎn)l = o 當(dāng)i = 2 ，r = l 時(shí)， 恕b j 臂( 。) 一，( 2 ( z ) j = 0 因此由( 33 3 ) 可知，對(duì)任意固定的z 以。l - + i r a o 。取( z ) = o ；再由( 3 3 2 ) 可知，定理3 1 得證。 ( 2 ) 的證明；由引理3 1 和m a r k o v 不等式可知，