摘要 軟土路基變形比較復(fù)雜，影響因素眾多，從軟土路基變形機(jī)理出發(fā)來 建立模型，并對路基變形進(jìn)行擬合和預(yù)測是困難的。本文從實(shí)測變形數(shù)據(jù) 出發(fā)，利用數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含許多信息，來建立沉降模型。 本文的主要內(nèi)容如下： ( 1 ) 介紹了軟士路基穩(wěn)定與變形的基本特性和機(jī)理，總結(jié)了軟土路基 變形預(yù)測的必要性，分析了軟土路基變形預(yù)測的難點(diǎn)和存在的問題，簡要 介紹了時(shí)間序列的優(yōu)缺點(diǎn)以及應(yīng)用的廣泛性。 ( 2 ) 詳細(xì)闡明了時(shí)間序列的基本思想、幾種常見的時(shí)間序列模型以及 時(shí)間序列的動態(tài)特征，分析了如何利用自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)來對模型 進(jìn)行判定，通過對時(shí)間序列的幾種定階準(zhǔn)則的比較，確定一種好的定階準(zhǔn) 則來建立模型，從而可以利用逆函數(shù)法進(jìn)行預(yù)報(bào)。 ( 3 ) 介紹了混沌時(shí)間序列的研究意義，闡述了混沌時(shí)間序列的基本理 論以及三種預(yù)測模式，確定了最大l y a p u n o v 指數(shù)的計(jì)算步驟。 ( 4 ) 從路基實(shí)測變形數(shù)據(jù)出發(fā)，將時(shí)間序列非平穩(wěn)性模型( a r i m a 模型) 轉(zhuǎn)化成時(shí)間序列平穩(wěn)模型( a r m a 模型) ，通過模型識別、參數(shù)估計(jì)、 模型驗(yàn)證等步驟來建立模型，從而進(jìn)行路基動態(tài)變形預(yù)測，利用路基變形 的控制標(biāo)準(zhǔn)對路基下一級填土的時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，優(yōu)化了施工組織設(shè)計(jì)，節(jié) 省了時(shí)間和資金。 ( 5 ) 路基超載完成后，在路基荷載穩(wěn)定期間內(nèi)，利用混沌時(shí)間序列中 的最大l y a p u n o v 指數(shù)和全域法進(jìn)行長期預(yù)測，同時(shí)與一些比較成熟的變形 預(yù)測方法進(jìn)行對比，對工程中一些重點(diǎn)斷面進(jìn)行綜合評判，確定一個較理 想的預(yù)測結(jié)果，從而對路基超載進(jìn)行卸載，使其滿足工程設(shè)計(jì)要求。 時(shí)間序列預(yù)測方法雖廣泛的應(yīng)用于各行各業(yè)，并取得了比較好的效果， 但是在預(yù)測高速公路路基變形方面應(yīng)用較少，尤其是用于填土期間的變形 預(yù)測罕見報(bào)道，本文作者在這方面作了一些開拓性的工作。 關(guān)鍵詞：路基變形，時(shí)間序列，混沌，短期預(yù)測，長期預(yù)測 a b s t r a c t t h ew a r po fs o f t s o i lf o u n d a t i o ni sm u c hc o m p l i c a t e da n dt h ef a c t o r s a f f e c t e da r em u c hm o r e i t sd i f f i c u l tt of i ta n dp r e d i c tt h ew a r po fr o a d f o u n d a t i o nj u s tf r o mt h em o d e ls e t t e du pf r o mt h ew a r pp r i n c i p l ei t s e l f n e t h e s i ss t a r sf r o mt h ew a r pm a t e r i a lg o ti nt h ep r a c t i c e ，a n ds e t su pt h er o a dw a r p m o d e lf r o mt h em u c hi n f o r m a t i o nt h a ta f f e c t st h ew a r pf a c t o r s t h em a i nc o n t e n to ft h et h e s i si sa st h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) i ts t a t e st h eb a s i cp e c u l i a r i t ya n dt h ep r i n c i p l eo ft h es t e a d yo fr o a d f o u n d a t i o na n dt h ew a r ps e t t l e m e n t ，s o m su pt h en e c e s s i t yo ft h ep r e d i c to fs o f t s o l lr o a df o u n d a t i o nw a r p a n a l y s e st h ed i f f i c u l t ya n dt h eq u e s t i o n su n s o l v e d e x i s t i n g i nt h ep r e d i c to fs o f t s o i lr o a df o u n d a t i o ns e t t l e m e n t ，a n ds i m p l y i n t r o d u c e sb o t ht h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sa n dt h ew i d eu t i l i z a t i o no f t i m es e r i e s ( 2 ) i te x p l a i n st h eb a s i cc o n c e p to ft i m es e r i e s ，s o m ek i n d so ft h ec o m m o n t i m es e r i e sm o d e l sa n dt h ed e v e l o p m e n tc h a r a c t e r i s t i c so ft i m es e r i e si nd e t a i l i t a n a l y s e sh o wt oi u d g et h em o d e lf r o mt h es e l f - r e l a t e df u n c t i o na n dt h ed e v i a t i o n r e l a t e df u n c t i o n d e t e r m i n i n gab e t t e rs t a n d a r dt os e tu pm o d e l sf r o mt h e c o m p a r i s o no fs o m ek i n d so ff i x e ds t e pt i m es e r i e ss t a n d a r d s ，t h e np r e d i c t s u t i l i z i n gt h ec o u n t e rf u n c t i o n ( 3 ) i ti n t r o d u c e st h es t u d ys i g n i f i c a n c eo fc h a o t i ct h et i m es e r i e s ，e x p l a i n s t h eb a s i ct h e o r ya n dt h r e ek i n d so fp r e d i c tm o d e l so ft h ec h a o t i ct i m es e r i e s ，a n d m a k e ss u r et h es t e pt h a tc o u n t st h eb i g g e s ti n d e xn u m b e rl y a p u n o v f 4 1t h et h e s i sc o n v e r t su n r e s tm o d e l ( a r m am o d e l ) o ft i m es e r i e st ot h e r e s tm o d e l ( a e 碘t 4m o d e l 、o ft i m es e r i e s i ts e t su pm o d e l sa c r o s s i n gs o m e p r o c e d u r e s ，s u c ha sm o d e li d e n t i f y , f a c t o re s t i m a t i o n ，m o d e lc h e c k ，e c t ，t h e n p r e d i c tt h ed e v e l o p m e n ts h o r t t e r mw a r po fr o a df o u n d a t i o n i tp r e d i c t st h et i m e o ft h ef i l l i n gs o i lo ft h en e x tg r a d eu t i l i z i n gt h eg r o w t ht h e o r yo ft h es t r e n g t ho f t h er o a df o u n d a t i o n ，a s s u r e st h a tt h ew o r k i n go r g a n i z a t i o na n dd e s i g n g o s m o o t h l yd u r i n gt h ef i l l i n gw o r ko fr o a df o u n d a t i o na n ds a v e st i m ea n dm o n e y ( 5 ) a n o t h e ri st h el o n g - t e r mp r e d i c tu t i l i z i n gt h eb i g g e s ti n d e xn u m b e r l y a p u n o vi nt h ec h a o t i ct i m es e r i e sa n dt h ew h o l es p a c em e t h o dd u r i n gt h e s t e a d yp e r i o do ft h er o a df o u n d a t i o ni o a d ，a f t e rt h eo v e r l o a d o ft h er o a d f o u n d a t i o nf i n i s h e d m e a n w h i l e ，c o n t r a s t sw i t hs o m cm a t u r es e t t l e m e n tp r e d i c t m e t h o d s ，e s t i m a t i n gs o m ei m p o r t a n ts e c t i o ni nt h ee n g i n e e r i n gs y n t h e t i c a l l y , m a k i n gs u r ea ni d e a lo u t c o m eo ft h ep r e d i c tw a r p ，t h e nu n l o a dt h eo v e r l o a do f n r o a df o u n d a t i o na n dm a k ei ts a t i s f yt h ed e s i g nr e q u e s t t h o u g ht h ep r e d i c tm e t h o d si nt h et h e s i sa r ew i d e l yu s e di ne v e r vf i e l da l a d a c q u i r eb e t t e rc o n s e q u e n c e b u tt h em e t h o d su s i n gi nt h ep r e d i c to ft h eh i g hw a y r o a df o u n d a t i o nw a r pa r el i t t l e ，e s p e c i a l l yr e p o r t e dl i t t l ei nt h es e t t l e m e n tp r e d i c t d u r i n gt h ep e r i o do ff i l l i n gs o i l t h ea u t h o ro ft h et h e s i sd o e ss o m ep i o n e e r s t u d y o ni t k e y w o r d s ：r o a df o u n d a t i o nw a r p ，t i m es e r i e s ，c h a o t i c ，s h o r t t e r r ap r e d i c t ， l o n g - t e r mp r e d i c t 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論 由于軟土的高壓縮性、低滲透性和低強(qiáng)度，修建在軟土地基上的高速公 路經(jīng)常遇到變形問題和穩(wěn)定問題1 , 2 1 變形過大直接影響路基穩(wěn)定，所以嚴(yán)格 控制路基變形尤為必要。然而軟基的變形比較復(fù)雜，主要影響因素有軟土的 物理力學(xué)性質(zhì)、土層條件、荷載條件、處理方法及工期等。其中土層條件( 如 軟土層的厚度和排水邊界條件等) ，可以通過地質(zhì)勘察較準(zhǔn)確地探明。荷載條 件、軟基處理方法和工期等也較容易確定，軟土的物理力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)一般通 過室內(nèi)試驗(yàn)取得。由于現(xiàn)場取樣、運(yùn)輸和制備試樣過程的擾動，室內(nèi)試驗(yàn)條 件與現(xiàn)場條件的差異，試驗(yàn)設(shè)備與試驗(yàn)技能的影響等，室內(nèi)試驗(yàn)得到的固結(jié) 和變形指標(biāo)往往與實(shí)際情況有較大的出入1 3 1o 正是由于許多參數(shù)的定量指標(biāo) 與實(shí)際狀態(tài)存在較大的差異，因此，用通常結(jié)構(gòu)分析方法建立巖土材料數(shù)學(xué) 一力學(xué)本構(gòu)模型，不僅是困難的，而且是不適宜的。許多學(xué)者從實(shí)測數(shù)據(jù)出 發(fā)，來研究路基變形問題，取得了很大的進(jìn)展。利用實(shí)測數(shù)據(jù)之間的變化規(guī) 律來建立一些模型，模型中大都采用數(shù)學(xué)公式，如雙曲線模型、”s 型”模型、 指數(shù)模型等。利用這些模型對變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而實(shí)現(xiàn)對后期變形的預(yù) 測；然而實(shí)測變形數(shù)據(jù)中帶有確定性成分和隨機(jī)性成分，這些模型只能對確 定性成分進(jìn)行分析，無法分析變形的隨機(jī)性成分。 軟基的變形可以分為填筑期間的變形和荷載穩(wěn)定以后的工后沉降變形， 填筑期間的變形影響因素復(fù)雜，路基填筑荷載不斷變化，從而導(dǎo)致變形的形 式復(fù)雜多變，常規(guī)的變形模型很難對其進(jìn)行擬合預(yù)測。工后沉降變形指的是 竣： 后軟基發(fā)生的變形，工程上往往采用雙曲線模型、”s 型”模型、指數(shù)模 型等對工后沉降進(jìn)行擬合預(yù)測，預(yù)測結(jié)果與實(shí)際相差較大，其原因是由于隨 機(jī)性成分當(dāng)中還包含有一定的確定性成分 4 1 0 所以在填筑期間對各階段的填 土?xí)r的變形預(yù)測和工后沉降變形的預(yù)測都顯得很重要。因此，有必要對影響 填筑期間的變形和荷載穩(wěn)定以后的工后沉降變的因素進(jìn)行深入的分析、研究。 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 軟基的穩(wěn)定和變形 1 1 ，1 軟基的穩(wěn)定 軟土路堤的穩(wěn)定分析是路堤設(shè)計(jì)中重要工作之一。滿足路堤的穩(wěn)定并具 有一定的安全儲備是必要的。只有滿足了路堤的穩(wěn)定條件才能進(jìn)行路基的變 形計(jì)算。隨著交通事業(yè)的高速化發(fā)展， 在很多情況下往往以變形為控制條件。 沒有達(dá)到要求，穩(wěn)定是必要條件。 路堤設(shè)計(jì)只滿足穩(wěn)定條件遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠， 若變形不滿足控制條件，則視為設(shè)計(jì) 軟土路堤的縱向穩(wěn)定分析是針對橫行路堤進(jìn)行的。然而在某種情況下， 路堤的縱向穩(wěn)定起著主導(dǎo)的作用。如在軟土地基的橋臺，若不注意路堤的縱 向穩(wěn)定并設(shè)法加以解決，則有可能由于臺后填土的縱向推力，致使橋臺基礎(chǔ) 發(fā)生較大的位移甚至破壞橋臺基礎(chǔ)。 11 2 軟基的變形 在過去的工作中，軟土路堤的設(shè)計(jì)偏重于穩(wěn)定分析。認(rèn)為只要滿足穩(wěn)定 性要求，其他是次要的。因?yàn)椴徽撛阼F路或公路上行駛的車輛，大多以中低 速行駛，對路堤沉降無須嚴(yán)格控制。如今高速鐵( 公) 路的出現(xiàn)，對路基變 形的要求非常突出。于是便得到一個共識，即由穩(wěn)定控制轉(zhuǎn)為變形控制。 ( 1 1 軟基變形的形式 軟基變形通常只包括軟土在垂直方向的壓縮和水平方向的位移。在垂直 方向的壓縮包括主固結(jié)沉降和次固結(jié)沉降。在荷載的作用下，隨著土中空隙 水分的逐漸排出，空隙體積相應(yīng)減少，土體逐漸壓實(shí)而產(chǎn)生的沉降稱為主固 結(jié)沉降。它是由上部荷載和土的性質(zhì)決定的，是造成沉降的主體。土中空隙 水完全排出，土的主固結(jié)已經(jīng)完成，由土骨架的蠕動變形所引起的沉降稱為 次固結(jié)沉降，主要決定于土類，持續(xù)時(shí)間長，可達(dá)數(shù)十年，一般不予考慮。 只有當(dāng)次固結(jié)份量占得多時(shí)才列入總沉降。在填土過程中由于受剪應(yīng)力的作 用，地基產(chǎn)生剪切變形，水平位移引起的沉降稱為瞬時(shí)沉降。它持續(xù)的時(shí)間 短，變化大，并隨路堤的填高而增大。 ( 2 ) 路基變形的一般規(guī)律 路堤填筑過程中，地基沉降存在著一個明顯變化點(diǎn)，即有一個臨界的填 2 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 土高度。當(dāng)填土低于此高度時(shí)，沉降速率很低；當(dāng)超過此高度時(shí)，沉降速率 明顯增加。 沉降速率與加載速率有關(guān)。當(dāng)加載速率提高時(shí)，地基的沉降速率也隨之 增加。因?yàn)槌酥鞴探Y(jié)沉降增加外，由于測向變形引起的瞬時(shí)沉降也大大增 加。 軟土層的厚度以及排水條件對沉降有明顯的影響。一般情況下軟土層越 薄測向變形越小，排水條件好，固結(jié)度高，沉降快，則剩余沉降少。 ( 3 ) 沉降速率 地基沉降速率不同就會出現(xiàn)不均勻沉降。不均勻沉降超過一定值時(shí)，會 使建筑物受到損害。路堤橫斷面上過大的不均勻沉降會導(dǎo)致路拱變形和結(jié)構(gòu) 層的開裂。同樣路堤在縱向上過大的不均勻沉降，也會導(dǎo)致上述現(xiàn)象發(fā)生而 影響正常使用。目前對于控制和消除不均勻沉降，除了正確認(rèn)識地基土的性 質(zhì)外，主要還是采用合理的計(jì)算方法，盡量消除由于差異引起的不均勻沉降， 如軟土的厚薄，處理與不處理，不同方法之間的差異，剛性與柔性之間的差 異等。 在實(shí)際工作中，人們關(guān)心的是竣工后在一定的使用年限內(nèi)是否會因地基 的有限沉降而損壞道路結(jié)構(gòu)，影響行車的平順性。因此，應(yīng)該確定在一年使 用年限內(nèi)容許發(fā)生的沉降量，即所謂工后沉降量。我國對高速公路一般為1 5 年內(nèi)工后沉降不超過3 0 c m ，橋臺背后填土工后沉降不超過l o c m 。 為了適應(yīng)國民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的需要，并進(jìn)一步促進(jìn)其飛速發(fā)展，近幾年 我國高速公路發(fā)展迅速。高速公路路堤一般較高，且橋涵通道較多。高速公 路上行車速度快，交通流量大。與一般公路相比較，高速公路對路基、路面 的要求更高，而且常常需要穿越不良地基地段。高速公路不僅要求路堤穩(wěn)定， 而且對工后沉降有較高的要求，特別是需要嚴(yán)格控制工后不均勻沉降量。從 我國已建軟土地基上高速公路運(yùn)行情況來看，工后沉降較大，所造成“橋頭 跳車”是目前存在的主要問題。橋涵一般采用樁基礎(chǔ)，工后沉降很小，而路 堤沉降很大，不均勻沉降造成“橋頭跳車”，輕者影響車輛行車速度，重者導(dǎo) 致交通事故。如何減小工后沉降? 如何預(yù)估工后沉降? 如何調(diào)整工后沉降? 是軟土地基上修建高速公路需要著重解決的課題。5 1 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 2 高速公路沉降預(yù)測的必要性 1 2 1 路堤填筑速率的確定 對軟粘土地基而言，確定合理的填筑速率是至關(guān)重要的。過快的填筑速 率會破壞結(jié)構(gòu)性，加大沉降量。因此，要控制外荷填筑速率，使之與地基固 結(jié)速率( 也是土的強(qiáng)度增長速率) 相適應(yīng)，盡量減少附加沉降。填筑速率應(yīng) 以填土i 臨界高度為界，采取不同的數(shù)值，填土高度較低時(shí)采取較高的填筑速 率，高度越大填筑速率越小。 12 2 地基預(yù)壓時(shí)間的確定 確定預(yù)壓時(shí)間的目的是要在滿足工后沉降量要求的前提下確定路面施工 的時(shí)間，所以，要從施工期及部分預(yù)壓期間已發(fā)生的沉降量，推測將要發(fā)生 的沉降量，此值應(yīng)低于設(shè)計(jì)允許的工后沉降量。準(zhǔn)確地確定地基預(yù)壓時(shí)間對 確保工程質(zhì)量、加快施工進(jìn)度有重要意義。 1 2 3 卸載時(shí)間的確定 通過對已經(jīng)監(jiān)測到的沉降數(shù)據(jù)來判斷卸載的時(shí)間也是一個比較關(guān)鍵性的 問題，超載是否達(dá)到預(yù)期的要求，什么時(shí)候達(dá)到預(yù)期的要求? 準(zhǔn)確地確定卸 載時(shí)間有利用于提高高速公路的施工進(jìn)度。 1 2 4 工后沉降的預(yù)測 工后沉降是高速公路建設(shè)關(guān)鍵性的問題，是衡量一條高速公路質(zhì)量優(yōu)劣 的標(biāo)準(zhǔn)，是保證高速公路穩(wěn)定與行車安全、舒適的首要因素。通過對工后沉 降預(yù)測還可以反算地基的固結(jié)度，地基的固結(jié)系數(shù)等問題。在預(yù)測工后沉降 的問題 有多種方法，比較常見的有雙曲線方法、指數(shù)曲線法及近年來發(fā)展 起來的灰色模型預(yù)測等，隨著近代計(jì)算機(jī)的發(fā)展，有限元的反分析方法得到 了發(fā)展。這種方法在理論上較為嚴(yán)密，但是受到數(shù)學(xué)方法及前、后期處理比 較煩瑣等原因的限制，在實(shí)際工程中并沒有得到廣泛的應(yīng)用m “ 。尋求一種 準(zhǔn)確預(yù)測高速公路工后沉降的方法是很重要的問題。 12 5 填筑高度的確定 高速公路路基填筑高度的確定是試探性的。每一級填土完成后，經(jīng)過對 4 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 這級填土所產(chǎn)生的沉降進(jìn)行觀測來預(yù)測后期沉降，通過沉降的預(yù)測來反算地 層參數(shù)，從而確定路基強(qiáng)度的增長來確定后一級的填筑高度。所以說軟基路堤 填筑施工控制是試探性的，必須根據(jù)施工現(xiàn)場監(jiān)控反饋的信息進(jìn)行控制，是 個動態(tài)過程。 1 3 時(shí)間序列預(yù)測的優(yōu)缺點(diǎn) 路基工程是以巖土體為工程材料，以巖土體天然或人工結(jié)構(gòu)為工程結(jié)構(gòu)。 由于巖土體的不均勻性、不連續(xù)性和地質(zhì)條件的復(fù)雜性，使得其力學(xué)參數(shù)和 力學(xué)現(xiàn)象具有很強(qiáng)的隨機(jī)性和不確定性。以沉降 x 。) 監(jiān)測數(shù)據(jù)采集為例，考 慮其隨機(jī)性和不確定性，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)，采集到的數(shù)據(jù)扛，) 應(yīng)被認(rèn)為是 隨機(jī)過程的樣本實(shí)現(xiàn)，而不應(yīng)被認(rèn)為是其簡單的固有變化。通過對隨機(jī)過 程的分析，很自然地引入了隨機(jī)系統(tǒng)研究方法，時(shí)間序列分析就是其中之一。 時(shí)間序列分析法避開巖土工程系統(tǒng)復(fù)雜的機(jī)理分析，通過現(xiàn)場測試到的能反 應(yīng)系統(tǒng)性態(tài)的數(shù)據(jù)序列，建立動態(tài)數(shù)據(jù)模型，以此不僅能對巖土工程進(jìn)行預(yù) 報(bào)和控制等，而且能進(jìn)一步認(rèn)識系統(tǒng)本身的特性。同時(shí)時(shí)間序列分析是一種 處理隨時(shí)間變化而又相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法，或者是一種處理動態(tài)數(shù)據(jù) 的參數(shù)化分析方法。時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)說明了觀測值排列順序的重要性， 數(shù)據(jù)的順序、大小反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的帽互聯(lián)系。事實(shí)上，所獲得的數(shù)據(jù)最為 重要和最有用的特性就是觀測值之間的相關(guān)性，正是這種相關(guān)性表征了這些 數(shù)據(jù)的現(xiàn)象、過程、系統(tǒng)的“動態(tài)”或“記憶”。這種相關(guān)性一旦被定量描述 出來，就可以用過去值預(yù)測其將來值。 然而一般的時(shí)間序列分析要求的數(shù)據(jù)序列是等問隔的，即采樣間隔是等 時(shí)的，這一點(diǎn)在巖土工程實(shí)踐中很難保證的，因而給時(shí)序分析建模帶來了因 難。通常的作法是先補(bǔ)充數(shù)據(jù)，本文數(shù)據(jù)的補(bǔ)充根據(jù)路基沉降的基本規(guī)律， 采用多項(xiàng)式插值進(jìn)行內(nèi)插1 9 1 , 從而保證監(jiān)測數(shù)據(jù)序列是等時(shí)間間隔：同時(shí)考 慮盡可能的保留實(shí)測的原始數(shù)據(jù)，使在荷載作用下數(shù)據(jù)包含的信息予以保罄。 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 4 時(shí)間序列應(yīng)用的廣泛性 按時(shí)間順序排列的一組隨機(jī)數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)時(shí)間序列 1 0 l o 在實(shí)際問題中， 經(jīng)常會遇到各種隨機(jī)時(shí)間序列，如經(jīng)濟(jì)中的年國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值序列 1 2 1 、 氣象中的月平均氣溫序列那、醫(yī)學(xué)上的腦電波序列、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動序列“4 1 、 市場上某些商品的年銷售額序列n 5 川們等等。利用時(shí)間序列對它們進(jìn)行預(yù)測 可取得比較理想的結(jié)果。 在巖土工程中，時(shí)間序列也得到了廣泛應(yīng)用，通過時(shí)間序列來預(yù)測邊 坡的位移 1 7 1 1 8 1p 建筑地基的沉降量 1 9 1 , 隧道變形 2 0 1 1 2 1 1 7 基坑支撐軸力2 2 1 也有較廣泛的應(yīng)用。近十幾年來，混沌時(shí)問序列預(yù)測得到一定的發(fā)展，但 是很多還處于理論研究階段，離實(shí)際應(yīng)用還有相當(dāng)對長的一段距離。 1 5 本文研究思路和方法 1 5 1 時(shí)間序列對路基加載的短期預(yù)報(bào) 當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)部規(guī)律還不掌握或不完全掌握的情況下，通常用系統(tǒng)辨識的 方法來建立數(shù)學(xué)模型。時(shí)序分析系統(tǒng)辨識建模方法步驟如下： ( 1 ) 模型識別，即確定n 階的值。根據(jù)樣本自相關(guān)、偏相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特 性，可初步判斷時(shí)間序列 工，) 所適合的自回歸、滑動平均的階數(shù)。常用的方 法有：殘差方差圖法、偏相關(guān)函數(shù)法、f 檢驗(yàn)法、f p e 、a i c 、b i c 準(zhǔn)則法、 隅角法 2 3 1 0 ( 2 ) 參數(shù)估計(jì)，即確定4 ，掃等值，其方法很多如：距估計(jì)、最小二乘估 計(jì)、極大似然估計(jì)和極大熵譜估計(jì)。 ( 3 ) 模型驗(yàn)證，即對辨識出的模型進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，使之對各種不同的 工作情況都具有期望的精度。 ( 4 ) 在確定出相應(yīng)模型及參數(shù)后，就可以對未來可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行預(yù) 報(bào)。采用的標(biāo)準(zhǔn)是預(yù)報(bào)值與可能出現(xiàn)的值的誤差均方值達(dá)到最小，即平穩(wěn)線 性最小方差預(yù)報(bào)。常用的方法有：格林函數(shù)法、逆函數(shù)法和預(yù)報(bào)矢量法1 1 8 1 。 路基沉降往往具有明顯的增長，屬于非平穩(wěn)序列，不能用時(shí)間序列模型 直接進(jìn)行描述，但是經(jīng)某種處理后可產(chǎn)生新的平穩(wěn)序列，這種處理方法稱為 差分運(yùn)算1 2 4 1 0 設(shè)忙，) 為非平穩(wěn)序列，令 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 h v z 。；0 一口) z ，；z ，一z ，1 式中 w f ) 為平穩(wěn)序列， z ， 為經(jīng)一次差分運(yùn)算后平穩(wěn)的準(zhǔn)平穩(wěn)序列，v 為差分算子。有些序列需經(jīng)多次差分才能平穩(wěn)。 1 5 2 ，混沌時(shí)間序列對路基卸載的長期預(yù)報(bào) 路基受多種因素影響而發(fā)展演化的耗散的非線性動力系統(tǒng)，各種因素的 共同作用下，系統(tǒng)演化過程可視為一種具有混沌特征的動力系統(tǒng)，在重構(gòu)相 空間中，其運(yùn)動軌跡收縮到奇異吸引子，由于混沌系統(tǒng)具有內(nèi)在規(guī)律性和對 初值的敏感依賴性，可以根據(jù)路基變形的歷史數(shù)據(jù)記錄，對混沌時(shí)間序列在 路基沉降進(jìn)行初步探討，利用分維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)，對記錄的時(shí)間序列進(jìn)行相 空間重構(gòu)，計(jì)算最大l y a p u n o v 指數(shù)，判斷記錄數(shù)據(jù)的混沌行為，利用最大 l y a p u n o v 指數(shù)和全域法對路基工后沉降進(jìn)行較長期的預(yù)測。 1 5 3 本文的創(chuàng)新點(diǎn) ( 1 ) 在填筑期間，路基沉降的形式復(fù)雜多變，用常規(guī)的擬合方法對路基 沉降進(jìn)行擬合是困難的，而且是不實(shí)用的。本文利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，通過 時(shí)問序列建模來對路基沉降進(jìn)行擬合。 ( 2 ) 利用時(shí)間序列模型的建立來對未來沉降進(jìn)行預(yù)測，利用加載的控制 標(biāo)準(zhǔn)來對下一級填土?xí)r間進(jìn)行確定，從而對路基填土實(shí)現(xiàn)動態(tài)化信息法施工。 ( 3 ) 在超載前和超載時(shí)，利用混沌時(shí)間序列理論計(jì)算最大l y a p u n o v 指 數(shù)，判斷記錄數(shù)據(jù)的混沌行為。 ( 4 ) 通過最大l y a p u n o v 指數(shù)和全域法對路基工后沉降進(jìn)行較長期的預(yù) 測。為路基最終沉降預(yù)測評估增加了兩種判別方法，使路基最終沉降預(yù)測與 實(shí)際更加接近。 7 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章時(shí)間序列的基本形式和動態(tài)特征 2 1 基本思想2 3 叮 時(shí)問序列分析的主要思想是認(rèn)為同一變量在現(xiàn)在時(shí)刻的觀測值，在時(shí)間 上同以前的觀測值是有聯(lián)系的，當(dāng)然在新的時(shí)刻會出現(xiàn)未預(yù)料的新情況。因 此，若記t ( r 一- 2 , - 1 ，0 ，1 , 2 ) 是一個時(shí)間上無限延伸的序列，則我們可提出 一種描述該序列的模型是 x ，= f ( x t l ，工t 一2 ，- ) + a 。 ( 2 - 1 ) 模型( 2 - 1 ) 中，把現(xiàn)在的情況同以前的情況聯(lián)系起來，而露，為時(shí)刻f 出現(xiàn)的 新情況，假定它是同t 時(shí)刻以前的情況無關(guān)的隨機(jī)因素。 模型( 2 - 1 ) 的線性表達(dá)形式為 x t = 妒l x t l + 妒2 工f - 2 + + 甲p x 卜p + a f ( 2 2 ) 通常假定a ，是正態(tài)的白噪聲序列，其均值為常數(shù)，不防假定為0 ，這樣 e ( a ，) = 0e ( a ，a 女) = 盯。2 6 ( 2 3 ) 式( 2 - 3 ) 中，6 t 是k x o n e k e r 函數(shù)。當(dāng)k 一0 時(shí)，6 tt i ：當(dāng)k 0 時(shí)，6 t = 0 ； 顯然盯。2 是口，的方差。( 式( 2 3 ) 表明，白噪聲序列中的各個隨機(jī)變量彼此不 相關(guān)，沒有任何統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。) 用b 表示后移算子，即啦；x t 。，b 。茗。= x ，。則式( 2 2 ) 可以寫成 ( 1 一妒l b 一妒2 b2 一一驢。b 9 ) z ，一a ， ( 2 4 ) 簡記為妒( b 冷，= a ，( 2 5 ) 如果把算子妒( 曰) 的逆算子汜為o ( b ) = 妒。) 則得工，；o ( s ) a 。 ( 2 6 ) 同理療) 可以寫成 o ( b ) = 1 一o r b 一0 2 8 2 一一眈丑9 ( 2 - 7 ) 8 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 則式( 2 - 6 ) 可寫成 ；a t 一0 1 a - - 1 一一o q a f 。 ( 2 8 ) 式( 2 _ 8 ) 表明一個時(shí)間序列純 可以認(rèn)為是由一個互相獨(dú)立的自噪聲序列 口。 通過一個線性濾波器日p ) 而產(chǎn)生，也即時(shí)間序列怯) 變成了不相關(guān)或獨(dú)立白 噪聲輸入的一個現(xiàn)實(shí)。 2 2 常用的幾種時(shí)間序列模型 22 1 自回歸( a r ) 模型 時(shí)間序列模型 工r 蘭妒1 工卜1 + 艫2 工卜2 + + 妒p 工卜p + a ，t 暑1 , 2 ，3 ， ( 2 - 9 ) 稱為自回歸( a u t o r g r e s s i v e ) 模型，其中p 為模型的階，妒l ，妒2 ，妒。為自回歸 系數(shù)，口，是均值為零，方差為吒2 的正態(tài)分布白噪聲，即a ，- n ( o ，盯：) ，符號n 表示獨(dú)立正態(tài)分布，此模型記為a r ( p ) 。 該模型與多元回歸模型不同，多元回歸模型是一種靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，它描 述的只是一個變量與另外一組變量在同一時(shí)刻的靜態(tài)相關(guān)。而模型( 2 9 ) 中， 和工。，。，工。同屬于時(shí)間序列“ ，是序列中不同時(shí)刻的隨機(jī)變量，它 們彼此之間有一定的相關(guān)關(guān)系，因而是一種動態(tài)模型。該模型所描述的 z 。) 是 對其自身的過去的數(shù)值進(jìn)行回歸故稱之為自回歸模型。 a r ( p ) 模型對于a ，有兩個假定：一是 口， 作為隨機(jī)序列，在不同時(shí)刻互不 相關(guān)，二是a 。和有時(shí)刻的序列觀測值屯( 七t t ) 不相關(guān)。如果用a r ( p ) 模型去 擬合某序列k ) ，則殘差序列“ 不符合上述假定，即仇，不是白噪聲序列， 那么用a r ( p ) 描述該序列是不適合的。 2 22 滑動平均( m a ) 模型 時(shí)間序列模型 工f = 口f 一8 1 t 2 p 1 一一o q a 。 ( 2 - 1 0 ) 稱為滑動平均( m o v i n g a v e r a g e ) 模型，其中q 為模型的階；0 10 2 ，0 。為滑 動平均系數(shù)； a t 是白噪聲序列，a 。是均值為零，方差為盯：，此模型記為 m a ( q ) ，m a ( g ) 模型中包含有g(shù) + 1 個未知參數(shù)占。，0 2 ，0 ，和口：，這些未知參 數(shù)必須利用觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。 9 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 2 3 自回歸滑動平均( a r 眥) 模型 為了使模型在擬合實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)具有更大的靈活性，有時(shí)在模型中既包含 有自回歸部分也包含有滑動平均部分，這就是自回歸滑動平均( a u t o r g r e s s i v e m o v i n g a v e r a g e ) 模型，其表達(dá)式為 x f 一妒1 t 一1 一- 一妒p x i p t a i o t a i 。一一o q a t 一口 ( 2 - 1 1 ) 簡記為a r m a ( p , q ) 。其中p 和q 分別是自回歸部分和滑動平均部分的 階；夠“= 1 , 2 ，p ) ，口，( ，= 1 , 2 ，q ) 分別是自回歸系數(shù)和滑動平均系數(shù)。 a r m a g ) 模型含有p + q + 1 個未知參數(shù)吼，伊2 ，0 1p 2 ，0 9 和盯：，這 些未知參數(shù)要利用觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。 2 3 時(shí)間序列模型的動態(tài)特性 模型的動態(tài)特性主要由格林函數(shù)、逆函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)來 描述，它們亦可用來分析系統(tǒng)的平穩(wěn)性和可逆性以及進(jìn)行模型識別。 2 3 1 格林函數(shù) 由式( 2 - 2 ) 和式( 2 _ 8 ) 可得妒k ；口徊) 口，所以z ，= 爰暑q ti ( 1 + g l b + g 2 口2 十一- ) ja ， ( 2 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 可寫成 ；g ，m - j i g = 1 ( 2 1 3 ) 式( 2 - 1 3 ) 中的系數(shù)g 稱為格林函數(shù)，它把x ，表示成a ，及既往的a ，的線性組 合，說明了a 及其既往值是如何影響著響應(yīng)值石的。 格林函數(shù)的物理意義有兩種解釋。首先，從式( 2 1 3 ) 明顯看出g i 稱f 個 時(shí)間單位以前加入系統(tǒng)的沖擊或擾動以對現(xiàn)在響應(yīng)的權(quán)重；其次，格林函數(shù) 表示了系統(tǒng)對沖擊n ，有多大的記憶?；蛘哒f表征系統(tǒng)對任一特定a ，的動態(tài) 響應(yīng)衰減的快慢。我們把a(bǔ) ，看作系統(tǒng)時(shí)間的輸入，式( 2 - 1 3 ) 表示了系統(tǒng)的 輸出( 在變形分析中) 不僅受觀測因素的影響，而且還受觀測前時(shí)間輸入 1 0 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( a t - 1a 。，) 的影響，格林函數(shù)是對序列動態(tài)性的一種描述。 2 3 2 可逆函數(shù) 格林函數(shù)表示了時(shí)間序列的動態(tài)性質(zhì)，而在式x tif ( x 。，z 。，- - ) + 口，所 表示的時(shí)間序列分析設(shè)想中，時(shí)間序列的動態(tài)性則是通過將t 表示為既往的 工，的函數(shù)，當(dāng)用既往的的線性組合來表示x ，時(shí)，這種系數(shù)稱做為逆函數(shù)， 記作，j 即 x t 一l 陽鴝( 2 - 1 4 ) 扎r2 一善帆， 。1 5 式( 2 1 3 ) 將系統(tǒng)的輸出協(xié)) 表示成輸) m a ：) 的加權(quán) g ， 之和，而( 2 + 1 5 ) 則 將系數(shù)的輸入和。) 表示成輸出“) 的加權(quán) ， 之和，從這個意義上，同理 ， 稱作逆函數(shù)的原因。 格林函數(shù)和逆函數(shù)分別用不同的方法描述了時(shí)間序列的動態(tài)特征。 2 3 3 自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間序列模型識別的基本分析工具。 【定義1 】 x ， 的滯后為k 的白協(xié)方差函數(shù)為 r k = e ( x t x t 一 ) = e ，x 。+ t ) 一r i ( 2 1 6 ) 當(dāng)k = 0 時(shí)，即得到扛，) 的方差r 0i 盯： 【定義2 】用咋除以主差r 0 便得滯后女時(shí)的自相關(guān)函數(shù) 所= 咋r o ( 2 1 7 ) 注意pa 1 ，k 或p 。表示對t 七的相關(guān)性，丘或p 。又稱為理論自協(xié)方差和理 論自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)我們根據(jù)一個樣本的數(shù)據(jù)石。，x 2 ，- x 。去求或p 。的估計(jì)值 時(shí)，則有如下定義 【定義3 】 丘：? _ n f - k 。 女；o ，1 ，2 ，n 一1 ，七_(dá) 蘭而芻“ u 上厶 “( 2 。1 8 ) 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 稱為樣本自協(xié)方差函數(shù)。其中x 。是減掉均值以后的觀測數(shù)據(jù)。 【定義4 】 p t ；五r o k 。0 , 1 , 2 ，- - n 一1 ( 2 1 9 ) 稱為樣本的自相關(guān)函數(shù)。 自相關(guān)函數(shù)可以用樣本的觀測數(shù)據(jù)估計(jì)而無需知道模型形式。但是，樣 本的自相關(guān)函數(shù)a 是對理論自相關(guān)函數(shù)p 。的一個很差的估計(jì)，通常只用它進(jìn) 行模型識別，而不用它來建立模型。 ( 1 ) a r 過程的自相關(guān)函數(shù) 用x t 一。同時(shí)乘以式( 2 9 ) 兩邊 得4 x t 嚳q o i x t 一 x t - l + 仍t “t 2 + + 妒p 4 x t p + x t 4 f ( 2 2 0 ) 對上式取數(shù)學(xué)期望，可得差分方程 = 妒1r ，一1 + 妒2r f 一2 + + 妒p 廠f p ，豇 0 ( 2 2 1 ) 當(dāng)kc0 時(shí)，。與q 不相關(guān)，所以i x , 一。a ，】一0 用矗除上式兩邊，得 p f 蘭妒1 p 卜1 + 妒2 p 卜2 + + 妒。p t - p ( 七 0 ) ( 2 2 2 ) 式( 2 - 2 0 ) 和式( 2 - 2 2 ) 可看出，自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)具有相同形式的 差分方程。 當(dāng)k ，0 時(shí)，因?yàn)閑 x ，a = 陋力= 口。2 ，因此由式( 2 2 0 ) 可以得a r ( p ) 過程的差分方程為： r o ；妒1 + q 9 2 r 2 + + 妒。r p + 仃： ( 2 - 2 3 ) 而r 0 = 口：2 ，用r o l 涂, 式( 2 2 4 ) 式的各項(xiàng) 盯：一, r 0 2 ( 1 - p l q o l p z q 0 2 - p v q j p ) 。 ( 2 - 2 4 ) 現(xiàn)在式( 2 - 2 0 ) 式寫成 妒( b ) p 女= 0 k 0( 2 2 5 ) 其中妒徊) - 1 一妒，b 一妒：b 2 一一妒。b 9 ，注意這里b 是對k 而不是對t 進(jìn)行計(jì)運(yùn) 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 算。如果妒p ) 能分解成 妒( b ) = 兀( 1 一。b ) ( 2 - 2 6 ) r 則式( 2 2 6 ) 的通解為( 當(dāng)，互導(dǎo)時(shí)) p t ；c l n ，f + c 2 棚+ - - + c p ，七p ( 2 - 2 7 ) 其中。，珊：，。是伊 ) - 0 的根，系數(shù)c 1 ，c 2 ，c ，由p 個初始值來定。 一般來說，平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)以是由指數(shù)衰減和衰減正弦波組 成，既p 。的尾部不可能在延遲某步之后等于零，而是按負(fù)指數(shù)規(guī)律衰減，因 此，序列p 。具有拖尾的特性。 ( 2 ) m a 過程的自相關(guān)函數(shù) 用x 。乘以式( 2 1 0 ) 兩邊并取期望，得 r k e 【0 。一吼4 ，一1 一一o q n f 一4 ) ( 口t 一口1 口。一t 一1 一一o q 口，一t q ) 】 ( 2 - 2 8 ) 因?yàn)槊恳粋€n ，都假定是由同一自躁聲過程產(chǎn)生的，所e a ，】一o ，e 【口? - 盯。2 】 以及在女* 0 的情況下，e ( a ，口。) ；0 。因此，該過程的方差為 “= ( 1 + 療? + 口；+ + 爵妙；， k = 0 ( 2 - 2 9 ) “2c一口t+占(1，掙+t0“12+p0：22+：-+-j：2乏2吼，盯：，七三：，口 1k 一0 o k - 1 , 2 ，q k q ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 式( 2 3 0 ) 和式( 2 3 1 ) 兩式說明，m a 序列的自協(xié)方差( 或自相關(guān)) 函數(shù)r k ( 或以) 從七，q 以后全部為零。稱這一性質(zhì)為“截尾”。反之，可以證明， 若一平穩(wěn)時(shí)間序列的自協(xié)方差( 或自相關(guān)) 函數(shù)為截尾，那么它必定是m a 釓一 型卅二畿 吼一， 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 目) j 芋列。 ( 3 ) a r m a 過程的自相關(guān)函數(shù) n x 。乘以式( 2 1 1 ) 兩邊，并取期望，得 r k 墨t p l r k 一1 + v 2 r , 一2 + + q o p r k p + 0 ( 2 3 2 ) 一口l 丘一1 ，a ) 一一日口， 一目o ，a ) ( z ，口) 是x 與口2 _ f i l 交叉協(xié)方差，其定義為 0 ，口) = e x h 口?！?( 2 3 3 ) 由于墨一。只受時(shí)n t k 以前的擾動項(xiàng)的影響，所以 r a x ，a ) = 0 ，k 0 ：r k ，) o ，k 墨0 ( 2 - 3 4 ) 由式( 2 3 2 ) 得 _ 蘭妒1 一1 + c p 2 r k 一2 + + 妒p r k p ，k 苫q + 1 ( 2 - 3 5 ) 因此其自相關(guān)函數(shù)為 p t 譬妒1 p t l + 妒2 p i 2 + + 妒f p k - p , k2q + 1 ( 2 - 3 6 ) 或妒( b ) p 女；0 ， k q + 1 ( 2 _ 3 7 ) 由式( 2 3 6 ) 可以看出，q 為a r m a ( 口q ) 模型中滑動平均的記憶部分。在 k q 十1 時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)顯示出純自回歸過程的特征，因此七) q 時(shí)，滑動 平均部分就不起作用了，因此，a r m a ( b 日) 模型的自相關(guān)函數(shù)p 。和自協(xié)方 差函數(shù)丘也具有拖尾性。 當(dāng)七= 0 時(shí)，a r m a ( p j 礙) 的方差為 r c ) = 驢1r 1 + 伊2 r 2 + - - + 妒，r + 盯：一口1r l o ，口) 一一巳0 0 ，n ) ( 2 - 3 8 ) 與式( 2 3 2 ) 的方程( 七= 1 , 2 ，p ) 一起聯(lián)立求解，可以求出，0 。 各類模型的p 。 和 p a 的性質(zhì)歸納如下： 當(dāng)p ；0 時(shí)，a r m a 嘛留) 序列退化為m a ( q ) 序列， r 。和 n 是q 步截尾的：當(dāng)日一0 時(shí)，a r m a ( a 黿) 序列退化為a r 婦) 序列， r k 和 以) 是拖尾的，且當(dāng)七，o 時(shí)，滿足差分方程壚( b 汩。一o 及妒( b ) r i 一0 ；而當(dāng)p 和黿 1 4 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 均不等于零時(shí)， r 。) 和 n 也是拖尾的，且當(dāng)k ) q 時(shí)，滿足上述差分方程。 2 3 。4 偏相關(guān)函數(shù) 由上節(jié)可知，m a ( 口) 過程的自相關(guān)函數(shù)在口步之后就截止為零；截尾 性是m a 序列的特有標(biāo)志，據(jù)此可推測出m a ( q ) 模型的階數(shù)。對于a r ( p ) 過程沒有這樣的，因?yàn)樗淖韵嚓P(guān)函數(shù)沒有截尾點(diǎn)，拖尾性是a r 和a r m a 序列的共同特性。a r ( 口) 過程可由偏相關(guān)函數(shù)的特性來判斷。 設(shè)“ 為平穩(wěn)，零均值序列，考慮善。x t 。，。是對x t 的線性最小方差 估計(jì)，即選擇系數(shù)c p 吼：，妒n 使得 6z e t 一善妒k j x t - j 】2 = r o 一2 善r j + 善甲h o ( 2 3 9 ) 達(dá)到極小。為此目的，對d 的右端分別求偏導(dǎo)數(shù)毒生，j 1 ，2 ，k ，并令其為 d 妒盯 零，便得到應(yīng)該滿足的線性方程組 1 p 1 p - 】 p 1 p t 2 1 p 1 p 2 p 上式就是著名的y u l e - w a l k e r 方程，系數(shù)陣為t o e p l i t z 矩陣。 ( 1 ) a r ( p ) 的偏相關(guān)函數(shù) 將a r ( p ) 模型( 2 - 9 ) 寫成_ = 砉妒一，+ a ，代入( 2 3 9 ) 得 a