大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 復(fù)合材料的力學(xué)性能取決于其細(xì)觀結(jié)構(gòu)。如顆粒體構(gòu)成的復(fù)合材料，其力學(xué)性能取 決于顆粒和基體的模量、粘結(jié)強(qiáng)度及顆粒的體積含量和分布方式等細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)。然而， 材料細(xì)觀參數(shù)的不確定性將導(dǎo)致材料宏觀性能的不確定性，這就要求對(duì)復(fù)合材料彈性性 能的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。另一方面，利用均勻化方法、自洽法等細(xì)觀力學(xué)方法確定復(fù)合 材料的宏觀平均性能均以細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度相對(duì)宏觀結(jié)構(gòu)尺度很小這一假定為基礎(chǔ)，而這一 相對(duì)尺度小到什么程度，才能用細(xì)觀力學(xué)的方法獲得準(zhǔn)確的材料性能預(yù)測(cè)值，這是值得 研究的問題。目前，關(guān)于復(fù)合材料細(xì)觀參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特性的影響 和細(xì)觀結(jié)構(gòu)的相對(duì)尺度對(duì)宏觀材料性質(zhì)的影響方面的相關(guān)工作相對(duì)較少。 本文利用基于有限元技術(shù)的均勻化理論，研究顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的 不確定性對(duì)材料宏觀彈性常數(shù)的影響，并用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法統(tǒng)計(jì)其分布規(guī)律。另外，對(duì) 材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng)進(jìn)行探討，分析代表體元尺度相對(duì)細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度對(duì)所確定的材 料宏觀性質(zhì)的影響，尋找準(zhǔn)確描述材料宏觀性能的代表體元相對(duì)細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度的最小相 對(duì)尺度。具體工作包括： 1 在閱讀相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上總結(jié)評(píng)述了復(fù)合材料性能預(yù)測(cè)相關(guān)研究現(xiàn)狀，重點(diǎn)介紹了 復(fù)合材料性能預(yù)測(cè)的細(xì)觀力學(xué)方法、預(yù)測(cè)復(fù)合材料宏觀性能的均勻化理論的基本思 想和實(shí)施過程，以及分析不確定性問題的統(tǒng)計(jì)特征的統(tǒng)計(jì)分析理論和方法。 2 研究了顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料細(xì)觀模型，給出了考慮顆粒形狀、尺度和分布具有不確定 性的細(xì)觀模型的建立過程。以圓形和橢圓形顆粒復(fù)合材料為例，建立了體分比給定 下的顆粒位置在參考域內(nèi)具有均勻分布特征的隨機(jī)分布模型和有限元離散模型。 3 采用均勻化方法，研究了圓形和橢圓形顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)描述參數(shù)( 如顆 粒的大小、形狀、分布方式等) 的不確定性對(duì)宏觀等效彈性常數(shù)的影響，研究了復(fù)合 材料等效性能的統(tǒng)計(jì)特性。 4 。討論了細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度效應(yīng)的影響，以數(shù)值結(jié)果分析了代表體元尺度相對(duì)細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺 度的大小對(duì)確定的材料宏觀等效性質(zhì)的影響，確定了準(zhǔn)確描述材料性質(zhì)代表體元的 最小相對(duì)尺度。 本文工作得到國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目( 1 0 3 3 2 0 1 0 ) 和創(chuàng)新群體基金項(xiàng)目 ( 1 0 4 2 1 2 0 2 ) 、國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究計(jì)劃( 9 7 3 計(jì)劃) 項(xiàng)目( 2 0 0 6 c b 6 0 1 2 0 5 ) 和“新世紀(jì)優(yōu) 秀人才”資助計(jì)劃( 2 0 0 4 ) 的資助。 關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)分析；顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料；不確定性；均勻化方法；尺度效應(yīng) 復(fù)合材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 s t a t i 鰣c a lc h a r a c t e r so f e f 琵c t i v ep r 叩e n i e so f r a n d o mc o m p o s i t em a t e r i a l s a b s t r a c t p r o p e r t i e so fc o m p o s i t em a t e r i a ld 印e n do ni t sm i c r o g 缸u(yù) c n l r e s f o re x a m p l e ，m c m e c h 撕c a ip r o p e n i e so fp a r t i c l er e i f 面r c e dc o m p o s i t e sm 證i yd 印e r mo t h er c p r e s e n t a t i v e p a r 啪e t e r so fm i c r o 蛐m c t i l r e s ：t h em o d m u so fp a r t i c l e sa r l dm a t r i x ，b o n ds 咖g i h ，齜l dt h e v o i u m ec o n t e n 姆a n dd i s 伍b u t i n no fp 刪d e se 協(xié)王 o w 弓v o 毫u n 程t 線n t e so fm i c r n s 妞】c 拙r e i n d u c eu n c e r t a i n t i e so fe f 詫c t i v ep r o p e r t i e s t h e r e f o r es t a t i s t i c a l a n a l y s i s o fe l a s t i c p e r f b r m a l l c ed i s 喇b u t i o no fc o m p o s i t em a t e r i a li sn e c e s s a 巧o n也eo 血e rh a n d ， m i c r o s t m c t u r em e c h a m c a lm e m o d s ，8 u c ha sh o m d g e l l i z a t i o na l l ds e l b c o n s i s t e mm e 山o d ， w h j c ha r ea l lb a s e do n 血ea s s u r n p t i d nt l l a tm i c r o s t l l l c t u r es i z ei sn c g l i g i b l e ，a r eg e n e r a u y u s e dt od e t e m l i n em a c r oa v e r a g ep r o p e r t i e so fc o m p o s i t e s w m i eo nw 砸c hf e v do f 瞌e r e l 砒i v es m a l ls i z cc a nw eg e t 齜f o r e c a s ta c c l l r a c yo fm a t e r i a l p r o p e r t i e sm o u 出 h o m o g e n j 2 a t i o nm e 也o di sa 印b l e mt l a t w o r t hs t u d y i n g a tp r c s e n t ，t h ee f 傳c tb ft 1 1 e r a 工l d o 眥e s so fc o m p o s i t e sm i c r op a r a m e t e r st oi t sm a c r oa v e r a g ep r o p e r t i e ss t a i i s t i cc h a r a c t e r a n dl h a to f m i c r o s t m c t l l r es i z et om a t 嘶a lp r o p e n i e sh a v es e l d o mb e e ns t u d i e d h o m o g e n i z a t i o nm e m o dw h i c hi sb 踮eo nf et e c h n o i o g yi su s e d o ft or e s e 觚h 血ee 腧c t o ne l a s t i cc o n s t a n to fm a c r o s t m c t u r ed l l et ou n c e r t a i 嘣e so fm i c r o s t r l l c n l r ec h a r a c t e r sa i l d a n a 【y 否ot h 出d i s t r i b u 垃n gm 王ew i 出m a t h e m a i c a i 啦a t i s t i 鍶m e 出o d s 融a d d i 亡o n ，出es 蝻o f t 1 1 es c a l ee f i b c to ft h em a t e r i a lm i c r o s t m c t l l r ei sc 硎e do u t ， 也ee f i b c to fr n i c r o s 饑圮t u r e s c a l er e l a i i v er p r e s e n t 砒i v ev o l u m ee l e m e n t ( r v e ) s c a l et od e t e 咖m e dm a t 啊a le f 話c t i v e p r o p e n i e si sa n a l y 勰d ，a i l dt h el e a 3 tr e l a t i v es c a l ew i l i c hd e s c r i b e sm a t e r i a le f 掩c t i v e p m p e n i e sa c c u r a t e l ya n dr e p r e s e n t st h er e l a t i v em i c r o s t r u c t 吡es c a l eo fv 0 1 u m ee l e r n 如t si s t h eo b i e c t i v eo f t h ew o r k t h ec o n c r e c ew o r ki sa s 如i l o w s ： 1 b a s eo nc o r r e l a t e dr e f e r e n c e s ，t h e 舭o ft h eg h m yo fc o m 口o s i t em a t e r i a lp 既f o m l a n c e f b 詫c a s tw a ss u m m a r j z e da n dr e m a r k e d ，m i c r o s t n 工c t u r em e 吐a | 1 j c a lm e 廿】o do fc o m p d s i t e m a t e r i a l sw a sm a i n l yi m r o d u c e d ，也ef 1 1 n d a i 工1 e m a li d e aa n di 如【p l e m e mp r o c e s so f h o m o g e n i z a t i o nb yw h j c hf o r e c a s te f 琵c t i v ep m p e r t i e so fc o m p o s i t em a t e r i a l sa n dt h e t h e o r ya n dm e m q do fs t a t i s t i ca n da n a l y s i 5w i t hw h i c ha n a i y s i ss t a t i s t i c a lc h a r a c t e r so f u n c e n 咖u r o b l e m sw e r ei n n o d u c e di nd e t a i l 2 s 沁d i e dm i c r o s 鈀r em o d e io fp a 歧沁i er e i n 南r c e dm p q s i t e 拄拖鈀矗a i ，s h o w n e s t a b l i s l l i n gp m c e s so fm i c r o s t m c t u r em o d e lw i 也u n c c r t a i n t i e sc o n 8 i d e r i n gp a r t i c l es h a p e ， 5 i z ea n dd i s 出b u t i o nt o o kr d u n d e da l 試o v a l 一s h a p e dp 枷c l er e i n t - o r c e dc o m p o s i t e m a t e r i a l sa se x a r n p l e s ，e s t a b l i s h e dr a n d o md i s t r i b u t i r 培m o d e l si n 7 _ h i c hv o l u m ec o n t e n t 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 w a sg i v e na n dp a r t i c l ep o s i t i o nd i s 伯m e du n i f b m l l yi nt h er e f e r e c ed o m a i l la n dc r e a t e d f i n i t ee l e m e n td i s c r e t em o d e l s 3 w i t l lh o m o g e 工l i z a t i o nm e t l l o d ，s t u d i e dt 1 1 ee f b c to fu n c e r t a i n t i e so fm i c r o s 們j c t u r e p a r 啪e t e r s ( s u c h 聃s i z e ，s h a p ea n dd i s 砸b u t i o ns 夠1 e ) o fr o u n d e da n do v a l s h a p e d p a n i c l er e i 缸b r c e dc o m p o s i t et oe q u i v a i e me l a s t i cc o n s t a n t ，s t u d i e ds t a t i s t i c a lc h a r a c t e r s o f c o m p o s i t e se q u i v a l e n tp m p e r t i e s 4 n l es c a l ee f b c to f 血c r o s t m c t l l r ei sd i s c u s s e di nt m sr e s e a r c h t h ee f 孢c to ft h er a t i oo f r v es c a l et 0m i c r o s 廿u c n l r es c a l et oc e n a i nm a t e r i a le f i b c t i v ep r o p e n i e si s 刪y z e dw i 也 n u m e r i c a lr e s u l t s a n dt 1 1 el e a s tr e l a t i v es c a l eo f r e vw 1 1 i c hd e s c r i b e sm a t e r i a lp r o p e r t i e s c o r r e c vi sf b u n do u t 1 h sr e s e a r c hi ss u p p o n e db yn a t i o n a ln 砷】r es c i e n c ef o l l 士l d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 3 3 2 0 1 0 ) ，也ei 衄o v a t i v er e s e a r c ht e 鋤p r o 伊鋤( 1 0 4 2 1 2 0 2 ) ，n a t i o n a lb a s i cr e s e a r c h p r o 乒鋤叫o 2 0 0 6 c b 6 0 1 2 0 5 ) ，a n db y 也ep r o g 刪咀f 醯n e wc e n t u r ) ，e x c e l l e n t 刪e m si n u i l i v e r s i t 、ro fc h i l l a k e yw o r d s ： s t a t i s t i c a n a l y s i s ： p a r t i c i e - r e i f o r c e d c o m p o s “e s ：u n c e n a i 毋； h o m o g e i z a t i o n ；s c a l ee 蠡f e c t 獨(dú)創(chuàng)性說明 作者鄭重聲明：本碩士學(xué)位論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工 作及取得研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外， 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得大連理 工大學(xué)或者其他單位的學(xué)位或證書所使用過的材料。與我一同工作的同志 對(duì)本研究所做的貢獻(xiàn)均已在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 作者簽名： 日期： 大連理工大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文 大連理工大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者及指導(dǎo)教師完全了解“大連理工大學(xué)碩士、博士學(xué)位論文版權(quán)使用 規(guī)定”，同意大連理工大學(xué)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大連理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，也可采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編學(xué)位論 文。 作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 2 年丘月叢日 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 緒論 1 1 引言 材料是人類歷史的里程碑，是現(xiàn)代文明的重要支柱。石器時(shí)代，銅器時(shí)代，鐵器時(shí) 代，復(fù)合材料時(shí)代，都是按照材料的進(jìn)步與發(fā)展來劃分的。 復(fù)合材料是由單一材料經(jīng)過人工復(fù)合而成的材料，它是一種多相材料和多層次材 料。復(fù)合材料由增強(qiáng)材料( 增強(qiáng)相) 、基體材料( 基體相) 和界面層( 界面相) 組成，增強(qiáng)材 料起著承受載荷的主要作用，其幾何形式有長(zhǎng)纖維、短纖維和顆粒狀物等多種，基體起 著粘結(jié)、支持、保護(hù)增強(qiáng)材料和傳遞應(yīng)力的作用，常采用橡膠、石墨、樹脂、金屬和陶 瓷等。使用復(fù)合材料的目的在于組分材料經(jīng)過復(fù)合后，能更好的發(fā)揮組分材料的優(yōu)勢(shì)和 潛力，盡量的克服組分材料的缺點(diǎn)和弱點(diǎn)。經(jīng)過設(shè)計(jì)的復(fù)合材料可以滿足不同的強(qiáng)度、 剛度、減振、斷裂韌性、壽命、價(jià)格、耐磨性和防腐性等要求。復(fù)合材料有如此多的優(yōu) 點(diǎn)，所以，近幾十年來，復(fù)合材料得到很大的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。其中包括航空航天、 核工業(yè)、汽車工業(yè)、運(yùn)動(dòng)器械、通訊裝置、石油化工、交通運(yùn)輸、醫(yī)療設(shè)備和各種船舶 等( 見圖1 1 ，圖1 2 ) ，現(xiàn)在也逐漸的應(yīng)用到各種橋梁、道路、隧道工程與各種建筑 工程等土木工程方面得到應(yīng)用。在復(fù)合材料可利用的各種優(yōu)異性能中，力學(xué)性能處于重 要的地位。在現(xiàn)有的關(guān)于復(fù)合材料設(shè)計(jì)的所有理論中，力學(xué)原理的研究所達(dá)到的水平和 程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他方面。 圖1 1 各種復(fù)合材料在航天飛機(jī)軌道器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的典型應(yīng)用 f i 9 1 1c l a s s i c a lu s e d0 n a e r o s p a c e p l a i l e 復(fù)合材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 圖1 2 顆粒增強(qiáng)鋁基復(fù)合材料在汽車上的應(yīng)用 f 皓1 2 w i d e i y u s e do n a u t oc a r 復(fù)合材料除了具有良好的力學(xué)性能和物理性能外，它另外一個(gè)重要的特征是它的可 設(shè)計(jì)性。根據(jù)設(shè)計(jì)要求、承載要求、使用壽命、材料性能、工藝水平和經(jīng)濟(jì)因素等進(jìn)行 設(shè)計(jì)，充分發(fā)揮復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性，可減少施工、運(yùn)輸和安裝的工作量，加快 建設(shè)進(jìn)程，取得更大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。因此，對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行設(shè)計(jì)，使復(fù)合材料 的優(yōu)越性得到充分的發(fā)揮是至關(guān)重要的。復(fù)合材料可以定義為細(xì)觀和宏觀兩層次的材 料，人們?cè)趶?fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)與宏觀性能間的關(guān)系這一關(guān)鍵性問題上進(jìn)行了長(zhǎng)期的研 究和探索，力圖用細(xì)觀力學(xué)的原理來設(shè)計(jì)復(fù)合材料，推動(dòng)新型復(fù)合材料的研制與發(fā)展， 進(jìn)而掌握材料增強(qiáng)、增韌的內(nèi)在規(guī)律，特別是在近2 0 年來，取得了非常大的研究成果“”。 由此，材料的設(shè)計(jì)工作深入到更深的層次上，即材料的微觀設(shè)計(jì)。復(fù)合材料的宏觀性能 由材料的微觀結(jié)構(gòu)和相材料的性質(zhì)決定，如果弄清楚了微觀結(jié)構(gòu)和材料宏觀平均性能之 間的關(guān)系，并使材料在受控條件下組成規(guī)定的微觀結(jié)構(gòu)，從而得到具有預(yù)定宏觀性能的 新材料，這就把材料研究從探索、篩選和依靠經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)狀，提高到在理論指導(dǎo)下的有目 標(biāo)的研究和設(shè)計(jì)。 復(fù)合材料可以看作是細(xì)觀和宏觀兩個(gè)層次的材料。宏觀上均質(zhì)的復(fù)合材料，當(dāng)刻畫 尺度小到一定程度時(shí)候，其細(xì)觀層次上也是非均勻的。復(fù)合材料的組份材料、夾雜或顆 粒體積含量及細(xì)觀結(jié)構(gòu)等細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)稍有變化都將引起材料宏觀平均性能的變化。因 此，這就要求我們對(duì)復(fù)合材料的宏觀性能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。隨著復(fù)合材料研究的深入，上 述問題受到越來越多人的重視p 6 】。 復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性勢(shì)必會(huì)引起材料宏觀性能的變化，那么，采用 多大的試樣( 相對(duì)細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度) 獲得的材料性質(zhì)才是準(zhǔn)確的? 在用實(shí)驗(yàn)的手段獲得材料 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 性質(zhì)的時(shí)候，也存在選取試件尺寸的尺度效應(yīng)的問題。因此，尺度效應(yīng)也是迫切需要研 究的問題。 隨著現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，對(duì)高性能復(fù)合材料的研究和開發(fā)也變得十分迫切。經(jīng)典 的復(fù)合材料力學(xué)多偏重于從宏觀的角度對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行研究，忽略了復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié) 構(gòu)及其演化，難以準(zhǔn)確的揭示材料性能。作為一種多相介質(zhì)，復(fù)合材料具有明顯的細(xì)觀 結(jié)構(gòu)特征，因而其力學(xué)性能不僅取決于其組分材料的性質(zhì)，同時(shí)也與緬觀結(jié)構(gòu)有密切的 關(guān)系。近年來，隨著細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展，從復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)入手，對(duì)復(fù)合材料性能的研 究逐漸興起，發(fā)展了較為系統(tǒng)的紹觀力學(xué)方法，解決一些理論和實(shí)際闖題。其中比較有 代表性的有自洽理論及廣義自洽理論、e s h e l i ) y 等效夾雜理論、微分方法、m o r i t a n a k a 方法及利用能量極值原理求上、下限方法等，其中，e s h e l b y 【7 】等效夾雜理論給出了含有 任意非均勻體夾雜的有效彈性模量，對(duì)于夾雜體積分?jǐn)?shù)較小的復(fù)合材料較為適用。在近 十多年中，從物理和數(shù)學(xué)上也發(fā)展了許多方法【8 。1 ”，針對(duì)周期性復(fù)合材料已有數(shù)學(xué)家 l i o n s ，0 l e i n 呔等【8 1 9 j ，發(fā)展了一種多尺度方法。 利用細(xì)觀力學(xué)模型預(yù)測(cè)復(fù)合材料的有效性能，對(duì)于指導(dǎo)復(fù)合材料的微觀設(shè)計(jì)，節(jié)省 實(shí)驗(yàn)費(fèi)用等具有重要意義。但是，預(yù)測(cè)能否準(zhǔn)確，收到許多因素的影響，主要是組分材 料本身性能的分散性以及模型與事物的差異程度。目前，對(duì)于復(fù)合材料的宏觀性能預(yù)測(cè) 方面的工作已經(jīng)很多，但對(duì)于考慮參數(shù)不確定性對(duì)材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特性的影響方面 的工作還較少，據(jù)筆者所知，楊俊等【1 2 】研究了顆粒填充復(fù)合材料在任意宏觀應(yīng)變條件下 代表體元內(nèi)應(yīng)變分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到顆粒與基體的應(yīng)變漲落與宏觀應(yīng)變之間的關(guān)系， 崔俊之、李友云等l l 馴對(duì)顆粒隨機(jī)分布的復(fù)合材料，給出了多尺度周期隨機(jī)分布的表征方 法，h y i l k c h u i l ，h y o g y o u n g k w a k 1 4 j 研究平面應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)下，泊松比的不確定性的 變量響應(yīng)。g f a l s o n e ，n i i l l p 0 1 l o n i a 1 5 】針對(duì)含不確定參數(shù)的有限元模型結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析的 新方法的研究，但是，這些研究工作中，極少涉及到復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性的影 響。本文應(yīng)用均勻化理論研究含周期性微觀結(jié)構(gòu)的顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的參數(shù)的不確定對(duì) 材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特性。 先進(jìn)的復(fù)合材料是高技術(shù)新材料發(fā)展的方向，對(duì)我國國防建設(shè)與國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展有深 遠(yuǎn)的意義，它在軍事上和民用上都具有廣泛的應(yīng)用翦景。大力加強(qiáng)復(fù)合材料力學(xué)的研究 是十分重要的。 1 2 復(fù)合材料力學(xué)的基本理論 在自然界中，存在著大量的復(fù)合材料，如竹子、木材、動(dòng)物的肌肉和骨骼等。從力 學(xué)的觀點(diǎn)來看，天然復(fù)合材料結(jié)構(gòu)往往是很理想的結(jié)構(gòu)，它們?yōu)榘l(fā)展人工纖維增強(qiáng)復(fù)臺(tái) 復(fù)合材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 材料提供了仿生學(xué)依據(jù)。復(fù)合材料的出現(xiàn)可以追溯到古代，人類早已創(chuàng)制了有力學(xué)概念 的復(fù)合材料。例如，古代中國人和猶太人用稻草或麥秸增強(qiáng)蓋房用的泥磚；兩千年前， 中國制造了防腐蝕用的生漆襯布；由薄綢和漆粘結(jié)制成的中國漆器，也是近代纖維增強(qiáng) 復(fù)合材料的雛形，它體現(xiàn)了重量輕、強(qiáng)度和剛度大的力學(xué)優(yōu)點(diǎn)。 1 2 1 復(fù)合材料力學(xué)簡(jiǎn)介 復(fù)合材料力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)新興分支，它研究由兩種或多種不同性能的材料， 在宏觀尺度上組成的多相固體材料，即復(fù)合材料的力學(xué)問題。復(fù)合材料具有明顯的非均 勻性和各向異性性質(zhì)，這是復(fù)合材料力學(xué)的重要特點(diǎn)。復(fù)合材料具有良好的力學(xué)性能( 強(qiáng) 度、剛度、韌性和耐磨性等) 和物理性能( 隔音、導(dǎo)熱、減振、耐熱性和耐腐蝕性等) ，廣 泛應(yīng)用于航空航天、建筑工程、電子、核能工程和汽車制造業(yè)等領(lǐng)域，尤其是航空、航 天等高科技行業(yè)的迅速發(fā)展對(duì)復(fù)合材料的需求增加，使復(fù)合材料力學(xué)性能的研究顯得尤 為重要。 復(fù)合材料力學(xué)可分為復(fù)合材料的材料力學(xué)和復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)力學(xué)兩部分。 復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對(duì)象是用復(fù)合材料組成的各種構(gòu)件。它包括靜力、動(dòng)力 和穩(wěn)定性分析，以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等，屬于宏觀力學(xué)的范疇。 復(fù)合材料的材料力學(xué)包括迭層理論和細(xì)觀力學(xué)。 迭層理論是各單層分別視為均質(zhì)，由單層迭合而成的層合板的性能，取決于各迭層 的性能以及迭層的幾何，因此，迭層理論主要應(yīng)用于各種整齊排列的纖維及織物增強(qiáng)復(fù) 合材料。 細(xì)觀力學(xué)是從微觀角度研究復(fù)合材料組分材料之間的相互影響，以此預(yù)測(cè)復(fù)合材料 的宏觀力學(xué)性能，為材料的設(shè)計(jì)、制造提供依據(jù)。它研究單向復(fù)合材料的平均物理性能 與各相材料的物理性能和相幾何之間的關(guān)系，及研究復(fù)合材料各相材料內(nèi)部的真是應(yīng)力 于應(yīng)變場(chǎng)分布，以及作為確定復(fù)合材料性能與破壞機(jī)理的依據(jù)。細(xì)觀力學(xué)是以復(fù)合材料 中各相材料性能及相幾何作為已知條件，來計(jì)算把復(fù)合材料視為均勻材料的平均性能的 數(shù)值。 因此，研究細(xì)觀力學(xué)的主要目的是，闡明復(fù)合材料性能的機(jī)制，并作為復(fù)合材料設(shè) 計(jì)的理論基礎(chǔ)?？梢酝ㄟ^細(xì)觀力學(xué)預(yù)測(cè)復(fù)合材料的某項(xiàng)性能隨各相材料性能及相幾何變 化的規(guī)律，可以指導(dǎo)設(shè)計(jì)能達(dá)到預(yù)期性能的復(fù)合材料。 對(duì)于復(fù)合材料來說，其組份材料、含量及細(xì)觀結(jié)構(gòu)等參數(shù)稍有變化將導(dǎo)致復(fù)合材料 宏觀性能變化，因而，試圖通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得所有材料的性能是不現(xiàn)實(shí)也是不可行的，從這 一角度來講，復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)和明確的工程背景，是復(fù)合材料發(fā)展的 重要的理論基礎(chǔ)。 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 2 2 復(fù)合材料有效性能的分析方法 對(duì)于任意給定的材料，當(dāng)考察尺度小到一定程度后，都將有非均勻性的特點(diǎn)，另一 方面，均勻材料作為材料的一種理想化連續(xù)介質(zhì)模型，在工程應(yīng)用上取得巨大的成功。 材料復(fù)合的主要目的是利用不同材料相的特殊性，創(chuàng)造出單一材料所沒有的特定性能或 其難具有的優(yōu)異性能。比如在汽車制造業(yè)中廣泛應(yīng)用的顆粒增強(qiáng)鋁基復(fù)合材料與基體合 金相比，比彈性提高3 5 6 0 ，抗拉強(qiáng)度提高4 5 5 5 ，而塑性指標(biāo)保持在5 6 ，并 且還具有在高溫下的疲勞強(qiáng)度穩(wěn)定性和阻尼抗震性，在航空工業(yè)中廣泛應(yīng)用的碳纖維增 強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料，比模量和比強(qiáng)度( 每單位質(zhì)量下的彈性模量和強(qiáng)度) 分別可達(dá)到鋼的 3 倍和4 倍【1 6 】。從微觀結(jié)構(gòu)上看，材料復(fù)合有0 3 復(fù)合( 如顆粒狀復(fù)合材料) 、l 一3 復(fù)合( 如 纖維增強(qiáng)復(fù)合材料) 等多種形式。建立復(fù)合材料性質(zhì)與復(fù)合材料的相材料性質(zhì)及微觀結(jié) 構(gòu)參數(shù)的關(guān)聯(lián)，是實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料的設(shè)計(jì)乃至優(yōu)化基礎(chǔ)。近半個(gè)世紀(jì)以來，人們?cè)诮⑦@ 種關(guān)聯(lián)方面，經(jīng)過不懈地努力取得了大量的成果。近十年來，力學(xué)方面以細(xì)觀力學(xué)和非 均勻材料的力學(xué)為代表，取得了不少新的重要進(jìn)展，成為固體力學(xué)方面最為活躍的領(lǐng)域 之一f 1 7 】。在復(fù)合材料宏觀性能預(yù)測(cè)方面，較為成熟的理論有：p a u l 上下限法、e s h e l b y 等效夾雜理論、自洽及廣義自洽理論、微分方法和m o r i t a i l a k a 方法等。以下簡(jiǎn)要介紹 幾種基本方法和理論： ( 1 ) p a _ 【l l 上下限法 上、下限方法基于復(fù)合材料有效彈性剛度和彈性柔度張量定義的能量形式，通過假 設(shè)復(fù)合材料內(nèi)部的一個(gè)微觀應(yīng)力場(chǎng)，利用余能形式的變分原理，得到彈性剛度的下限。 若假設(shè)一個(gè)微觀應(yīng)變場(chǎng)，利用位能原理，得到有效彈性剛度的上限。這個(gè)方法首先由 p a u l 用于合金材料，之后被用于顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料和纖維增強(qiáng)復(fù)合材料。 早在1 8 8 9 年，v o 西就根據(jù)材料中各相等應(yīng)變的假設(shè)，得到有效剪切模量g 和有效 體積模量夏 石= 一q i = 巧鷺 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中，l 、g ，和群分別為第r 相的體積分?jǐn)?shù)、剪切模量和體積模量，、g o 和鼠分別 為基體材料的體積分?jǐn)?shù)、剪切模量和體積模量。 復(fù)合材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 后來，r e u s s 根據(jù)材料中各相等應(yīng)力的假設(shè)，得到材料的有效剪切模量g 和有效體 積模量k 否：( 窆箬) 一 ( 1 3 ) 磚( 騫 ( 1 4 ) 對(duì)于含有夾雜的復(fù)合材料，p a u l 根據(jù)最小勢(shì)能原理和最小余能原理證明了式( 1 。1 ) 和 ( 1 2 ) 為復(fù)合材料有效楊氏模量的上限，式( 1 3 ) ，( 1 4 ) 為有效楊式模量的下限。但是，用該 方法來預(yù)測(cè)材料性能不夠準(zhǔn)確。 ( 2 ) e s h e l b y 等效夾雜理論 復(fù)合材料等效彈性模量的計(jì)算可以歸結(jié)為在均勻邊界下求其內(nèi)部各離散相的應(yīng)力 和應(yīng)變的平均值問題，復(fù)合材料增強(qiáng)相可以看作嵌入彈性體的夾雜，1 9 5 7 年，英國著名 的科學(xué)家e s h e l b y 在英國皇家學(xué)會(huì)刊中發(fā)表了關(guān)于無限大體內(nèi)含有橢球夾雜彈性場(chǎng)問題 的文章。e s h e l b y 主要的結(jié)論是當(dāng)本征應(yīng)變均勻時(shí)，橢球顆粒內(nèi)部的彈性場(chǎng)也是均勻的， 并可用橢球積分的形式表示出來，這個(gè)解后來就成為等效彈性模量計(jì)算的基礎(chǔ)。 假定復(fù)合材料的平均應(yīng)力和應(yīng)變分別為和勺，各相內(nèi)的平均應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)楹?，各相的彈性常數(shù)張量為乓，則有效彈性常數(shù)張量巧和柔度張量。則定義為： = 巧毛 ( 1 5 ) 勺= q ( 1 6 ) 復(fù)合材料的平均應(yīng)力和應(yīng)變可表示為： 瓦= 吉加d 礦= 砉i i = 古乒肌豁 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 繡是復(fù)合材料夾雜相的個(gè)數(shù)，礦是各相的體分比。由上式可知如果求得各相材料內(nèi)的 平均應(yīng)變和應(yīng)力，則可求得彈性常數(shù)張量和柔度張量。 e s h e l b y 證明了在無限遠(yuǎn)處施加均勻應(yīng)變邊界條件時(shí)，夾雜內(nèi)的應(yīng)變應(yīng)該是均勻的， 并給出了球形夾雜問題的表達(dá)式： 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 k + = 世”+ ( k 一k ”) 希 g + ：g m + ( g f g m ) 型壘型l 9 五“+ 8 g “+ 6 ( 足“+ 2 g “) 喜 u ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) k 和g 代表體積剛度和剪切剛度，足和g + 表示復(fù)合材料的有效性能。 復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的近似方法往往將多夾雜問題轉(zhuǎn)化為單夾雜問題處理，e s h c l b y 等效夾雜理論為細(xì)觀力學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。它在針對(duì)夾雜體積含量較低的情況下，預(yù)測(cè) 材料的力學(xué)性能具有很好的優(yōu)勢(shì)。 ( 3 ) 自治方法 自治方法的思想最早由b r u g g e m a n 提出并用于熱傳導(dǎo)問題。上世紀(jì)6 0 年代， b u d i a n s k y 和h i l l 最早用于預(yù)測(cè)材料的彈性剛度，他們以e s h e l b y 關(guān)于無限均勻介質(zhì)中 含單一異性夾雜的解答為基礎(chǔ)，討論了球形顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的彈性性能。后來，該方 法得到廣泛的應(yīng)用，不僅用于顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料，也應(yīng)用在連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料。 自洽方法所使用的模型是在無限大的均勻介質(zhì)中內(nèi)含單一夾雜模型。均勻介質(zhì)的彈 性性能與復(fù)合材料的有效彈性性能相同。如圖1 3 所示。自治方法的基本思想，就是希 望在均勻邊界條件下的自洽模型求得夾雜相內(nèi)的平均應(yīng)變，從而求得有效彈性剛度張 量。 圖1 3 自洽模型 f i g 1 3s e l 導(dǎo)c o i l s i s t e mm o d e l 但是，由于自洽模型將各個(gè)夾雜之間的相互作用通過均勻介質(zhì)反映出來，但當(dāng)夾雜 體分比較大時(shí)，有效剛度陣的迭代將不收斂。并且，自洽方法無法描述具有連續(xù)相這一 基本特征的復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。最近的研究表明對(duì)于具有連續(xù)基體的復(fù)合材料，自 復(fù)合材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 洽方法違反了相關(guān)的界限。所以，盡管自洽方法能成功的用于多晶體材料的宏觀性能的 研究，但在將其用于單晶體的等效模量的計(jì)算時(shí)，存在缺陷。 ( 4 ) 廣義自洽方法 為了克服自洽方法用于多相夾雜復(fù)合材料的計(jì)算存在的缺陷，k | e m e r ( 1 9 5 6 ) 首先將 廣義自洽方法用于預(yù)測(cè)復(fù)合材料的彈性性能。廣義自洽方法確定復(fù)合材料有效彈性性能 的思想同自洽方法的思想相同。只是廣義自洽模型在自洽模型中的均勻介質(zhì)和夾雜之間 加一層基體材料，不要夾雜和均勻介質(zhì)直接聯(lián)結(jié)，因此，廣義自洽模型是由夾雜、基體 殼和有效介質(zhì)組成。如圖1 4 所示。 國1 4 廣義自治模型 f i 9 1 4g e n e r a l ds e l c o n s i s t e n tm o d e l 采用這一模型，k e m e r 給出了求解含夾雜復(fù)合材料的有效體積模量和剪切模量的表 達(dá)式。c 1 1 d s t e i l s e 和l o 在此基礎(chǔ)上給出了球形顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料等效剪切模量的計(jì)算 結(jié)果。與自洽理論相比，廣義自洽模型更合理，但是，由于放寬了相之間的界面約束， 同時(shí)也給這種模型帶來了解題的難度。 ( 5 ) m o r i - t a n a k m t ) 方法 m t 方法，不同于自洽方法和廣義自洽方法等其他細(xì)觀力學(xué)方法，該方法不從物理 上進(jìn)行簡(jiǎn)化，而是從數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)化模型。m t 法首先是m o r i ，t a i l a l ( a ( 1 9 7 0 ) 提出，并用 于求解含球形夾雜的導(dǎo)熱性預(yù)測(cè)。該方法建立了夾雜相的平均應(yīng)變同基體相的平均應(yīng)變 間聯(lián)系的四階張量，并將這個(gè)依賴于夾雜濃度的四階張量用無限大的基體材料內(nèi)含單一 夾雜問題中夾雜內(nèi)的平均應(yīng)變和均勻應(yīng)變間聯(lián)系張量代替。近年來，該方法受到廣泛的 應(yīng)用，成為預(yù)測(cè)非均勻復(fù)合材料性能的手段之一，但是，m t 方法只適用于夾雜物的體 分比較小的情況。 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 到目前為止，復(fù)合材料材料彈性常數(shù)張量預(yù)測(cè)方面的工作很多，發(fā)展了很多方法， 研究對(duì)象也包括單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料、短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料、編織纖維復(fù)合材料及空 心材料等，對(duì)于顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的彈性常數(shù)的預(yù)測(cè)研究工作也進(jìn)行了很多，但作為材 料微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，微結(jié)構(gòu)分析除了預(yù)測(cè)材料的彈性常數(shù)外，很重要的問題是了解微 觀域上的不均勻性對(duì)位移和應(yīng)力場(chǎng)的影響，也就是在微觀層次上的位移和應(yīng)力的局部場(chǎng) 的確定，以上所述的各種方法都不能解決這個(gè)問題。然而，均勻化理論在這一方面具有 很大的優(yōu)勢(shì)。 1 3 小結(jié) 本章主要介紹了復(fù)合材料的發(fā)展和應(yīng)用，闡述了復(fù)合材料力學(xué)的基本理論，簡(jiǎn)單介 紹了預(yù)測(cè)復(fù)合材料性能的較為成熟幾種方法，同時(shí)指出，均勻化方法在解決微觀層次上 不均勻性對(duì)位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的影響方面具有較大的優(yōu)勢(shì)。下一章將重點(diǎn)介紹均勻化理 論。 復(fù)合材料宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 2 均勻化理論和統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)介 2 1 引言 復(fù)合材料被定義為一種人造材料，它由不同組分的不同材料組成，并且每種材料之 間都有明顯的界面。復(fù)合材料的性質(zhì)不同于單個(gè)組分材料的性質(zhì)。一個(gè)單胞可以認(rèn)為是 復(fù)合材料的一個(gè)簡(jiǎn)單情況，它由實(shí)體和孔洞組成。這種單胞可用于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。在這 種研究中，假定復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)呈周期性或準(zhǔn)周期性。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是它和復(fù)合材料宏觀 尺寸相比，這種不均勻性是很小的。因此，這種類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu) 的復(fù)合材料。 由于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的非均質(zhì)、各異性以及細(xì)觀幾何構(gòu)形的復(fù)雜性，在計(jì)算 它的位移場(chǎng)、應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)時(shí)，傳統(tǒng)的有限元法因網(wǎng)格生成困難和計(jì)算規(guī)模太大而難以 實(shí)現(xiàn)。自7 0 年代初期發(fā)展起來的均勻化理論( h o m o g e n i z a t i o nt h e o r y ) 是套嚴(yán)格的數(shù) 學(xué)理論，一直是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究課題之一。均勻化方法是目前國際上分析復(fù)合 材料宏細(xì)觀力學(xué)性能較為流行的方法，1 9 9 9 年國際雜志( c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g ) 就均勻化方法及其在先進(jìn)復(fù)合材料中的應(yīng)用出了專輯。它從構(gòu)成材料微觀結(jié)構(gòu) 的“單胞”入手，假定胞元具有空間可重復(fù)性，即假設(shè)微結(jié)構(gòu)呈周期性或準(zhǔn)周期性通過 同時(shí)引入宏觀尺度和微觀尺度，從而可以詳盡地考慮材料微結(jié)構(gòu)的影響。它既能從細(xì)觀 尺度分析材料的等效模量和變形，又能從宏觀尺度分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。均勻化理論不同于 一些細(xì)觀力學(xué)方法，它不需要人為地假定胞元的邊界條件，而是采取攝動(dòng)解的形式，將 宏觀結(jié)構(gòu)中一點(diǎn)的位移和應(yīng)力等物理量展開為與細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度相關(guān)的小參數(shù)的漸近級(jí) 數(shù)，并用攝動(dòng)技術(shù)建立一系列控制方程，依據(jù)這些方程可求解出平均化的材料參數(shù)、細(xì) 觀位移和細(xì)觀應(yīng)力。 2 2 均勻化方法的基本理論 均勻化理論的主要思想是，針對(duì)非均勻復(fù)合材料的周期性分布這一特點(diǎn)，選取適當(dāng) 的相對(duì)于宏觀尺度很小并能反映材料組成性質(zhì)的單胞，建立模型，確定單胞的描述變量， 寫出能量表達(dá)式勢(shì)能或余能等，利用能量極值原理計(jì)算變分，得出基本求解方程，再利 用周期性條件和均勻性條件及一定的數(shù)學(xué)變換，便可以聯(lián)立求解，最后通過類比可以得 到宏觀等效的彈性系數(shù)張量、熱膨脹系數(shù)張量、熱彈性常數(shù)張量等系列等效的材料系 數(shù)。近年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展為大規(guī)模的科學(xué)計(jì)算提供了可行性，均勻化方法的 應(yīng)用也隨之廣泛起來?；诰鶆蚧椒ǖ膹?fù)合材料設(shè)計(jì)、材料性能預(yù)測(cè)與優(yōu)化、結(jié)構(gòu)分 析及優(yōu)化在航空航天、交通、建筑、機(jī)械制造、運(yùn)動(dòng)器械等領(lǐng)域都方興未艾。 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 以下簡(jiǎn)要介紹均勻化方法確定材料的宏觀彈性常數(shù)張量的公式及基本思想。有關(guān)均 勻化方法的詳細(xì)情況請(qǐng)參考文獻(xiàn) 1 8 也2 。 嚴(yán)格來講，自然材料和人工材料的絕大部分是非均質(zhì)材料。我們通常認(rèn)為是均質(zhì)材 料的金屬也是由晶粒堆積而成的，在晶粒水平上也具有不均質(zhì)性。它們的非均質(zhì)性可有 它們固有的微結(jié)構(gòu)單胞來描述。單胞的尺度相對(duì)于材料的宏觀幾何尺度來講是很小 的量，設(shè)為s ( 0 s 采用攝動(dòng)技術(shù)得到一系列絕對(duì)位移函數(shù)的各階攝動(dòng)方程，由攝動(dòng)方程可知，具有， 周期的解是與細(xì)觀坐標(biāo)無關(guān)的解2 3 1 ，即“o ( x ，_ y ) = o ( x ) 。因此，實(shí)際上材料宏觀位移可 由下式( 2 1 3 ) 決定： 疆警等d q = 托州q + t 洲【_ + 。群v o 聲 ( 2 1 3 ) 其中。州就是等效彈性張量，它可由( 2 1 4 ) 式確定 硪= 專( 一等坊 ( 2 1 4 ) 式中，是以下細(xì)觀均勻化問題的周期解： f 。一等 券咖- o ，v v ( 2 1 5 ) 其中，y 是周期，式( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 分別為宏觀均勻化問題和細(xì)觀均勻化問題，實(shí)際上 細(xì)觀均勻化問題相當(dāng)于有初始應(yīng)變作用的線彈性問題。可以采用有限元法求解該問題， 由式( 2 1 4 ) 獲得宏觀材料常數(shù)。 2 3 數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它以概率為理論基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)或者觀 測(cè)的數(shù)據(jù)，來研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)研究的問題的客觀規(guī)律性做出合理的估計(jì)和判斷。首先， 介紹幾個(gè)本文涉及到的幾個(gè)基本的概念和統(tǒng)計(jì)分布。 2 3 1 基本概念 一隨機(jī)樣本 設(shè)x 是具有分布函數(shù)f 的隨機(jī)變量，若五，五，五是具有同一分布函數(shù)f 的、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱五，五，e 為從分布函數(shù)f 得到的容量為n 的簡(jiǎn) 單隨機(jī)樣本。 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 即得：若五，五，五是f 的一個(gè)樣本，則置，邑，五的聯(lián)合分布函 數(shù)為 f ( t ，而，x 。) = 兀f ( t ) ( 2 1 6 ) j i l 又如x 具有概率密度f ，則置，五，蜀的聯(lián)合概率密度為： ，( 一，x ：，x 。) = n ，( t ) ( 2 1 7 ) l _ 1 二樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差 設(shè)置，五，瓦是來自總體x 的一個(gè)樣本，五，吒是樣本的觀察值， 則： 樣本均值可以表示為： i ：杰置 ( 2 1 8 ) 樣本的標(biāo)準(zhǔn)差： 廣了 拈括- j 擊喜( 暑坷) ( 2 1 9 ) 統(tǒng)計(jì)方法在數(shù)學(xué)上應(yīng)用較為廣泛，本文中主要用于統(tǒng)計(jì)有效彈性模量隨著某些不確 定性參數(shù)的變化規(guī)律。 2 3 2 統(tǒng)計(jì)分布 在材料科學(xué)中主要應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)分布有正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布以及w e i b u l l 分布。 本文主要利用正態(tài)分布來擬合數(shù)據(jù)，由于在一般的概率統(tǒng)計(jì)教材中均可以看到，本文僅 對(duì)正態(tài)分布作簡(jiǎn)要介紹。 正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)中最重要的連續(xù)概率分布，它被統(tǒng)計(jì)學(xué)家重視的原因不外乎許多自 然現(xiàn)象、工程狀況、商業(yè)問題以及社會(huì)現(xiàn)象等問題，都可以用正態(tài)分布加以敘述；并且 有些離散概率分布與連續(xù)概率分布均以正態(tài)分布為其極限，因此在樣本相當(dāng)大的情況 下，可采用正態(tài)近似法解決這些概率分布問題。 正態(tài)分布的密度函數(shù)為： 復(fù)合材科宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征分析 1一生篳 他) 2 了嘉8 2 一 ( 2 2 0 ) 式中為平均值，表示隨機(jī)變量( 如強(qiáng)度，剛度等) 的數(shù)學(xué)期望；盯為標(biāo)準(zhǔn)差，表示隨機(jī) 變量偏離均值的散步程度；盯越小，表示x 落在均值附近的概率越大。 正態(tài)分布為對(duì)稱分布，其概率密度函數(shù)，( z ) 關(guān)于直線z = 是對(duì)稱函數(shù)，且正態(tài)分 布下的面積和為1 ，且曲線的兩尾端無限延伸。正態(tài)分布概率密度曲線y = 廠( x ) 的位置 完全由均值確定，故參數(shù)是位置參數(shù)。 為了計(jì)算方便，亦可將一般的正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，其標(biāo)準(zhǔn)分布的密度函數(shù)為： 1 一 m ) 2 去8 2 ( 2 2 1 ) v 二以 化成標(biāo)準(zhǔn)分布后，可根據(jù)x 查正態(tài)分布表，這也是正態(tài)分布應(yīng)用廣泛的一個(gè)重要原因。 另外，由于復(fù)合材料中組分材料隨機(jī)性的特點(diǎn)，也導(dǎo)致宏觀材料性能的不確定性，研究 材料微結(jié)構(gòu)的不確定對(duì)宏觀材料的力學(xué)性能是頗為重要的。在這種情況下，其宏觀預(yù)測(cè) 的彈性性能可以用正態(tài)分布來描述。 對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量x 有： 尸( 一3 盯r + 3 盯) = o 9 9 7 4 ( 2 2 2 ) 即隨機(jī)變量落在區(qū)間陋一3 盯，蘆十3 盯】?jī)?nèi)幾乎是肯定事件，而它落在區(qū)間之外的事件基本 上是小概率事件，這就是所謂的“3 叮規(guī)則”，通常也為異常數(shù)據(jù)的取舍提供了依據(jù)。 2 4 小結(jié) 本章簡(jiǎn)要介紹了細(xì)觀均勻化方法的基本理論以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，為本文工作 開展作了理論依據(jù)。 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 復(fù)合材料細(xì)