內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 中文摘要 本文圍繞微分算子領域中的一個重要問題一一譜問題開展研究。首 先分析了一類帶有不定權函數(shù)的高階奇異左定微分算子的譜，用算子理 論的方法得到譜的結果： 一類帶有不定權函數(shù)的高階奇異左定微分算子的譜僅由實的特征值 組成，這些特征值無上界無下界且可以表成 s 允一：sa lsa o 0 a osa i a 2s 其次，研究了區(qū)間( 4 ，6 ) 上帶有不定權函數(shù)的高階奇異左定微分算子 譜可以用其截斷區(qū)間( 口，6 ，) 上的正則微分算子的譜來逼近，其中 l i m 口，= n ，1 i m 6 ，= 6 文章還考慮了一類具有周期系數(shù)和周期不定權函數(shù)的左定微分算子 的本質譜，利用f l o q u e t 理論，得劍它的本質譜具有束狀結構，其端點為 該問題周期和半周期特征值，區(qū)間長度為系數(shù)和權函數(shù)的最小正周期。 全文共分為四個部分：一、緒論；二、一類高階奇異左定s t u r m l i o u v 訂1 e 問題的譜；三、一類高階奇異左定s t u r m l i o u v i l l e 算子譜的 正則逼近；四、一類具有周期系數(shù)和周期權函數(shù)的左定微分算子的本質 譜。 關鍵詞：微分算子，奇異，左定，特征值，譜 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ya ni m p o r t a n tp r o b l e mi nt h ef i e l do fd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ：s p e c t r a la n a l y s i s f i r s tw ea n a l y z et h e s p e c t i u mo fac l a s so f h i g h o r d e rs i n g u l a r1 e f c d e f i n i t es t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r sw “ha ni n d e f i n i t w e i g h tf u n c t i o n w i t ho p e r a t o rt h e o r ym e t h o d ，w eo b t a i nt h a ti t ss p e c t r u mi s c o n s i s t i n go fr e a le i g e n v a l u e sw h i c ha r eu n b o u n d e df r o mb e l o wa n df r o m a b o v e ，a n dc a nb ei n d e x e dt os a t i s f yt h ei n e q u a l i t i e s sa 一2 蔦a 一1 a o 0 九s sa 2s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d yr e g u l a ra p p r o x i m a t i o n so fi t s s p e c t m mo nt h ei n t e r v a l( 口，6 )b yu s i n g i n t e a lt m n c a t i o n ( 口，6 ，)a n d l i m 口，= 口，l i m 6 ，一6 r 1 h e nw ec o n s i d e re s s e n t i a ls p e c t l l l mo fac l a s so fl e f t d e f i n i t es t u n n - l i o u v i l l eo p e r a t o r sw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t sa n da ni n d e f i n i tw e i g h tf u n c t i o n w eo b t a i nt h a ti t se s s e n t i a ls p e c t r u mh a sab a n ds t n l c t u r ea n dt h ee n d p o i n t so f t h e s eb a n d sa r ee i g e n v a l u e so fp e r i o d i ca n ds e m i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n so v e ra ni n t e a 1t h o s el e n g t hi st h ef u n g a m e n t a lp e r i o dw i t hf l o q u e t t h e o r y t h i sp a p e rc o n t a i n s f b u rp a r t s t h ef i r s tp a r t ：a ni n t r o d u c t i o no ft h e b a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m sw ei n v e s t i g a t ea n dm a i nr e s u l t sw eo b t a i ni nt h i s p a p e r t h es e c o n dp a r t ：t h es p e c t r u mo fac l a s so fh i g h o r d e rs i n g u j a rl e f t d e f i n i t es t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r s t h et h i r dp a r t ：r e g u l a ra p p r o x i m a t i o n so f t h es p e c i m mo fac l a s so f h i g h o r d e rs i n g u l a r1 e f t d e f i n i t es t u r m l i o u v i l l e 0 p e r a t o r s t h e f b u r t hp a r t ：e s s e n t i a l s p e c t r u mo fac l a s so f1 e f t d e f i n i t e s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r sw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t sa n da ni n d e f i n i tw e i g h t f i 】n c t i o n 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 k e yw o r d s ： d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，s i n g u l a r ，l e f t d e f i n i t e ，e i g e n v a l u e ， s p e c t r u m 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導下進行的研究 工作及取得的研究成果，盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝 的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也 不包含本人為獲得內(nèi)蒙古師范大學或其它教育機構的學位或證書 而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均 已在論文中作了明確的說明并表示感謝。 日期：) 糾舜彩月1 9 1 日 關于論文使用授權的說明 本學位論文作者完全了解內(nèi)蒙古師范大學有關保留、使用學位 論文的規(guī)定：內(nèi)蒙古師范大學有權保留并向國家有關部門或機構送 交論文的復印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱，可以將學位論文 的全部或部分內(nèi)容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印 或掃描等復制手段保存、匯編學位論文，并且本人電子文檔的內(nèi)容 和紙質論文的內(nèi)容相一致。 保密的 簽名： 日期：，t 功艿年月廠少日 第一章緒論 第一章緒論 微分算子是線性算子中最基本也是應用最廣泛的一類無界線性算予，在數(shù)學物理 及其它工程技術學科中，有許多問題都可以歸結為確定的微分算子問題，其研究領域 包括微分算子的虧指數(shù)理論、自共軛擴張、譜分析、數(shù)值方法以及反問題等許多重要 分支，內(nèi)容浩瀚。 微分算子理論的研究，可以追溯到十九掛紀初的剛體傳熱數(shù)學模型問題，以及為 求備類經(jīng)典數(shù)學物理問題而產(chǎn)生的s t l i r m l i o u v i l le 問題。1 9 1 0 年，h w e y l 將經(jīng)典 的s t u r m l i o u v i l l e 問題推，一到無窮區(qū)f 日j ，丌創(chuàng)了奇異微分算子理論的研究。1 9 2 9 年 s c h r 6 d i n g e r 提出了s c h r 6 d i n g e r 方程的理論框架。1 9 3 2 年v o n n e u m a n n 在其著作中 建立了量子力學的數(shù)學理論，奇異sl u r i n i 。io u v i 】l e 理論成為量子力學的數(shù)學工具。 近一個世紀，凼外許多著名的數(shù)學家如v o n n e u m a n n ，e c t i t c h m a r s h ，j w e i d m a n n ， i m g l a z m a n ，m a n a i m a r k ，w n e v e r jt l ，a z e t t l ，d e e d m u n d s ，h o n g y o uw u 等 從不同的角度進行了大量的研究，耿得了豐富的成梁，使微分算子的研究領域更加廣 泛。 血十年代，我幽北京大學中義棖教授在全因首次倡導開展了s t u r m l i o u v i l l e 問題的研究。二十世紀八十年代以來，曹之江教授，孫炯教授，劉景麟教授，尚在久 教授等從不同角度對s t u r m l i o u v i l l e 問題進行了大量的研究，取得了豐富的成果， 特別是關于對稱微分算子自共軛域的完全描述，j 一自共軛微分算子極限點的判定準 則，j 一對稱微分算子擴張的刻畫和譜的定性定量分析等領域的研究工作具有丌創(chuàng)性。 1 9 9 9 年首次把辛幾何應用到微分算子，用辛空間的子流形來刻畫對稱微分算子的擴 張。2 0 0 1 年王萬義教授用辛空間的子流形來完全刻畫j 一對稱微分算子的擴張。 微分算子的譜分析無論從理論上還是應用上都是十分重要的，它為微分方程眾多 問題提供了統(tǒng)一的解決模式祁磐論框架。常微分算子譜理論的研究主要圍繞譜的定 性、定量分析、特征值的數(shù)值計算等方面而進行，研究方法大體分為分析法和算予法。 這兩種方法的起源可追溯到經(jīng)典的有限區(qū)問上s - i 。問題的研究：即【，i o u v i l l e 的漸近 估計方法和c o u r a n t 的變分方法。 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 分析方法足根據(jù)解析函數(shù)理淪分析預解式，g r e e n 函數(shù)和微分方程解的漸近性質 末判斷微分算予譜的性質這方i 面工作以e c t i t c h m a r s h 和b m i 。e v i t a in 為代表， 在他們的經(jīng)典著作中可以看到對于高階的微分算子，分析方法也是很奏效的。上世紀 四、五十年代，前蘇聯(lián)數(shù)學家m a n a i m a r k ，i m g 1 a z m a n ，v b l i d s k i i 和 b m l e v jt a n 等人，采用分析方法得到許多重要的結論。 用算子理論的方法研究微分算子的譜是近幾十年來廣泛采用的方法，在 m a n a i m a r k ，i m g 1 a z m a n ，e m u l l e r p f e if f e r 關于微分算子譜分析的專著罩使用 的都是線性算子的方法，這種方法的理論基礎是h i l b e r t 空間中閉線性算子的譜理論 和全連續(xù)攝動的相關理論，其主要出發(fā)點有兩個，一是分解的方法，另一是二次型比較 的方法，這些目前為人熟知的方法是近幾十年來由r c o u r a n t ，f r e l l i c h ，k 0 f r i e d r i c h s ，1 m g l a z m a n 等創(chuàng)立并在以后逐步完善起來的；d e e d m u n d s 和 w d e v a n s 在其專著中利用算子的近似數(shù)、s 一數(shù)及空間嵌入算子連續(xù)性、緊性來研究 微分算子的譜也是一種行之有效的辦法。( 以上綜述部分的材料來源于文獻) 近些年來，圈內(nèi)外許多數(shù)學工作者從不同角度，利用分析、算子、嵌入數(shù)估計等方 法對微分算子的譜問題進行了大量研究，取得了很多重要的成果，如w e i d m a n n ， h i n t o n ，k a u f f m a n ，孫炯與d e e d m u n d s ，a k u f u e r ，e m u l l e r p f e i f f e r 合作c l 勺 2 4 一 2 8 及 4 5 卜 4 7 等。 本文僅就高階微分算子的譜進行較為深入的探討，特別是給出了一類帶不定有權 函數(shù)的奇異左定s t u r m “o u v i l l e 算子的譜，奇異左定s t u r m 。l i o u v i l l e 算子的譜的正則 逼近和一類具有周期系數(shù)和周期權函數(shù)s t u 冊l i o u v i l l e 問題本質譜的結果。 1 1 一類帶有權函數(shù)的高階奇異左定s t u r m l io u vii ie 算子的譜 1 9 1 8 年r i c h a r d s 鯽陳述了具有d i r i c h l e t 邊界條件的s t u 唧l j o u v i l l e 問題可能有 非實的特征值。然而，有一類非常重要的s t u m l i o u v i l l e 問題，它只有實的特征值， 這類特殊的s t u 咖l i o u v i l l e 問題被稱為左定的。q k 舳g ，h w u ，z e t t l 和高云蘭，孫炯 分別在f 3 8 1 和f 2 中研究了一類二階和高階的詎則左定s t u m l i 叫v i l l e 問題， 他們的 方法是基于線性常微分方程的基本理論和一些右定s 1 黼一l i o u v i l l e 問題已有的結論， 以二元參數(shù)常微分方程作為關鍵特征來研究。q k o n g ，h w u ，z e l i l 在【4 】中研究了二階 奇異左定問題，他們的方法是基于微分算式 2 第一章緒論 緲) = 型簫業(yè) 和自伴邊界條件所確定的自伴域決定微分算子的譜曲線和一些右定情形的結論，以微 分算式 坳) ：衛(wèi)生墮生業(yè) 和自伴域所決定的微分算子的譜曲線作為關鍵特征，最終得出由方程 一聊七盼= y 和邊界條件所構成的左定s t u m l i o u v i l l e 問題的譜。本文利用算子的方法，研究了帶 有不定權函數(shù)的高階奇異左定微分算子的譜。 1 2 一類高階奇異左定s t u r m l i o u v ；i i e 算子譜的正則逼近 s t u r m l i o u v i l l e 問題，特別是正則的s t u 珊l i o u v i l l e 問題的研究無論是理論上還 是方法上均已十分完備，但是奇異的s t u m l i o u v i i l e 問題的研究在理論和方法上還不 是十分的完備，尤其對于高階奇異左定微分算子更是如此。為此，本文給出了一種行 之有效的方法來研究高階奇異左定微分算子，就是利用正則的左定微分算子的譜來逼 近奇異左定的微分算子的譜。 1 3 一類具有周期系數(shù)和權函數(shù)的高階左定微分算子的本質譜 文獻【9 ，1 0 】中研究了帶有正的權函數(shù)且具有周期系數(shù)s t u 瑚一l i o u v i l l e 問題，它的 本質譜具有束狀結構，其端點為該問題周期和半周期特征值，區(qū)間長度為系數(shù)和權函 數(shù)的最小f 周期。以此為基礎，m m a r l e t t a ，a z e t t l 在文獻【8 研究了二階奇異左定 s t u r m l i o u v i l l e 問題的本質譜，它的本質譜也具有類似于【9 ，1 0 】的性質。本文給出了 具有周期系數(shù)和權函數(shù)的高階左定微分箅子的本質譜。 1 4 本文的主要結果 本文主要圍繞帶有權函數(shù)左定微分算子的譜分析問題展丌研究。全文分為四個部 分，第一章是引言；第二章解決了一類帶有權函數(shù)的高階奇異左定微分算予的譜問題； 第三章研究了帶有權函數(shù)的高階奇異左定微分算子的譜的幣則逼近問題：第四章給出 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 了類具有”刪系數(shù)和權函數(shù)的左定微分算，的本質淆。 本文的t 要結果： ( 一) 利川算了理論的方法，得到如f 結論： 一類；帶有權函數(shù)的高階奇異左定微分算子的譜僅 l 實的特征值組【成，這些特征值 無上界無下界且可以表成 sa 一2sa i a o 0 a osa 15 a ! s ( 二) 區(qū)問( 日，6 ) 上類帶有權函數(shù)的高階奇異左定微分算子的譜可以利用其截 斷區(qū)問( 口，6 ，) 上的j f 則左定微分算子的譜來逼近，即：l i m 九u ，) = 九u ) ( 三) 類具有周期系數(shù)和權函數(shù)的左定微分算予的本質譜具有束狀紺i 構，其端 點為該問題周期和半周期特征值，區(qū)問k 度為系數(shù)和權函數(shù)的最小f 周期。 4 第二章一類高階奇異左定微分算子的譜 第二章一類高階奇異左定微分算子的譜 本章主要考慮如下2 n 階微分方程 柳：2 善( 一1 ) b j 坩) “# a w ( 啪j = ( 口，6 ) ( 2 1 ) 和自伴邊界條件所構成的s t u r m l i o u v i l l e 問題的譜，其中一 口 o 幾乎處處成立。 2 1 基本概念及引理 定義2 1 給定一個函數(shù)y ) ，定義擬導數(shù)如下： y 嘲y = 害，足川，靠 戶h 警柑箬一攔小1 ，2 ，兒 考慮區(qū)i 日j j = ( 口，6 ) 上由方程( 2 1 ) 和自伴邊界條件 彳y 0 ) + 曰y ( 6 ) = 0 構成的高階s t u r m “o u v i l l e 問題，其中彳q 一0 m + = b q 一( 6 ) b ， q = 00 00 - 01 10 01 一10 00 oo 爿，b 是2 n 2 n 復矩陣，尺口以以i b ) = 知 ，y ( t ) = 令h i l b e r t 空問何= ：，i 叫) ，其上內(nèi)積和范數(shù)為： 5 y 【o | ( f ) y 1 1 ( f ) y 陪1 1 ( f ) ( 2 2 ) 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 令d 。，足方程 ( 廠，g ) = f 廠酬，= f i 丌h 朋y a 唧= 宇1 w i y 滿足h i l b e r t 空問= 上：( ，h ) 上的線性子空間， 。一叫叭，【0 1 ，i ”，廠【：p ”酬“川帥，瞥叫， d = 廠d 。：爿， ) + b f p ) = 0 ) ， s 。( a ) ，：塵掣，d 。，s 。( a 夕：s 。i 。( a ) ， l ，礦l 其中s 。 ，) 是s 。q 夕的共軛算子。 ( 2 3 ) 微分算式絲畢在d 中確定的一個白伴算子s ( a ) 滿足s 。；。c s ：5c s 。 1 w l 也就是說，s q ) 可以看作s 。；。q 夕的一個自伴擴張或s 。q 夕的一個限制。 特別地，當a = 0 時，用5 ( 0 ) ，s 。= s 。( 0 ) ，s 。；。；s 。i 。( o ) 表示方程 腳= 善m _ y( 2 4 ) 在d 中確定的白伴算子，最大算子域和最小算子域。 引理2 1 v a 尺，總有d 。( a ) = d 。( 0 ) ，d 。抽( a ) = d 。；。( 0 ) 因此，d 。( a ) 和 d 。( a ) 可以分別地寫為d 。；和d 。 如果s 是方程( 2 4 ) 在d 中確定的一個自伴算子，則v a j r ，算子s q ) ：d h ， 即：s ( a ) ，：絲i ：墮是方程( 2 3 ) 的一個自伴算子且方程( 2 3 ) 的所有自伴算子都可 j ，糾 以通過這利，方法得到，也就是況，方程( 2 3 ) 的所有自伴算子都是由方程( 2 4 ) 的白伴算 子所決定的。 進1 步，如果s ( a ) 對f 某個a 尺是下方有界的，則v a 尺，s ( a ) 都是下方有界 6 第二章一類高階奇異左定微分算子的譜 的。 證明：由d 。( a ) 的定義知，最大算子域d 。( a ) ， 最小算子域d 。i 。( ) 都是不依 賴于a 的，所以，d 。( a ) 和d 。；。 ) 可以分別地寫為d 。和d 。礦 假設s 是dch 中的一個自伴算子，定義算子妒 ) ：一日：廬( a ) 廠= a ( s g n w ) 廠， 則v a 尺，( a ) 在h 上自伴。由于s ( a ) = 5 一q ) ，因此，s ) 在上d 是自伴的。 反之，如果s m ) 在dc 上是自伴的，則s 在d 上是自伴的。 設當a = a + 時，存在c 尺，使得p ) ，) c ( 廠，) ，d ，則v a r ，d ， ( s ( a ) 廠，) ：( 掣，) ：( 塵至二二壟1 1 = _ 塑，廠) 1 w fi w l = ( 塵至彳i 字二! 竺，廠) 一( 羔墨。= = 未 坐互，廠) ( c l a a ) ( 廠，廠) 即，l s ( a ) l ( c l a a i ) ，因此，s 似) 是下方有界的。 注2 1 對于任意九尺，算子s ( a ) 自伴域都是不變的，因而，s ( a ) 自伴域可由 a = 0 給出。盡管s ( a ) 自伴域不依賴于a ，但是自伴算子5 ( a ) 是依賴于a 的。 引理2 2 設s ：d 一日是下方有界的自伴算子，盯。 ) 是5 的本質譜， 對于 甩“= 0 ，1 ，2 ，) ，定義：s ，( s ) ；i n “s u p ( ，廠) ：廠f n u ) ：f g 。+ 。( d ) ) ，其中u 是 h 中的單位球，g 。( d ) 是向量空間d 的一個n 維子空間，則對于每一個固定的，l 。， 我們有： ( i ) 當s 。( s ) = i n f 盯。( s ) 時，s 。( s ) = s 州( s ) = 5 。+ ：( s ) - 且至多有s 的n + 2 特征 值小于等于i n f 口。( s ) ，且這些特征值都屬于s 。( s ) = o ，1 ，2 ，) ，重數(shù)數(shù)計。 ( i i ) 當5 。( s ) 0 ，使得礦苫c ，則稱由方程( 2 1 ) 和d 上的邊界條件( 2 2 ) 所構成的s l u r m l i o u v i l l e 問題是左定的，記為s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 是左定的。 引理2 3若a 尺是算子絲：d 的譜的充分必要條件足o 仃( s ( a ) ) 證明：由s 是微分算式箭在。中確定的葉自伴算張，跟閉的洲卅 洲( 椰等- ( s g n ) 薔也是自伴的，閉的。憫小產(chǎn)，廠隊有 w i 圳h ，i o 年仃( 5 。( a ) ) 尊0 p ( 5 ( 旯) ) 尊s ( a ) ；絲一as g n ( w ) ：d _ 是一一到上的 尊( s g n ( w ) ) s ( a ) = ( s g n ( w ) ) 篙一a ( s g n ( w ) ) ! = 等一a ：。一何是一一到上 1 w l w 靜絲a ：( s g n ( w ) 聲( a ) ：d 一是一一到上的 營a p ( 絲) 營a 彳i 足竺：d 的譜 引理2 4 若s l p o ， 使得f ，= 硝叫，r c 出w 為實函數(shù)知，則九為實的。 v 廠fnd ，( $ ，) = 驢，即：存在c 為白伴算s 的一個下界，也是d ( 5 ) 的一個下界。 又由于c 0 ，所以0 隹盯( s ) ，有引理2 3 知，o 不是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的特征值。 8 第二章一類高階奇異左定微分算子的譜 定義2 3o ；5 ( a ) ( a 尺) 是微分算式掣在d 叫i 確定的一個自伴算子，則稱 l w l 亭= 亭，( a ) = i n f s u p ( 5 ( a ) ，) ：，fn 【，) ：fcg 。( d ) ，門o ，a 尺 是算予s ( a ) 的第盯條譜曲線，其中( ，g ) = f ，司w j 如果v a 尺，亭。( a ) 是s ( a ) 的一個特征值，則稱( a ) ( a 尺) 是s ( a ) 的一條特征 曲線。一般地，一條特征曲線可以包含一些特征值，同時，也可以包含一些本質譜點。 因而，譜曲線可能是特征曲線也可能不是特征曲線。 由s ( a ) 廠；掣知，v ，f n u ，岱( a ) 廠，廠) ；釅一a 哪，從而，譜曲線町 1 w l 以簡化為( a ) = i n “s u p 礦一a 唧：廠fn 【， ：fcg 。+ ，( d ) ) 引理2 5a 是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的特征值的充要條件是存在，l j v 。，使得亭。( a ) = 0 ， 即：0 是算子s q ) 的一個特征值，此時，兩個相應的特征子空間是相等的。 證明：設a 是坳= a w 的特征值，廠是對應于a 的特征函數(shù)，則w = a 吖，即 何一a w ，= o ；宇。( a ) m ，所以，存在，z j v 。，使得( a ) = o 。這晚明。是算子s q ) 的一個特征值且它的特征函數(shù)是廠，所以，兩個相應的特征子空間是相等的。 引理2 6 s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 足左定的充要條件是( 0 ) 0 證明：由譜曲線的定義知，宇。( o ) = i n f f ，：廠fn u ) ，s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 左定 營了c 0 ，使得f ，c 氫( 0 ) 0 引理2 7 對于任意九，a ，r ，都有l(wèi) ( a 。) 一邑( a ，) i 蔓卜一九l0 j 、r 。) 因此， ) 在r 上是連續(xù)的。 證明：v ，d n u ，町= j ：i ，i 2 w 【- 1 ，1 】 若a ，a ，0 ，則擴一a 。渺【礦一a 。，礦+ a 。】，f ，一a ，孵【礦一a 。，礦+ a ，】，由譜 曲線的定義知，( a ) = i n “s u p f ，一a 哪) 卜：i n “s u p f 廠+ a 。) ) ) = m + a ， 亭。( a # ) = j n f s u p 礦一a ，! 砂) ) ，= i n f s u p f ，+ a ， ) ) = f + a _ ， 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 其中m = s u p 礦 ，d n u ，所以， i 亭。( a ) 一( a 。) = l ( m + a ，) 一( m + a 。) = i a 。一a ，i 若a 。 o ，a ，0 ，貝0 壚一a 黟c 廠【j ，一a 。， 廠+ a 。】，f ，一a ，觀廠【礦+ a ，f ，一a 。 ， 專，( a 。) = i n f s u p f ，一a + g 沙 ) = i n f s u p 壚+ a 。) ) = a ，+ a 。， 亭。( a ，) = i n f s u p f ，一a ，! ) ) = i n f s u p f ，一a ，) ) ) = m a ， 其中m = s u p 礦 ，d n u ，所以， l ( a ) 一邑( a 。) i = k m + a ) 一( m a ，) l = 1 a 。+ a ，isi a 。一a 。1 當九，九so 和a 0 ，a ， 0 時，證明同上。 引理2 8 對于，l 。，有l(wèi) i m 曼掣：一1 ，l i m 益嬰：1 n 一。l”“ 證明可以參看文獻【4 】的引理4 2 。 引理2 9 設以o ，a r ，島( 0 ) o 和( a ) o ，亭 是嚴格遞減的， 在e ! = ( a ，亨) ：a 0 ，亭 氏( 0 ) ) 上是尸礦格遞增的。 證明：令a 使得亭。( a ) 亭。( 0 ) 且s 【0 ，宇。( 0 ) 一邑( a ) 】，取九 a ： 0 且 ( ，邑( ) ) ，( a ：，亭。( a ! ) ) e ! ，v 【0 ，島( o ) 一邑 ) 有d k ，cd ，cd nu ， l o 第二章一類高階奇異左定微分算子的譜 由( a ) = i n “s u p ( s ( a ) ，) ：，fn u ) ：fcg 。+ 1 ( ) ( _ d ) ，以o ，a 尺， 其甲d a ，2 【，f f l u ：玎一a 寸t ， 善o ( o ) 一 。j 天口， 對于f = 1 平口i = 2 ， ( ) = i n “s u p 礦一 哪：廠fnd 。 ：fcg 。+ ，( d ，) v ，。扣，出引理2 9 有聊= f i ，i ! w 云，從而， ( 礦一a ，9 釅) 一( 釅一a ：9 v ) ：( a ：一a ，) 9 v ! 生_ ；二! i o ， 兒 即： ( - ) 一 ! ) s 壘毛塵 邑( a ，) ，故在：= ( a ，亭) ：a 0 ，亭 0 ，亭 的特征值且滿足 0 a o 九a 。， 這些特征值僅為s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 在 o ，a ?！績?nèi)的譜點； ( i i ) 若0 足s ( a 。) 。) 的一個特征值，則a - j ，= 0 ，1 ，一，川都是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的特征佰日滿足 一 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 a ，。s 五。朋+ is s 五一ls 亢o o ， 這些特征值儀為s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 在【a 。，0 內(nèi)的譜點： ( i i i ) 若 o 是s ( ，) 。) 和s ( 。) 。) 的一個特征值， 則 a ，= 一，z ，一0 ，0 ，z 都是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的特征值且滿足 a msa 一，忭十l sa ls 九一o o ，在引理2 7 中令a = a ：。，九；o ，則肛。j 幺( 0 ) ( i ) 由假設0 = 毒，( a 。) 是s ( a 。) 的一個特征值知，a 。是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的一個特征 值。 如果a ，；九，( o ，1 ，2 1 ) ) ，則旯，= 九是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的一個特征值。 如果a j a 。( _ ( o ，1 ，2 1 ) 則島q ，) = o 。( a ，) 5i n f 口， ( a ，) ) ，而引 理2 2 知，宇，( a ) = o 是s ( a ，) 的一個特征值。因此，s ( ) 也是s 乙p ( 2 ，1 ) ，( 2 2 ) 一個 特征值，顯然有 o ，貝n 鼻( a ) o ，i = o ；1 ， 一1 由0 量( a 。) i n f 盯。陋( a ) 和引理2 。3 知，0 隹口。岱( a ) 從而，丸不是 s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的譜，因此，在【o ，】內(nèi)，九，五l ，一，九僅是s l p ( 2 i ) ，( 2 2 ) ，的譜點。 在( i i ) 的證明與( i ) 類似，省略。 ( i i i ) 是( i ) 和( i j ) 的一個綜合結果，證明省略。 注：當邊界條件是下列三種情況之一時，定理中的不等式是嚴格成立的。 ( i ) 分離邊界條件；( i i ) 非實勰合邊界條件：( i i i ) 區(qū)間端點中至少有一個是極限 1 第二章一類高階奇具左定微分算子的譜 點型的。 推論2 1設5 ( a ) 是微分算式絲0 之墮在d 中確定的一個自伴算子且 i w i s l p ( 2 1 ) ，( 2 1 2 ) ) 是左定的，對于每個n o ，a + 。和九。分別是島( a ) = 0 的唯一一個 正根和負根。 若對于每一個，z j 。都存在一個，l 。，使得m 甩和o 是s ( a 。) 的一個特征值， 則a ，z = o ，土1 ，l ， 都是s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的特征值且 。s a ：兄一ls a o 0 九s a ls a 2s ， 而且這些特征值儀為( a 一，a + ) 內(nèi)的s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，的譜點，其中a ：。! 驄九 定理2 2 令s 是微分算式髯在d 中確定的一個自伴算子，若仃( s ) 是離散的且 l 圳 盯) 有一個幣的下界，則s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 是左定的，它的譜僅由實的特征值組成， 這些特征值無上界無下界且可以表成 sa 一二sa is a o o 九s 九a ! s 證明：由定義可知，s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 是左定的，由引理2 4 知，s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的譜是實的， 由于d 。( s ) = 聲可知，s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的本質譜就是空集，從而，s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的譜僅由實特征值組成。 由定理2 1 知，s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 有無限多個正特征值九。和負特征值九。，并且滿 足定理2 1 中的不等式。 由于s l p ( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) 的本質譜是空的知，當，z 一一時，a ：一也就是說， 特征值既無e 界也無下界。 1 3 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 第三章一類高階奇異左定微分算子的正則逼近 s t u r m l i o u v i l l e 問題，特別是f 則的s t u r m l i o u v i l l e 問題譜的研究無論是理 論上還是方法上均已十分完備，但是奇異的s t u r m l i o u v il l e 問題譜的研究在理論和 方法上還不是十分的完備，尤其對于高階奇異左定微分算子的譜研究更是如此。本章 給出了一種行之有效的方法來研究高階奇異左定微分算子譜的問題，就是利用f 則的 左定微分算子的譜柬逼近奇異左定的微分算子的譜。 考慮2 n 階微分方程 和邊界條件 腳：2 善( 一1 ) b 舢“) “= a w ( 螄( 口，6 ) ( 3 1 ) 彳y ( 口) + 8 y ( 6 ) = 0 所構成的s t u 曲一l i o u v i l l e 問題( 記做s l p ( 3 1 ) ，( 3 2 ) ) ) 的正則逼近。 其中 一 n o 幾乎處處于j ， 彳q - 1 ( 口m = b q 1 p ) b ，q = 00 00 01 10 01 一10 o0 oo ，y ( t ) = y 0 1 0 ) y 【1 1 ( f ) ( 3 2 ) w 在j 可變號的意思是集合0 ，1w ( f ) o ) 和集合0 jlw ( f ) o ，v 廠0 ，廠d ； ( 3 ) 當a = o 時， s l p ( 3 3 ) ，( 3 2 ) ) 的特征值都是f 的。 證明：( 1 ) 號( 2 ) 假設s = s ( 0 ) 在d 中是一個正算子，則存在c 0 ，使得( ，廠) c ， o ， d ， 內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文 f ，= f ( 聊) 酬w 1 ) ：箭7 洲刪餅箐；m i 刊腳，) i n ( 抄。 ( 2 ) 凈( 1 ) 假設存在c o ，使得礦c ，廠0 ，廠d ，則 俘= f ( 影) 7 0 寄7 號半盂赤私c 何) 7 芑盂薪 。， 這說明算子s 是d 中f 的算子。 ( 2 ) j ( 3 ) 假設f ， 0 ，v ，0 ，廠d ，令島( 0 ) 是s l p ( 3 3 ) ，( 3 2 ) 的最小特征值， ，0 是對應特征值晶( o ) 的特征函數(shù)，則 ，= f ( 慨) 萬= f 芋。( o ) 1 w l ，o 萬= 孝。( o 坊1 ，0 1 2 | w i o ， 因此，氏( 0 ) 0 ，即，當a = 0 時，s l p ( 3 3 ) ，( 3 2 ) 的特征值都是正的。 叫2 觚黼鼢瓶舭引卟南北”0 ，d 因此，礦 0 ，v 廠o ，d 。 定理3 1 說明定義2 2 和3 1 是等價的。 定理3 2 h i l b e n 空i q 中，區(qū)間j = ( 口，6 ) 上的左定s t u 瑚- l i o n v i l l e 問題區(qū)間端點 的分類是一i 依賴于a 和亭的。 證明：由極限點型，振動極限圓型和非振動極限圓型的定義可知定理成立，參看 文獻 4 】中定義2 1 和5 1 。 命題3 1s ( a ) ；s g n ( w ) ( 丁一) 證明：v ，_ d ， s ( a ) 廠；華- s g n ( w ) 盟掣_ s g n ( 曲型 1 w l w i mw ：s g n ( w ) ( 絲一) ：s g n ( w ) ( 丁一盯) 所以，s ( a ) = s g n ( w ) ( 丁一 ) 引理3 1 若丁是左定的，則 ( i ) r 的譜是實的； 1 6 第三章一類高階奇異左定微分算子的正則逼近 ( i i ) 若s ( 0 ) 的本質譜是空集，則r 的本質譜也是空集。 證明：( i ) t 是自伴的，所以，( a ，工) = ( 工，黜) 令a = p + i 口，口o ，則d ， ( 丁一) ( x ) | = ( “一丁) ( x ) f2 = ( ( p + f 口) z 一致，( p + f 盯) 工一及) = ( ( 一丁沁+ f 俄，( 一丁虹+ f 餓) ： = i i ( 一丁) x 曠+ ( ( 一丁) f 儺) + o 餓，( 一丁沁) + | | f 暇| | = l i ( p ，一丁) 戈| | 2 一( ( p ，一r ) x ，d x ) f + ( o x ，( p ，一r ) 工) i + i 口l2 l i 工j l 2 = i l ( 一丁沁lj ! + f 【( 餓，( 一丁沁) 一( ( 一r ) z ，餓) 】+ h ：! = i l ( 一丁) x | 12 + 仃 ( 及，工) 一 ，a ) 】+ i 盯i ! l l z | | 2 = l l ( 一丁) x 8 1 + i 口l ! l k l 【2 l 。 ：肛l i ： 因此，7 h 一材是下方有界的，所以，a p 仃) ，由此可知，t 的曙是實的。 ( i i ) 由s ( a ) = s g n ( w ) ( 丁一村) 和u 。( s ( o ) ) 一礦知，口。( 丁) =