第三章轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡,低速動(dòng)平衡（剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡）工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機(jī)平衡整機(jī)（臺(tái)架）平衡國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO1940高速動(dòng)平衡（柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡）模態(tài)平衡法影響系數(shù)法混合法參考標(biāo)準(zhǔn)：DIS5406柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5343評(píng)價(jià)柔性轉(zhuǎn)子平衡的準(zhǔn)則（參考）,1,第一節(jié)概述,一、剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡1、靜平衡目標(biāo)：平衡靜力方法：隨遇平衡法2、動(dòng)平衡目標(biāo)：平衡力與力矩方法：動(dòng)平衡機(jī)、低速平衡工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機(jī)平衡整機(jī)平衡國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO19403、動(dòng)平衡基本要求1）至少兩個(gè)平衡面，平衡面距離要遠(yuǎn)，并盡能靠近支點(diǎn)；平衡配重半徑位置要盡可能大，以便達(dá)到最大效果。,2,2）一步平衡，多為短壽命軍用發(fā)動(dòng)機(jī)采用3）多步平衡，多為長(zhǎng)壽命民用發(fā)動(dòng)機(jī)采用4）平衡方法：尋找重點(diǎn)尋找輕點(diǎn)（頻閃法）影響系數(shù)法極坐標(biāo)矢量圖法三元平衡法5）原理：不平衡力Pj產(chǎn)生支反力FP1與FP2不平衡力矩RL產(chǎn)生支反力FR1與FR2則在支點(diǎn)有合力動(dòng)平衡：動(dòng)平衡精度1）meG0(g.cm)工程實(shí)際應(yīng)用2）eG0(mm/s)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO1940將平衡品質(zhì)分為11個(gè)等級(jí)，按比值為2.5的等比級(jí)數(shù)遞增排列。,3,第二節(jié)柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡,一、柔性轉(zhuǎn)子平衡特點(diǎn)1.柔性轉(zhuǎn)子：nncr1，轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生彎曲變形2.高速動(dòng)平衡：多平面、多轉(zhuǎn)速平衡過程目的：1）將不平衡力與不平衡力偶降到許可范圍2）將n階固有振型不平衡量降到許可范圍3.標(biāo)準(zhǔn)：1）國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5406柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡2）參考標(biāo)準(zhǔn)5343柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡4.方法：1）振型(模態(tài))平衡法2）影響系數(shù)法3）混合法等,4,5.平衡特點(diǎn)1)剛性轉(zhuǎn)子，低速平衡后，在工作轉(zhuǎn)速以下運(yùn)行平穩(wěn)；2)柔性轉(zhuǎn)子，低速平衡后，僅平衡了低速下支承動(dòng)反力，高速下軸產(chǎn)生彎曲變形，彎矩將隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化，支承動(dòng)反力也將發(fā)生變化；3)柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡目的：在工作轉(zhuǎn)速下，盡可能消除支承動(dòng)反力，并使轉(zhuǎn)子沿軸長(zhǎng)的彎矩最小如圖3-1所示，剛性轉(zhuǎn)子有對(duì)柔性轉(zhuǎn)子有,5,F為轉(zhuǎn)子變形產(chǎn)生的離心力。4）影響因素多：a)不同轉(zhuǎn)速下?lián)隙扔绊慴)各階振型對(duì)平衡的影響5）實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)只有少數(shù)幾個(gè)平面可用于平衡；只能在有限個(gè)轉(zhuǎn)速上得到平衡。6）問題：如何利用少數(shù)幾個(gè)平面來(lái)獲得一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的良好平衡。7）假設(shè)條件：a)在一定平衡條件下，軸承振幅與轉(zhuǎn)子不平衡量成正比。b)軸承振幅與不平衡力之間的相位不變。c)轉(zhuǎn)子中非線性因素(如油膜)等影響，不影響上述假設(shè)條件,6,二、轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)一轉(zhuǎn)子為等截面軸，簡(jiǎn)支在各向同性的支承上軸的面積為A，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為A，截面質(zhì)心為G(z)，截面偏心距為(z)，質(zhì)心連線為一空間曲線。如圖所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得到y(tǒng)oz平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程：其中則有由材料力學(xué)可知代入運(yùn)動(dòng)方程得到,7,同理可得到xoz平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為引入復(fù)數(shù)表達(dá)式，令則有式中：為質(zhì)心空間曲線1.設(shè)(z)=0,即無(wú)質(zhì)量偏心的情況，運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)解為代入運(yùn)動(dòng)方程中,8,并令得到特征方程為則所以代入邊界條件：z=0，s(0)=0，z=l，s(l)=0，解得：c2=c3=c4=0，c1sin(kl)=0要求非零解，則c10，所以sin(kl)=0因此有：kl=n得到固有頻率為,9,各階主振型為：前三階振型為2.設(shè)(z)0,即有質(zhì)量偏心的情況，且質(zhì)心按第n階主振型函數(shù)(平面)分布，運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)解為代入運(yùn)動(dòng)方程得根據(jù)假設(shè)，(z)=常數(shù)，則有,10,式中：An為系數(shù)，sn(z)為第n階主振型由運(yùn)動(dòng)微分方程，得到設(shè)特解為Dn為待定系數(shù)代入運(yùn)動(dòng)方程得方程的齊次通解為sn(z)，且有故有特解方程為得到系數(shù)故轉(zhuǎn)軸的振型為由此得到如下結(jié)論：,11,1)若質(zhì)心按第n階振型分布，只激起第n階主振動(dòng)2)轉(zhuǎn)軸振型為一平面曲線，振幅為倍3)當(dāng)n時(shí)，振幅，產(chǎn)生第n階主振型共振3.(z)0,且質(zhì)心為任意空間分布曲線，設(shè)為按主振型分解得即有質(zhì)心分布示意圖見圖3-4所示,12,式中代入運(yùn)動(dòng)方程有設(shè)轉(zhuǎn)軸振型為代入運(yùn)動(dòng)方程得式中Sn(z)為第n階振型函數(shù)，也是對(duì)應(yīng)齊次方程解所以有特解為,13,利用固有振型的正交性，得解得系數(shù)轉(zhuǎn)子振動(dòng)為或,14,三、柔性轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)1.柔度曲線s(z)隨轉(zhuǎn)速而變變化1)0.6c1，系數(shù)將增大，轉(zhuǎn)子振型s(z)是各階主振型合成的空間曲線；3)cn時(shí)，第n階主振型幅值系數(shù)明顯增大，其它各階則小很多；若c1，此時(shí)振型近似有4)隨著轉(zhuǎn)速增加，各階主振型依次突現(xiàn)出來(lái)，一般轉(zhuǎn)子，主要是前三階主振型的影響。比較撓度曲線與不平衡量的關(guān)系，它們展開項(xiàng)相同，幅值相差一個(gè)倍率，考慮阻尼有,15,式中cr為無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。r為撓度曲線各階分量與該階不平衡分量的相位差。由于阻尼影響，即使在臨界轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子振型也不是一根平面曲線，但實(shí)際進(jìn)行動(dòng)平衡時(shí)，仍以無(wú)阻尼的主振型平面加以考慮。3.轉(zhuǎn)子主振型的正交性不平衡分布力在x、y方向的分量為,16,轉(zhuǎn)子撓曲線在x、y軸上的投影為各階不平衡力在yoz平面和xoz平面上對(duì)k階振型做功之和為由主振型正交性,17,可知：1）各階主振動(dòng)之間不發(fā)生能量傳遞；2）n階不平衡分量只能激起n階主振型，不會(huì)激起其它各階振型；3）利用主振型的正交性，可對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行逐階平衡，完成柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡。,18,第三節(jié)模態(tài)平衡法（振型平衡法）,一、模態(tài)平衡法及平衡條件根據(jù)主振型的正交性，可采用逐階平衡的辦法進(jìn)行柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡。對(duì)于一般轉(zhuǎn)子，主要是前三階振型。以等截面軸為例進(jìn)行分析，見圖3-5設(shè)距起始端z1處有一集中重量w1位于半徑R1上，集中重量均勻分布在2b的范圍內(nèi)，以U(z)表示其分布。則式中：,19,取單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m(=A)，則有上式代表集中重量矩折合成單位長(zhǎng)軸段質(zhì)心偏移，按各階主振型展開成式中：Cn1n階主振型系數(shù)，第二個(gè)下標(biāo)表示所加平衡重量編號(hào)；sn(z)各階主振型函數(shù)，假設(shè)為已知。利用正交性，對(duì)折合軸段質(zhì)心偏移展開式兩邊乘以sn(z)，并沿軸長(zhǎng)積分，等式左邊為：等式左邊為：由此可得：,20,若在不同位置z1、z2、zk截面上，分別在半徑R1、R2、Rk處加平衡配重W1、W2、Wk，k個(gè)平衡重量引起轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏移為式中：為了平衡轉(zhuǎn)子第n階主振型分量，要求平衡重量形成的第n階振型質(zhì)心偏移和轉(zhuǎn)子自身第n階主振型質(zhì)心偏移在同一平面上，大小相等，方向相反，即滿足即若有一組k個(gè)最小的不平衡重量Uj，與n階不平衡量相當(dāng),即,21,式中：U(z)轉(zhuǎn)子不平衡量分布函數(shù)。其中：值應(yīng)為最小。稱這組量Uj(j=1k)為第n階振型不平衡當(dāng)量Une，即柔性轉(zhuǎn)子的平衡不考慮阻尼情況下應(yīng)滿足下列三個(gè)力學(xué)平衡方程：,22,方程組中，第一、第二兩式為剛性平衡條件；第三式為柔性平衡條件。二、配重面的選擇及矢量平衡原理1）柔性轉(zhuǎn)子平衡為多平面多轉(zhuǎn)速平衡；2）平衡面選?。河蠳平面及N+2平面法兩種；N平面法：平衡N階振型，選用N個(gè)平衡面；N+2平面法：平衡N階振型，選用N+2個(gè)平衡面。一般N平面法不能完全平衡支承動(dòng)反力。但兩種方法都有使用。平衡面選擇很重要，選擇不當(dāng)將使平衡配重增大。原因：平衡面選擇主要依據(jù)轉(zhuǎn)子振型，實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)平衡面選擇受到限制。圖3-6為N+2平面法的平衡面選取。I、II平衡面消除III、IV、V平衡面對(duì)低速動(dòng)平衡的影響。,23,通常選擇在緊靠支承的位置，以免影響高速時(shí)III、IV、V三個(gè)平面對(duì)振型不平衡量的校正。但由于在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，支承位移較大，I、II平面的校正量對(duì)III、IV、V平面仍有一定干擾。圖3-6(a)為平衡一階振型時(shí)的三個(gè)平面的校正量，平面III的校正量對(duì)二階振型不起作用。圖3-6(b)、(c)為平衡二階及三階振型的校正量組。測(cè)量柔性轉(zhuǎn)子振型比較困難，可以軸承處的振動(dòng)代替測(cè)量轉(zhuǎn)子撓度。即矢量平衡法。圖3-7為矢量平衡三角形：矢量為轉(zhuǎn)子測(cè)點(diǎn)相對(duì)某一角向參考坐標(biāo)測(cè)得的振動(dòng)，矢量為轉(zhuǎn)子上某點(diǎn)加試配重后同轉(zhuǎn)速下測(cè)點(diǎn)與參考坐標(biāo)下測(cè)得的振動(dòng)，則矢量=為試重P的響應(yīng)。為消除原始振動(dòng)，加試配重平面上所需校正量為：,24,式中：稱為影響系數(shù)矢量(用于影響系數(shù)法)稱為反應(yīng)系數(shù)矢量(用于模態(tài)平衡法)試重在原方位反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，其重量按OM對(duì)MN之比放大，即為校正量。平衡步驟：1)在第一階臨界轉(zhuǎn)速附近測(cè)得兩軸承處振動(dòng)矢量、，分解為對(duì)稱矢量，該分量由一階振型分量引起。2）加試配重后，在同一轉(zhuǎn)速下測(cè)得振動(dòng)、，則矢量為試重引起的對(duì)稱振動(dòng)矢量。,25,3）平衡一階振型分量的校正重量為：4）平衡二階振型分量時(shí)，在二階臨界轉(zhuǎn)速nc2附近測(cè)得兩軸承振動(dòng)及，其反對(duì)稱分量為，它由二階不平衡量引起，加反對(duì)稱試重后，測(cè)得兩軸承處的振動(dòng)矢量為及，則矢量即為引起的反對(duì)稱振動(dòng)分量，故應(yīng)加校正量為：,26,三、柔性轉(zhuǎn)子平衡時(shí)的支承動(dòng)反力柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡目的：1）消除支承動(dòng)反力；2）消除轉(zhuǎn)子撓度與彎矩。難于同時(shí)滿足，則以最少的配重使轉(zhuǎn)子在軸向、水平及垂直三方向振動(dòng)在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)最小。柔性轉(zhuǎn)子撓曲振型為：設(shè)各階振型函數(shù)為（簡(jiǎn)支梁情況）：則轉(zhuǎn)子振型為轉(zhuǎn)子原始不平衡n階分量可寫成，則轉(zhuǎn)子變形為,27,支承動(dòng)反力剛性部分由力矩平衡關(guān)系得設(shè)m(z)=m(常數(shù)等截面軸)，上式積分整理得柔性部分支承動(dòng)反力為積分整理得因此，一個(gè)軸承上所受到的總動(dòng)反力為,28,將代入得或由材料力學(xué)，通過振型函數(shù)求導(dǎo)得1.平衡一階振型分量后的支承動(dòng)反力設(shè)（簡(jiǎn)支梁）一階振型分量為C1sin(n/l)，其中則一階撓曲振型為,29,設(shè)采用位于中部的一個(gè)集中質(zhì)量校正，即z1=l/2，校正量為W1R1，由（3-31）式得由于n=1，z=l/2，故有若所選校正量滿足C1=C11，即或此時(shí)，轉(zhuǎn)子中部的一個(gè)校正量W1R1可以使一階不平衡分量獲得平衡，消除了柔性部分的動(dòng)反力。轉(zhuǎn)子一階振型不平衡分量引起剛性部分的動(dòng)反力為校正量W1R1加在中部后，一個(gè)支承上的動(dòng)反力為,30,比較(3-47)和(3-48)，得可見：1）轉(zhuǎn)子中部的一個(gè)集中平衡配重可使轉(zhuǎn)子撓曲得以平衡，但不能全部消除轉(zhuǎn)子的動(dòng)力。2）支承處剛性部分動(dòng)反力只能平衡掉78.5%。3）為消除支承處一階振型全部動(dòng)反力，應(yīng)在支承處同側(cè)平面上加平衡配重W2及W3，若加重半徑相同，則配重之比為：此時(shí)配重可消除轉(zhuǎn)子一階不平衡分量引起的轉(zhuǎn)子撓曲、彎矩及支承動(dòng)反力，但不能消除高階振型分量影響。若工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離高階工作轉(zhuǎn)速，則影響不大。若在轉(zhuǎn)子兩側(cè)加校正量W1R1=W2R2，見圖3-9，則有,31,式中：(z)=1，當(dāng)z1-bzz1+b及l(fā)-z1-bzl-z1+b(z)=1，z在其余各處。由(3-30)得由(3-31)得即設(shè)z1=l/4，取n=1得：為使兩校正量能平衡一階振型不平衡分量，應(yīng)使C11=C1，即,32,或兩個(gè)校正量引起的支承處動(dòng)反力為：由(3-47)可得同樣為完全平衡剛性部分動(dòng)反力，應(yīng)在支承處兩平面上相反方向再加兩個(gè)校正重量W3及W4，若加重半徑相同，則比值為：可見：平衡一階振型不平衡量，轉(zhuǎn)子中部加配重所需重量最少；平衡面越靠近兩支承，需加配重越大。2.平衡二階振型時(shí)的支承動(dòng)反力設(shè)二階不平衡分量為C2sin(2z/l)，其中，由此引起轉(zhuǎn)子二階撓曲振型為：,33,引起兩支承處的動(dòng)反力大小相等、方向相反。為平衡二階不平衡量應(yīng)在兩側(cè)加反對(duì)稱校正量W1R1=-W2R2，如圖3-10所示，則有式中：同理：利用正交性可得即,34,取z1=l/4，n=2，則為平衡二階振型，應(yīng)使C22=C2，此時(shí)有校正量W2R2引起的剛性部分動(dòng)反力為：由(3-42)得兩者之比為：表明：加反對(duì)稱校正量只能平衡支承動(dòng)反力的78.5%。為平衡全部剛性部分動(dòng)反力，有力矩平衡方程得為平衡二階振型分量，應(yīng)使,35,有以上兩式解得：四、模態(tài)平衡的N平面法與N+2平面法1）轉(zhuǎn)子偏心沿軸向及周向分布是隨機(jī)的；2）1957年克勞爾.菲特恩(KlausFedern德)提出N+2平面法W.凱琳貝爾格(Kellenberge瑞士)加以充實(shí)。3）1959年R.E.D皮肖帕(Bishop)提出N平面法4）1970年皮肖帕和凱琳貝爾格對(duì)N平面法和N+2平面法進(jìn)行了評(píng)論，基本獲得共識(shí)。1.基本原理等截面運(yùn)動(dòng)方程為式中：運(yùn)動(dòng)方程也可用矢量形式表示為,36,式中：m(z)單位軸段長(zhǎng)質(zhì)量；作用在轉(zhuǎn)子上不平衡力及校正力之和。設(shè)：=0，可得齊次微分方程的通解，即特征值與特征向量，由主振型正交條件得將按sn(z)展開后求運(yùn)動(dòng)微分方程的特解。由兩部分組成：一是分布的不平衡力，另一部分是集中作用的不平衡力及校正力，其中為集中不平衡量及校正量（如圖3-11）。將按主振型展開,37,且利用正交特性，可求得運(yùn)動(dòng)方程特解為式中第一項(xiàng)為式(3-22)，第二項(xiàng)為集中不平衡量Uk引起。由此可知：當(dāng)接近某cn時(shí)，轉(zhuǎn)子的變形將是該階主振型，其它各階可不考慮。分析支承處動(dòng)反力：由力矩平衡可得,38,將特解代入得當(dāng)M，即方程數(shù)多于未知數(shù)，稱為矛盾方程組，故不存在精確解，只能得到近似解。若NR，可進(jìn)行加權(quán)迭代，使得最大剩余振動(dòng)下降，但其它測(cè)點(diǎn)剩余振動(dòng)有可能增加。但剩余振動(dòng)平方和以不加權(quán)迭代的數(shù)值最小。設(shè)N個(gè)測(cè)振點(diǎn)的加權(quán)因子為i，分別乘以(3-79)兩邊得,58,由最小二乘法得其中加權(quán)因子根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得出，一般推薦，如果剩余振動(dòng)過大，可進(jìn)行第二次迭代，一般迭代12次即可。因此，影響系數(shù)法平衡柔性轉(zhuǎn)子的步驟為：1）確定平衡面數(shù)；2）給定轉(zhuǎn)速下，測(cè)得N個(gè)測(cè)點(diǎn)的原始不平衡振動(dòng)值；3）依次在M個(gè)平衡面上加已知試重，在同樣給定轉(zhuǎn)速下測(cè)出N個(gè)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)值；4）根據(jù)測(cè)量結(jié)果(編程)計(jì)算影響系數(shù);5）利用最小二乘法或加權(quán)最小二乘法求解矛盾方程組，得到校正量；6）校核剩余振動(dòng)：滿足即結(jié)束；若不滿足，進(jìn)入第5)步驟。,59,模態(tài)平衡法與影響系數(shù)法的比較：如果平衡轉(zhuǎn)速選擇在N個(gè)臨界轉(zhuǎn)速附近，并選M=N個(gè)校正面，一個(gè)測(cè)振點(diǎn)。校正平面zj試重qj引起的振動(dòng)為當(dāng)平衡轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速ck時(shí)，上式中以k階響應(yīng)項(xiàng)為主，其它項(xiàng)可忽略，此時(shí)影響系數(shù)為：此時(shí)影響系數(shù)矩陣的每一行與sk(z1),sk(z2),sk(zM)成比例。此時(shí)，兩種方法等效；若平衡轉(zhuǎn)速不選在臨界轉(zhuǎn)速附近，則結(jié)論不成立。,60,第五節(jié)柔性轉(zhuǎn)子其它平衡方法,一、混合平衡法（振型影響系數(shù)法）1.影響系數(shù)法優(yōu)點(diǎn)：可同時(shí)平衡幾階振型，平衡方便，可利用計(jì)算機(jī)輔助平衡，便于實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理自動(dòng)化；缺點(diǎn)：高速下平衡啟動(dòng)次數(shù)多，高階振型敏感性降低，可能存在相關(guān)平面，得到不正確的校正量。2.模態(tài)平衡法優(yōu)點(diǎn)：高速平衡啟動(dòng)次數(shù)少，敏感性高，低階振型不受影響；缺點(diǎn)：振型不易側(cè)準(zhǔn)，系統(tǒng)阻尼大時(shí)不夠有效，對(duì)于軸系平衡時(shí)，在臨界轉(zhuǎn)速附近不易獲得單一振型。3.混合平衡法結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn)，在影響系數(shù)法基礎(chǔ)上，充分利用模態(tài)平衡,61,法中的振型分離特點(diǎn)選擇各項(xiàng)系數(shù)，效果較好。以圖3-14所示轉(zhuǎn)子為例設(shè)在轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)兩階臨界轉(zhuǎn)速，按模態(tài)平衡法中N+2平面法，選取四個(gè)校正面，即N=4，校正面按模態(tài)平衡法選取。如圖中1,2,3,4四個(gè)平面。由振型平衡方程可得,62,式中：簡(jiǎn)寫為上式校正量有唯一解，但是隨機(jī)分布的，無(wú)法直接求解出校正量，利用影響系數(shù)，可列出四個(gè)線性方程若選取合適，上述方程組有唯一解，且滿足式(3-91)。由式(3-92)得式中,63,若值滿足式(3-95)，則式(3-93)的解必滿足式(3-91)。取兩支點(diǎn)為測(cè)點(diǎn)，按振型分離步驟升速，先進(jìn)行低速動(dòng)平衡，轉(zhuǎn)速為0，由式(3-95)得式中上角標(biāo)(0)表示原始狀態(tài)。低速平衡，振型不平衡分量作用很小，上式可簡(jiǎn)化為：可求得兩支承振動(dòng)校正量為,64,由此得到校正量，然后升速至1，進(jìn)行一次高速動(dòng)平衡，測(cè)得兩支承振動(dòng)為：式中：,65,因1接近一階臨界轉(zhuǎn)速，主要為一階振型不平衡分量的作用，上式可近似簡(jiǎn)化為方程組線性相關(guān)，故只能取一個(gè)振動(dòng)值，若，一般取較大的值。按N+2平面法，校正重由下式獲得式中：為相應(yīng)于加一次配重后在轉(zhuǎn)速0時(shí)二支承的振動(dòng)。該方程相容，滿足平衡方程式(3-91)中前三個(gè)方程。即轉(zhuǎn)子可以平穩(wěn)地通過一階臨界轉(zhuǎn)速，又不破壞剛性轉(zhuǎn)子平衡。同理，將轉(zhuǎn)速升到二階臨界轉(zhuǎn)速附近，進(jìn)行高速動(dòng)平衡，平衡轉(zhuǎn)速為2，二支點(diǎn)振動(dòng)可近似簡(jiǎn)化為：,66,同樣，方程組線性相關(guān)，只能取振動(dòng)較大值，此時(shí)校正量為四個(gè)，可由下式求得式中：相應(yīng)為轉(zhuǎn)子加上二次配重后二支承振動(dòng)，該方程滿足平衡方程式(3-91)中的四個(gè)方程。最后得到總校正量為該校正量可使轉(zhuǎn)子在全速范圍內(nèi)達(dá)到平衡,67,二、振型圓平衡法（模態(tài)響應(yīng)圓平衡法）,模態(tài)平衡法要求在各階臨界轉(zhuǎn)速下進(jìn)行平衡，但會(huì)引起過大振動(dòng)，且不穩(wěn)定。振型圓平衡法：利用模態(tài)分析技術(shù)，通過振型圓，在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)分離出該階模態(tài)，尤其適用于多跨軸系。1.基本原理振型圓模態(tài)圓。已知Jeffcott轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為：式中：z=x+iy，令n=c/(2m)，其穩(wěn)態(tài)解為,68,由式(3-100)有由此得故有上式為復(fù)平面上的振型圓方程。圓心在虛軸一側(cè)并與實(shí)軸相切，見圖3-15(a)。經(jīng)過圓心和臨界轉(zhuǎn)速點(diǎn)的直徑OA稱為共振直徑。實(shí)際振型圓不封閉，見圖3-15(b)。特點(diǎn)：,69,1）具有一般模態(tài)圓特征；2）在臨界轉(zhuǎn)速附近，相位變化劇烈，當(dāng)=c時(shí)：ds/d=03）=c時(shí)，=/2，表明不平衡激振力垂直共振直徑，并超前，因而確定了不平衡激振力方向；4）單自由度系統(tǒng)，矢端圓近似為一個(gè)圓，多自由度系統(tǒng)，圖形比較復(fù)雜，但在各階臨界轉(zhuǎn)速附近，矢端圖仍接近一個(gè)圓。圖3-16為一雙支點(diǎn)對(duì)稱轉(zhuǎn)子軸承測(cè)得的振型圓圖，不平衡位于平面1(軸承A)一側(cè)，靠近不平衡量一側(cè)的兩階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的振型圓是同相的；另一側(cè)兩個(gè)振型圓則是反相的。2.平衡方法影響因素：其它振型、初始彎曲、熱變形等。1）（A法）根據(jù)預(yù)先計(jì)算結(jié)果，在臨界轉(zhuǎn)速附近測(cè)得轉(zhuǎn)子或軸承的振幅、相位，繪制振型圖(見圖3-17)。,70,2）（B法）借試重求出影響矢量。特點(diǎn)：1）測(cè)量精度高，數(shù)據(jù)可靠；2）測(cè)量速度快，不需穩(wěn)速測(cè)量；3）平衡精度高，可有效分離振型；4）需具備多點(diǎn)連續(xù)自動(dòng)檢測(cè)和分析裝置。三、限制最大平衡配重法高速微型發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子，由于結(jié)構(gòu)限制，平衡配重受到一定限制，由此，對(duì)轉(zhuǎn)子配重的最大值做出限制，以便在規(guī)定平衡配重的條件下達(dá)到平衡精度要求的目的。1）首先，選擇可用于平衡的面，進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析，剔除相關(guān)平面，確定平衡面數(shù)N；2）對(duì)最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)，限定最大配重量，通過優(yōu)化配置（如遺傳算法等）獲得在限定最大配重條件下的最優(yōu),71,平衡配重組合；3）校核平衡結(jié)果。四、諧波小波在柔性轉(zhuǎn)子平衡中的應(yīng)用1.動(dòng)平衡信號(hào)的特點(diǎn)不平衡引起的振動(dòng)信號(hào)主要是與轉(zhuǎn)速同頻率的正弦波，是振動(dòng)信號(hào)的主要成分，實(shí)際測(cè)量信號(hào)中可能還有2,3,4等倍頻，l/2的亞倍頻，隨機(jī)振動(dòng)等成分，因此實(shí)際信號(hào)可以用下面的模型來(lái)表示：(3-4-1)式中e(t)是測(cè)量實(shí)際信號(hào)，E0是測(cè)量?jī)x輸出的直流信號(hào)，是不平衡量引起的基頻信號(hào)，是各諧波分量。2.諧波小波濾波原理諧波小波為復(fù)小波，在頻域緊支，有明確的函數(shù)表達(dá)式：,72,(3-4-2)圖3.4.1諧波小波時(shí)域圖圖3.4.2諧波小波頻域圖根據(jù)小波理論對(duì)諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號(hào)的正交基。因而，將諧波小波作為基函數(shù)系可以將信號(hào)既不重疊、又無(wú)遺漏地分解到相互獨(dú)立的頻域空間，重構(gòu)轉(zhuǎn)速頻段的信號(hào)即實(shí)現(xiàn)了濾波功能。圖3.4.3二進(jìn)諧波小波對(duì)頻域空間的劃分,73,二進(jìn)諧波小波在高頻段存在頻段帶寬太大的缺點(diǎn)，需要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，寫為更一般的形式：(3-4-3)其中m，n可以不是整數(shù)。取一定步長(zhǎng)k/(n-m)上式變?yōu)椋?3-4-4)定義一對(duì)復(fù)小波系數(shù)(3-4-5)則離散信號(hào)f(r)在頻段2m2n的重構(gòu)為(3-4-6),74,不平衡量信號(hào)是與轉(zhuǎn)速同頻的，因此可以根據(jù)轉(zhuǎn)速信息來(lái)調(diào)整m和n的值，從而達(dá)到控制通帶的帶寬和頻率中心的目的，完全符合自適應(yīng)濾波的要求。m和n的值由下式確定：(3-4-7)其中N為采樣點(diǎn)數(shù)，fs為采樣頻率，fmin和fmax分別為帶通濾波器下截止頻率和帶通濾波器上截止頻率。3.仿真試驗(yàn)為了驗(yàn)證上述方法的有效性，根據(jù)式(3-4-1)建立含噪不平衡量信號(hào)的模型：(3-4-8)不平衡量信號(hào)頻率f1=480Hz，倍頻f2=960Hz，噪聲n(x)，是均值為0，方差為1的高斯白噪聲信號(hào)，采樣頻率12.2kHz，采樣長(zhǎng)度1024，濾波帶寬32Hz，下截止頻率464Hz，上截止頻率496Hz。濾波試驗(yàn)結(jié)果見圖3.4.4,75,圖3.4.4濾波試驗(yàn)結(jié)果圖,76,由圖3.4.4(a)可見不平衡量信號(hào)完全淹沒在噪聲信號(hào)中，無(wú)法獲得信號(hào)幅值和相位信息；圖3.4.4(b)和圖3.4.4(c)分別為無(wú)噪聲干擾的不平衡量信號(hào)和諧波小波濾波后的信號(hào)，兩圖比較可以看出，推廣的諧波小波濾波能夠有效地消除噪聲干擾，較好地還原出了不平衡量信號(hào)，幅值存在微小誤差，相位無(wú)滯后。,77,第六節(jié)柔性轉(zhuǎn)子平衡精度,1.剛性轉(zhuǎn)子：國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO-1940，采用偏心速度評(píng)定。偏心速度Ve可表示為：Ve=e/1000(毫米/秒)式中：e不平衡偏心(微米)，其值為其中：URA轉(zhuǎn)子允許剩余不平衡量(克.毫米)；M轉(zhuǎn)子質(zhì)量(公斤)。乘積e代表了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為時(shí)的質(zhì)心速度，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中按不同的e值將平衡精度分為11個(gè)等級(jí)，各等級(jí)之間公比為2.5.對(duì)于燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子，標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定平衡精度應(yīng)達(dá)到G2.5級(jí)，即偏心速度Ve=12.5毫米/秒，轉(zhuǎn)速較高的轉(zhuǎn)子，Ve相應(yīng)取較小值。確定偏心速度Ve后，可按下式求得轉(zhuǎn)子允許的剩余不平衡量URA,即,78,其中，取最大工作轉(zhuǎn)速。另外，還可以從作用在軸承上的不平衡力F與轉(zhuǎn)子重量W之比值F/W的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)或不平衡偏心e的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)確定。2.柔性轉(zhuǎn)子主要參考文獻(xiàn)：1）ISO/DIS5406撓性轉(zhuǎn)子平衡標(biāo)準(zhǔn)19792）ISO/DIS5343關(guān)于彈性轉(zhuǎn)子中剩余不平衡量的數(shù)值1982。3）參考剛性轉(zhuǎn)子，用當(dāng)量剛性轉(zhuǎn)子允許不要平衡量的某個(gè)百分比來(lái)控制各類轉(zhuǎn)子的剩余不平衡；4）采用機(jī)械振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)作為制定柔性轉(zhuǎn)子平衡精度的準(zhǔn)則，無(wú)論是單頻或多頻振動(dòng)，其速度均方值Vrms為,79,式中：V(t)振動(dòng)速度。在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)，具有相同速度均方值的振動(dòng)，被認(rèn)為具有同等烈