2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,天體的運(yùn)行,如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？,生活中的橢圓,一.課題引入：,橢圓的畫(huà)法,橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,F1,F2,一、橢圓的定義：,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，,兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.,問(wèn)題1：當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么？問(wèn)題2：當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么？,線段F1F2,軌跡不存在,1、橢圓的定義：,平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。,幾點(diǎn)說(shuō)明：,1、F1、F2是兩個(gè)不同的定點(diǎn)；,2、M是橢圓上任意一點(diǎn)，且|MF1|+|MF2|=常數(shù)；,3、通常這個(gè)常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a2c（？）；,4、如果2a=2c，則M點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.,5、如果2a2c)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。,解：以F1F2所在直線為X軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，,則:|MF1|+|MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因?yàn)?a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,兩邊同時(shí)除以a2b2得：,(ab0),這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上。,a,A1,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,三、橢圓方程的幾何意義：,如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎樣呢？,橢圓的第二種形式：,圖形,方程,焦點(diǎn),F(c，0)在軸上,F(0，c)在軸上,a,b,c之間的關(guān)系,c2=a2-b2,P=M|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0),定義,四、兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)照表：,注:,哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！,Y,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：,（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1,（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。,（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。,（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。,例寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,(1)a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上；(2)a=4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；,或,五、數(shù)學(xué)應(yīng)用：,例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,(1)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。,(2)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。,(1)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。,解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：,2a=10，2c=8,即a=5，c=4,故b2=a2-c2=52-42=9,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,(2)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。,解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：,由橢圓的定義可知：,又因c=2，,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,故b2=a2-c2=10-22=6,課堂練習(xí)2：,1.口答：下列方程哪些表示橢圓？,若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).,?,1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：表示一個(gè)圓；,探究與互動(dòng)：,析：方程表示圓需要滿足的條件：,1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)橢圓；,探究與互動(dòng)：,析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：,2019/12/13,21,可編輯,1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)橢圓；,探究與互動(dòng)：,析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：,1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)橢圓；表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。,探究與互動(dòng)：,析：表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓需要滿足的條件：,解題感悟：方程表示橢圓時(shí)要看清楚限制條件，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上。,練習(xí)3：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求k的取值范圍。,方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,解之得：0k4,k的取值范圍為00,n0),(2)求與橢圓x2/5y2/41有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。x2/9y2/81(3)已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點(diǎn)到直線l：xy20的距離為，求橢圓方程。x2/8y2/41,例2、在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？,相關(guān)點(diǎn)法(轉(zhuǎn)移法):即利用中間變量求曲線方程.,P,A,B,M,x,y,o,練習(xí)：課本P42，練習(xí)第4題,七.走進(jìn)高考：,（海南高考（理）第題第一問(wèn)）已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)