初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（62）絕對值甲內(nèi)容提要1. 絕對值的定義：正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零.用式子表示如下：02X00x22. 初中階段學(xué)習(xí)含絕對值符號的代數(shù)式化簡，方程、不等式的解法，以及函數(shù)作圖等.解答時，一般是根據(jù)定義先化去絕對值符號，這時關(guān)健是按已知條件判斷絕對值符號內(nèi)的式子的值是正或是負(fù)，若含有變量的代數(shù)式，不能確定其正、負(fù)時，則采取零點(diǎn)分區(qū)討論法.例如： （1）化簡 解：當(dāng)x=0,x=2時,=0；當(dāng)x2時,=x(x2)=x22x；當(dāng)0x2時，=x(x2)=x2+x.（2）解方程=6.解：當(dāng)x2時，x=4.原方程的解是：x=2， x=4. （3）作函數(shù)y=的圖象.解：化去絕對值符號，得y=2x+2 (x2). 分別作出上述三個函數(shù)的圖象（如圖），就是函數(shù)y=的圖象.3. 絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上一個數(shù)的絕對值，就是表示這個數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離.用這一定義，在解含絕對值符號的方程、不等式時，常可用觀察法.例如：解方程；解不等式；解不等式.解：的幾何意義是：x是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離等于3個單位的點(diǎn)所表示的數(shù)，即3和3，方程的解是x=3, x=3.的幾何意義是：x是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于3個單位的點(diǎn)所表示的數(shù)，不等式的解集是3x3.的零點(diǎn)是x=2, 的幾何意義是：x是數(shù)軸上到點(diǎn)（2）的距離大于3個單位的點(diǎn)所表示的數(shù)，的解集是x1.（如下圖）1-2 0-54. 絕對值的簡單性質(zhì)：絕對值是非負(fù)數(shù)；兩個互為相反數(shù)，它們的絕對值相等.根據(jù)這些性質(zhì)，可簡化函數(shù)的作圖步驟.例如：（1）對整個函數(shù)都在絕對值符號內(nèi)時，可先作出不含絕對值符號的圖象，再把橫軸下方的部份，繞x軸向上翻折作函數(shù)圖象：y= y=（2） 當(dāng)f（x）=f(x),圖象關(guān)于縱軸對稱，這時可先作當(dāng)x0時函數(shù)圖象，再畫出關(guān)于縱軸對稱的圖象.例如：y=x223的圖象，可先作y=x2+2x3自變量x0時的圖象（左半圖）再畫右半圖（與左半圖關(guān)于縱軸對稱）.（3） 把y=的圖象向上平移個單位，所得圖象解析式是y=；把y=的圖象向右平移3個單位，所得圖象解析式是y=.（4） 利用圖象求函數(shù)最大值或最小值，判斷方程解的個數(shù)都比較方便.乙例題例1. 已知方程ax+1有一個負(fù)根并且沒有正根，求a的值.（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解：當(dāng)x0. a1； 當(dāng)x0時，原方程為x=ax+1,x=, 1a0. a1且a1，a的取值范圍是a1.例2. 求函數(shù)y=2的最小、最大值.解：當(dāng)x0時，y=x+6； 當(dāng)0x1.例5. a取什么值時，方程 有三個整數(shù)解？ (1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：化去絕對值符號，得=a, =1a , x2=(1a)， x=2(1a) . 當(dāng)a=1時，x恰好是三個解4，2，0. 用圖象解答更直觀；（1）先作函數(shù) y= 圖象，（2）再作y=a(平行于橫軸的直線 )與y= 圖象相交，恰好是三個交點(diǎn)時，y=1, 即a=1.本題若改為：有四個解，則0a1；一個解，則a不存在；無解，則a0.丙練習(xí)621.方程=4的解是.2.方程=0的解是_.3.方程=3的解是_.4.方程=5的解是.5.不等式25的解集是_.6.不等式5的解集是_.7.不等式3的解集是_.8.不等式的解集是_.9.已知3-x,那么 _.10.關(guān)于x的方程=ax+2有根且只有負(fù)根，求a取值范圍. 11.a取什么值時，方程無解？有解？有最多解？12.作函數(shù)y=的圖象；并求在3x3中函數(shù)的最大、最小值.13.解方程.14. 作函數(shù)y=的圖象.15. 選擇題：（1972、1973年美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）.對于實(shí)數(shù)x ，不等式1x27等價于（）（A）x1或x3（B）