第 5 題圖 六校 2015 屆高三第一次聯(lián)考試題 文 科 數(shù) 學(xué) 本試卷共 4 頁(yè)， 21 小題， 滿分 150 分 考試用時(shí) 120 分鐘 參考公式： 球的體積公式是 343VR,其中 R 是球的半徑 棱錐的體積公式： 13V Sh 其中 S 表示棱錐的底面積， h 表示棱錐的高 一、選擇題 （ 本大題共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1 已知全集 UR ，集合 | 2 3A x x ， 2| 3 4 0B x x x ，那么()UA C B A | 2 4xx B | 3 4x x x或 C | 2 1xx D | 1 3xx 2 函數(shù) )22sin(2 xy 是 A 最小正周期為 的偶函數(shù) B最小正周期為 的奇函數(shù) C 最小正周期為2的偶函數(shù) D最小正周期為2的奇函數(shù) 3已知 命題 p ： 1x， 2 10x ，那么 p 是 A 1x， 2 10x B 1x， 2 10x C 1x， 2 10x D 1x， 2 10x 4 已知 i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 3 ( 1 2 )z i i 的虛部為 A 2 B 2 C 1 D 1 5 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是 A 4 B 133 C 143 D 5 6 設(shè)變量 xy， 滿足約束條件： 222yxxyx ，則 32z x y 的 第 9 題圖 B ODAC第 15 題圖 最小 值為 A 2 B 4 C 6 D 8 7 已知數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和 2 2nS n n，則 2 18aa = A 36 B 35 C 34 D 33 8 在 ABC 中，角 ,ABC 所對(duì)的邊分別為 ,abc， 若 222a b bc ， sin 3 sinCB ，則 A A6 B3 C 23 D 56 9 若右邊的程序框圖輸出的 S 是 126，則條件 可為 A 5n B 6n C 7n D 8n 10橢圓2243xy 1 的左右焦點(diǎn) 分別為 1F 、 2F ，點(diǎn) P 是橢圓上任意一點(diǎn)， 則12PF PF的取值范圍是 A (0,4 B (0,3 C 3,4) D 3,4 二、填空題（ 本大題共 5 小題，每小題 5 分，滿分 20 分其中 14 15 題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第一小題計(jì)分 ） 11 設(shè)平面向量 3 , 5 , 2 , 1ab ，則 2ab 12 若直線 l 與冪函數(shù) nyx 的圖象相切于點(diǎn) A (2,8) ，則直線 l 的方程為 13已知函數(shù) c o s ( 0 )()( 1 ) 1 ( 0 )xxfxf x x ，則 44( ) ( )33ff （請(qǐng)考生在以下二個(gè)小題中任選一題作答，全答的以第一小題計(jì)分） 14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程 選做題 ） 在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線 1 : 2 sinC 與 2 : 2 co sC 的交點(diǎn)分別為 AB、 ，則線段 AB 的垂直平分線 的極坐標(biāo)方程為 15 （幾何證明選講選做題） 如右圖，從圓 O 外一點(diǎn) A 引圓 的切線 AD 和割線 ABC ，已知 23AD ， 6AC ， 圓 O 的半徑為 3，則圓心 O 到 直線 AC 的距離為 三、解答題（本部分共計(jì) 6 小題，滿分 80 分， 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 ，請(qǐng)?jiān)谥付▍^(qū)域內(nèi)作答，否則該題計(jì)為零分） 16（本小題滿分 12 分） 已知 平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn) (0 1)A ， ， ( 2 0)B ， ， (c o s s in )C ， （ (0, ) ）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向 量 BA 與向量 OC 共線 （ 1）求 tan 的值； （ 2）求 sin 24的值 17 （本小題滿分 12 分） 某小組共有 A B C D E、 、 、 、五位同學(xué)，他們的身高（單位 :米）以及體重指標(biāo)（單位 :千克 /米 2）如下表所示： A B C D E 身高 1 69 1 73 1 75 1 79 1 82 體重指標(biāo) 19 2 25 1 18 5 23 3 20 9 （ 1）從該小組身高低于 1 80 的同學(xué)中任選 2 人，求選到的 2 人身高都在 1 78以下的概率； （ 2）從該小組同學(xué)中任選 2 人，求選到的 2 人的身高都在 1 70 以上且體重指標(biāo)都在18 5， 23 9)中的概率 B D C A A1 B1 C1 D1 第 18 題圖 18（本小題滿分 14 分） 如右圖 ,在底面為平行四邊形的四棱柱 1 1 1 1A B C D A B C D 中 , 1DD 底面ABCD , 1AD , 2CD , 60DCB （ 1）求證 :平面 11ABCD 平面 11BDDB ； （ 2）若 1D D BD ,求四棱錐 11D A BCD 的體積 19 （本小題滿分 14 分） 設(shè) na 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 , nb 是等差數(shù)列 ， 且 111ab， 3513ab ，5321ab （ 1） 求 數(shù)列 na ,nb 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè)數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，求數(shù)列 nnSb 的前 n 項(xiàng) 和 nT 20 (本小題滿分 14 分 ) 已知 拋物線 21 :8C y x 與雙曲線 222 : 1 ( 0 , 0 )xyC a bab 有公共焦點(diǎn) 2F ，點(diǎn) A 是曲線 12,CC在第一象限的交點(diǎn)，且 2 5AF （ 1）求雙曲線 2C 的方程； （ 2）以雙曲線 2C 的 另一 焦點(diǎn) 1F 為圓心的圓 M 與 直 線 3yx 相切，圓 N ：22( 2 ) 1xy 過(guò)點(diǎn) (1, 3)P 作互相垂直且分別與圓 M 、圓 N 相交的直線 1l 和 2l ，設(shè) 1l被圓 M 截得的弦長(zhǎng)為 s ， 2l 被圓 N 截得的弦長(zhǎng)為 t ，問(wèn)： st是否為定值？ 如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是， 請(qǐng)說(shuō)明理由 21（本小題滿分 14 分） 已知 ,P x y 為函數(shù) 1 lnyx 圖象上一點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線 OP 的斜率 k f x （ 1）若函數(shù) fx在區(qū)間 1,3mm 0m上存在極值，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ 2）當(dāng) 1x 時(shí)，不等式 1tfx x 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍； （ 3）求證： *1l n ( 1 ) 2nii i n n N 文科數(shù)學(xué)參考答案 一 選擇題（ 10 小題，每小題 5分，共 50 分） 二 填空題（ 本大題共 5 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 ） 11 52 12 1 2 1 6 0xy 13 1 14 2s i n ( )42（與其等價(jià)的極坐標(biāo)方程皆可） 15 5 三解答題 （本部分共計(jì) 6 小題，滿分 80 分， 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 ） 16 （本題滿分 12 分） 解： （ 1） 法 1： 由題意得： (2,1)BA ， ( c o s , s i n )OC ， 2 分 /BA OC ， 2 s i n c o s 0， 1tan2 5 分 法 2： 由題意得： (2,1)BA ， ( c o s , s i n )OC ， 2 分 /BA OC ， BA OC ， 2 cos1 sin， 1tan2 5 分 （ 2） 1tan 02 ， 0, ) ， (0, )2 ， 6 分 由22s i n 1c o s 2s i n c o s 1 ，解得 5sin5 ， 25cos5 ， 8 分 5 2 5 4s i n 2 2 s i n c o s 25 5 5 ； 9 分 22 4 1 3c o s 2 c o s s i n 5 5 5 ； 10 分 4 2 3 2 2s i n ( 2 ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n4 4 4 5 2 5 2 1 0 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D B C C B B D 12 分 17 （本小題滿分 12 分） 解： （ 1） 從身高低于 1 80 的同學(xué)中任選 2 人 ， 其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： (A， B)， (A， C)， (A， D)， (B， C)， (B， D)， (C， D)， 共 6 個(gè) 由 于 每 個(gè) 人 被 選 到 的 機(jī) 會(huì) 均 等 ， 因 此 這 些 基 本 事 件 的 出 現(xiàn) 是 等 可 能的 4 分 選到的 2 人身高都在 1 78 以下的事件有： (A， B)， (A， C)， (B， C)， 共 3 個(gè) 因此選到的 2 人身高都在 1 78 以下的概率為1 3162P 6 分 （ 2） 從該小組同學(xué)中任選 2 人 ， 其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： (A， B)， (A， C)，(A， D)， (A， E)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (C， D)， (C， E)， (D， E)， 共 10 個(gè) 由 于 每 個(gè) 人 被 選 到 的 機(jī) 會(huì) 均 等 ， 因 此 這 些 基 本 事 件 的 出 現(xiàn) 是 等 可 能的 10 分 選到的 2 人身高都在 1 70 以上且體重指標(biāo)都在 18 5， 23 9)中的事件有： (C， D)， (C， E)， (D， E)， 共 3 個(gè) 因此選到的 2 人的身高都在 1 70 以上且體重指標(biāo)都在 18 5， 23 9)中的概率為2 310P 12 分 18 (本題滿分 14 分 ) 解 ： （ 1 ） 證明： 在 ABD 中 , 由余弦定理得：22 2 c o s 3B D A D A B A D A B D C B ， 所以 2 2 2A D B D A B , 所以 90ADB , 即AD BD ， 3 分 又四邊形 ABCD 為平行四邊形 ,所以 BC BD ， 又 1DD 底面 ABCD, BC 底面 ABCD, 所以1DD BC ， 4 分 又 1D D BD D ,所以 BC 平面 11BDDB , 5 分 又 BC 平面 11ABCD , 所 以 平 面 11ABCD 平面11BDDB 6 分 （ 2） 法一： 連結(jié) 1BD ， 1 3D D B D， 1 6BD 解法一 圖 B D C A A1 B1 C1 D1 M BC 平面 11BDDB ，所以 1BC BD ， 8 分 所以四邊形 11ABCD 的面積11 11262A B C DS B C B D ， 10 分 取 1BD 的中點(diǎn) M ，連結(jié) DM ，則 1DM BD ，且 62DM， 又平面 11ABCD 平面 1BDD ,平面 11ABCD 平面 1BDD 1BD ， 所以 DM 平面 11ABCD ， 13 分 所以四棱錐 11D A BCD 的體積： 111 13 A B C DV S D M 14 分 法二 : 四棱錐 11D A BCD 的體積1 1 1D A B D D B C DV V V， 8 分 而三棱錐 11D ABD 與三棱錐 1D BCD 底面積和高均相等， 10 分 所以1 1 12 A B D D B C D D B C DV V V 1 2 13 B C D B C DS D D 14 分 19（本小題滿分 14 分） 解： （ 1）設(shè) 數(shù)列 na 的公比為 ( 0),qq 數(shù)列 nb 的公差為 d ， 依題意得： 421 2 2 11 4 1 3dqdq ， 2 分 消去 d 得422 2 8 0qq 22( 4 ) ( 2 7 ) 0qq ， 3 分 0q 2q ，由 2q 可解得 2d 4 分 12 , 2 1 .nnna b n 5 分 （ 2）由 （ 1）得 21nnS ，所以有： 1 1 2 2n n nT S b S b S b L 1212( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )n nb b b L 121 2 1 22 2 2 ( )n nnb b b b b b LL 7 分 解法二 圖 B D C A A1 B1 C1 D1 令 12122 2 2 n nS b b b L 則 2 3 1122 2 2 2 n nS b b b L - 得 ：1 2 3 12 2 2 2 2 2 2 ( 2 1 ) 2 ,nnSn L 10分 2 3 12 ( 1 2 2 2 ) ( 2 1 ) 2nn L 2 1 12 1 2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2n 1( 2 3 ) 2 6 ,nSn 12 分 又 212 (1 2 1 )2n nnb b b n L， 13 分 12( 2 3 ) 2 6nnT n n 14 分 20 （本小題滿分 14 分） 解 : （ 1） 拋物線 21 :8C y x 的焦點(diǎn)為 2(2,0)F ， 雙曲線 2C 的焦點(diǎn)為 1( 2,0)F 、 2(2,0)F ， 1 分 設(shè) 00( , )A x y 在拋物線 21 :8C y x 上，且2 5AF， 由 拋 物 線 的 定 義 得 ， 0 25x ， 0 3x ， 20 83y ，0 26y ， 3 分 221| | ( 3 2 ) ( 2 6 ) 7AF ， 4 分 又 點(diǎn) A 在雙曲線 2C 上，由雙曲線定義得 ： 2 | 7 5 | 2a ， 1a ， 雙曲線 2C 的方程為： 22 13yx 6 分 （ 2） st為定值下面給出說(shuō)明 設(shè)圓 M 的方程為： 2 2 2( 2 )x y r ， 圓 M 與 直 線 3yx 相切， 圓 M 的半徑為223 31 ( 3 )r ， 故圓 M ：22( 2 ) 3xy 7 分 顯然當(dāng)直線 1l 的斜率不存在時(shí)不符合題意， 8 分 設(shè) 1l 的方程為 3 ( 1)y k x ，即 30k x y k ， 設(shè) 2l 的方程為 13 ( 1 )yxk ，即 3 1 0x k y k ， 點(diǎn) 1F 到直線 1l 的距離為1 2| 3 3 |1kdk， 點(diǎn) 2F 到直線 2l 的距離為2 2| 3 1 |1kdk， 10 分 直線 1l 被圓 M 截 得 的 弦 長(zhǎng)2 2223 3 6 3 62 3 211k k kskk ， 11 分 直線 2l 被圓 N 截得的弦長(zhǎng)2 2223 1 2 3 22 1 21k k ktkk ， 12 分 226 3 6 6 ( 3 ) 32 3 2 2 ( 3 )s k k k kt k k k k ， 故 st 為定值3 14 分 21 (本題滿分 14 分 )