摘要 利率是金融市場(chǎng)上的基礎(chǔ)價(jià)格變量之一，利率期限結(jié)構(gòu)是由某個(gè)時(shí)點(diǎn)上不同 期限的利率所組成的一條曲線。市場(chǎng)利率的動(dòng)態(tài)規(guī)律和利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型一 直以來(lái)就是金融研究的重要領(lǐng)域之一，國(guó)外對(duì)這方面已有深入的研究，國(guó)內(nèi)在這 方面的研究則開(kāi)展較晚，尚未形成對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型的系統(tǒng)性的研究，而 且對(duì)這方面的研究結(jié)論也存在著較多爭(zhēng)議。本文在總結(jié)國(guó)內(nèi)外有關(guān)利率期限結(jié)構(gòu) 的理論和研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)中國(guó)國(guó)債的利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了相關(guān)實(shí) 證研究，得出了一些富有現(xiàn)實(shí)意義的結(jié)論。 論文首先對(duì)國(guó)內(nèi)外有關(guān)利率期限結(jié)構(gòu)的研究進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹，包括利 率期限結(jié)構(gòu)形成理論、靜態(tài)估計(jì)方法、利率變動(dòng)的行為特征和主成分分析、利率 期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型及估計(jì)方法。在隨后實(shí)證研究的前兩部分中，本文用上海證券 交易所的國(guó)債交易數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行了靜態(tài)估計(jì)，并利用所得 利率期限結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)對(duì)利率的變動(dòng)進(jìn)行了主成分分析，得出了關(guān)于我國(guó)利率變動(dòng)行 為特征的一些基本結(jié)論。在實(shí)證研究的后一部分中，本文針對(duì)短期利率和收益率 曲線的變動(dòng)建立了模型，通過(guò)分析模型的估計(jì)結(jié)果，對(duì)中國(guó)的利率變動(dòng)的行為特 征進(jìn)行了研究，并探討了如何對(duì)利率動(dòng)態(tài)行為建模。最后，在對(duì)實(shí)證研究結(jié)果總 結(jié)的基礎(chǔ)上，本文探討了未來(lái)的研究方向。 本文的創(chuàng)新之處是：通過(guò)對(duì)我國(guó)國(guó)債利率變動(dòng)的主成分分析，發(fā)現(xiàn)影響不同 期限利率變動(dòng)的因素并不相同，并據(jù)此提出用中短期利率和長(zhǎng)期利率作為驅(qū)動(dòng)收 益率曲線變動(dòng)的兩個(gè)因素，建立雙因素模型來(lái)擬合中國(guó)市場(chǎng)利率的變動(dòng)。 本文的主要結(jié)論有：( 1 ) 中國(guó)的市場(chǎng)利率也具有均值回復(fù)現(xiàn)象和水平效應(yīng)， 期限短的利率具有更快的均值回復(fù)速度和更強(qiáng)的波動(dòng)性；( 2 ) 影響不同期限利率 變動(dòng)的因素并不相同，影響中短期利率變動(dòng)的主要為水平因素，而影響長(zhǎng)期利率 變動(dòng)的主要為水平和斜率因素；( 3 ) 對(duì)于中短期利率的動(dòng)態(tài)變化，只需建立單因 素的模型，而如果要綜合描述收益率曲線的變動(dòng)，可以采用以中短期利率和長(zhǎng)期 利率的變動(dòng)為兩個(gè)因素的雙因素模型。 關(guān)鍵詞：期限結(jié)構(gòu)；主成份分析：最大似然法 a b s t r a c t t h ei n t e r e s tr a t e si so n eo ft h ef u n d a m e n t a lp r i c ev a r i a b l e si nt h ef i n a n c i a l m a r k e t s ，t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t ei st h ec u r v ef o r m e db yi n t e r e s tr a t e so f d i f f e r e n t m a t u r i t i e s m o d e l i n gt h ed y n a m i co fi n t e r e s tr a t ei sa l w a y so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t t o p i c so f f i n a n c er e s e a r c h t h ef o r e i g na c a d e m i cr e s e a r c h e r sh a v ed o n em u c hr e s e a r c h o nt h i st o p i ca n dd e v e l o p e ds om a n yt e r ms t r u c t u r em o d e l s d o m e s t i cr e s e a r c ho nt h i s t o p i cb e g a nf r o mr e c e n ty e a r s ，a c a d e m i cr e s e a r c h e r sh a v en o tm a d eas y s t e m a t i c r e s e a r c ha n dt h e r ew e r es t i l l m a n ya r g u m e n t so ns o m ep r o b l e m b a s e do nf o r m e r t h e o r i e sa n dr e s e a r c h ，t h i sd i s s e r t a t i o nm a k e ss o m ee m p i r i c a lr e s e a r c ho f m o d e l i n gt h e t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e si nc h i n aa n dr e a c h e ss o m er e a s o n a b l ec o n c l u s i o n s t h i sd i s s e r t a t i o nr e v i e w ss y s t e m a t i c a l l yt h er e s e a r c ho nt e r ms t r u c t u r ea tf i r s t ， i n c l u d i n gh y p o t h e s i so ft e r m s t r u c t u r ef o r m a t i o n ，m e t h o d so fe s t i m a t i n gt e r m s t r u c t u r e ，d y n a m i cb e h a v i o ro fi n t e r e s tr a t e ，p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i so ft e r m s t r u c t u r e ，d y n a m i cm o d e l sa n dm e t h o d so fe s t i m a t i n gt h e s em o d e l s i nt h ef o l l o w i n g e m p i r i c a lt e s tp a r t ，t h i sd i s s e r t a t i o nu s e st h eh i s t o r i ct r e a s u r y - b o n dp r i c ed a t ao f s h a n g h a is t o c ke x c h a n g et oe s t i m a t et e r ms t r u c t u r ea n ds t u d i e st h ed y n a m i cb e h a v i o r o fi n t e r e s tr a t e si nc h i n a ，i n c l u d i n gt h es h a p eo ft e r ms t r u c t u r e ，m a i nf a c t o r so f d y n a m i cc h a n g eo ft e r ms t r u c t u r e i nt h el a s tp a r to fe m p i r i c a lt e s t ，t h i sd i s s e r t a t i o n u s e st w od i f f e r e n td y n m n i cm o d e l s ，s u c ha st w o f a c t o r sc k l sa n dt w o f a c t o r g e n e r a l i z e dm o d e l st om o d e lt h ed y n a m i co fs h o r t t e r mi n t e r e s tr a t ea n dy i e l dc u r v e ， a n dg e t ss o m ec o n c l u s i o n st oe x p l a i n i n gt h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft e r ms t r u c t u r eo f c h i n a i nt h ee n d ，t h i sd i s s e r t a t i o ns u m m a r i z e sm yr e s e a r c ha n dd i s c u s s e sp r o s p e c to f r e s e a r c hi nt h i st o p i c t h ei n n o v a t i o no ft h ed i s s e r t a t i o ni st h a tb yc o n d u c t i n gp r i n c i p a lc o m p o n e n t a n a l y s i so ft e r ms t r u c t u r eo fc h i n a ，if i n dt h ef a c t o r sw h i c ha f f e c tt h ed y n a m i c b e h a v i o ro fi n t e r e s tr a t e so fd i f f e r e n tm a t u r i t i e sa r ed i f f e r e n t ，s o u s i n gs h o r t ， m e d i u m t e r mr a t ea n dl o n g t e r mr a t ea st w of a c t o r st ob u i l dat w o f a c t o r sm o d e li s r e a s o n a b l ew a yt om o d e l i n gt h ed y n a m i co fi n t e r e s tr a t e si nc h i n am a r k e t ， t h em a i nc o n c l u s i o n so fm i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ：1 i n t e r e s tr a t e si nc h i n a m a r k e ta l s os h o wm e a nr e v e r s i o na n dl e v e le f f e c t ，a n dt h es h o r t t e r mr a t e sh a v ef a s t e r m e a l lr e v e r s i o ns p e e da n ds t r o n g e rv o l a t i l i t yt h a nl o n g t e r mr a t e s 2 t h ef a c t o rw h i c h a f f e c t st h ed y n a m i cb e h a v i o ro fs h o r ta n dm e d i u m t e r mr a t ei sl e v e l ，a n dt h ef a c t o r s w h i c ha f f e c tt h ed y n a m i cb e h a v i o ro fl o n g t e r mr a t e sa r el e v e la n ds l o p e ；3 f o r m o d e l i n gt h ed y n a m i co fs h o r ta n dm e d i u m - t e r mr a t e s ，i to n l yn e e dt ob u i l da o n e f a c t o rm o d e l ，b u tf o rl o n g - t e r mr a t e so rt e r ms t r u c t u r eb u i l d i n gat w o f a c t o r s m o d e li sam o r es u i t a b l ec h o i c e k e y w o r d s ：t e r m s l r u c t u r e ；p r i n c i p l e c o m p o n e n t a n a l y s i s ；m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t i o n 第一章導(dǎo)論 第一章導(dǎo)論 本章簡(jiǎn)要介紹了選擇利率期限結(jié)構(gòu)模型作為研究課題的背景和意義、文章的 結(jié)構(gòu)安排以及本文的創(chuàng)新之處。 第一節(jié)研究的背景、目的和意義 利率是借方為在一定期限內(nèi)使用貸方提供的資金而付給貸方的報(bào)酬的一種 度量，它是金融市場(chǎng)上的基礎(chǔ)價(jià)格變量之一。利率期限結(jié)構(gòu)( t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e s ) 是某個(gè)時(shí)點(diǎn)上不同期限的利率所組成的一條曲線，它也可以表示為 某個(gè)時(shí)點(diǎn)零息票債券的收益率曲線( y i e l dc u r v e ) 。市場(chǎng)利率的動(dòng)態(tài)規(guī)律和利 率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型一直是金融領(lǐng)域一個(gè)十分重要的研究課題。 在研究市場(chǎng)利率動(dòng)態(tài)規(guī)律的過(guò)程中，國(guó)外學(xué)者們通過(guò)對(duì)國(guó)外的利率數(shù)據(jù)的實(shí) 證研究發(fā)現(xiàn)，市場(chǎng)利率存在顯著的均值回復(fù)( 線性漂移) 現(xiàn)象，而利率的波動(dòng)則 存在所謂的“水平效應(yīng)( 1 e v e le f f e c t ) ”( 即利率波動(dòng)受到利率水平的影響) 。對(duì)于 利率是否存在非線性漂移，學(xué)術(shù)界還未有得到統(tǒng)一的結(jié)論。為了更準(zhǔn)確刻畫(huà)利率 的動(dòng)態(tài)規(guī)律，學(xué)者們提出了很多模型，如v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 、c i r ( 1 9 8 5 ) 、c k l s ( 1 9 9 2 ) 、b r e l m a n s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 、h o l e e ( 1 9 8 6 ) 、h u l l w h i t e ( 1 9 9 0 ，1 9 9 4 ) 、 b d t ( 1 9 9 0 ) 、h j m ( 1 9 9 2 ) 等。此外，還有針對(duì)市場(chǎng)利率變動(dòng)的非正態(tài)性、尖 峰厚尾以及波動(dòng)聚集效應(yīng)( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ) 所提出的更為復(fù)雜的模型，如隨 機(jī)波動(dòng)模型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ) 、b h k ( 1 9 9 6 ) 加入g a r c h 效應(yīng)的模 型、馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型以及跳躍一擴(kuò)散模型。 可以看出，國(guó)外在研究利率動(dòng)態(tài)規(guī)律和期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型方面已有長(zhǎng)足的進(jìn) 步，得出了一些基本結(jié)論，并形成了一套完備的理論體系。而在我國(guó)，這方面的 研究是近幾年才開(kāi)展起來(lái)的。朱世武和陳健恒( 2 0 0 3 ) 對(duì)利率的變動(dòng)進(jìn)行了主成 分分析，研究了收益率曲線的主要變動(dòng)形式。謝赤和吳雄偉( 2 0 0 2 ) 通過(guò)廣義矩 法，用中國(guó)貨幣市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，對(duì)v a s i c e k 模型和c i r 模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。林海 和鄭振龍( 2 0 0 4 ) 通過(guò)一個(gè)可變波動(dòng)率的純跳躍模型對(duì)中國(guó)政府利率變動(dòng)行為進(jìn) 行了模擬和分析，并在考慮g a r c h 效應(yīng)的基礎(chǔ)上研究了中國(guó)市場(chǎng)利率的動(dòng)態(tài)行 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 為。范龍振( 2 0 0 3 ) 使用兩因子v a s i c e k 模型對(duì)上海證券交易所的國(guó)債利率進(jìn)行 了實(shí)證分析。這些對(duì)研究我國(guó)市場(chǎng)利率變動(dòng)規(guī)律和如何建模等問(wèn)題進(jìn)行了初步而 有益的嘗試。 通過(guò)對(duì)我國(guó)在這方面的實(shí)證研究的綜合考察，筆者發(fā)現(xiàn)：國(guó)內(nèi)研究者們建立 的模型主要都是用于刻畫(huà)短期利率的變動(dòng)，對(duì)于收益率曲線變動(dòng)行為特征建模的 則比較少。此外，國(guó)內(nèi)研究很多都集中于驗(yàn)證某些模型，如v a s i c e k 、c 瓜、c k l s 等，而對(duì)這些模型加以擴(kuò)展的則比較少?；谶@些認(rèn)識(shí)，本文的研究目的就是要 綜合分析收益率曲線上各點(diǎn)利率的變動(dòng)特征，并嘗試尋找一個(gè)合理的模型來(lái)刻畫(huà) 我國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特征。研究的意義在于：可以為資產(chǎn)定價(jià)、金融產(chǎn)品定 價(jià)、利率風(fēng)險(xiǎn)管理等提供支持。 第二節(jié)文章的結(jié)構(gòu)安排 本文總共分為四章。 第一章是導(dǎo)論。簡(jiǎn)要介紹利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型的研究背景、研究目的、研 究意義、論文的結(jié)構(gòu)安排、論文的創(chuàng)新和不足之處等。 第二章是文獻(xiàn)回顧。主要對(duì)國(guó)內(nèi)外有關(guān)利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型的研究進(jìn)行一 個(gè)比較全面的文獻(xiàn)綜述。此章分為五個(gè)部分，包括利率期限結(jié)構(gòu)的形成理論、利 率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)、利率變動(dòng)的主成分分析、利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型以及利率 期限結(jié)構(gòu)模型的實(shí)證研究成果。 第三章是中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)證研究。主要是利用中國(guó)的實(shí)際數(shù)據(jù)( 上海 證券交易所國(guó)債交易的歷史數(shù)據(jù)) 來(lái)研究中國(guó)市場(chǎng)利率的動(dòng)態(tài)特征及尋找合適的 模型來(lái)描述利率的變動(dòng)。為了分析影響中國(guó)市場(chǎng)利率變動(dòng)的因素，筆者對(duì)中國(guó)利 率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行了主成分分析。本章中還分別用兩個(gè)模型來(lái)擬合短期利率和利率 期限結(jié)構(gòu)的變動(dòng)，模型估計(jì)的結(jié)果也印證了主成分分析所得到的某些結(jié)論，也為 如何對(duì)中國(guó)利率變動(dòng)行為建模提供了參考。 第四章是本文的結(jié)論。主要總結(jié)了本文在理論研究、實(shí)證分析中的一些重要 結(jié)論，并對(duì)今后進(jìn)一步研究的方向做了探討。 第一章導(dǎo)論 第三節(jié)本文的創(chuàng)新和不足之處 本文的創(chuàng)新之處有： 1 通過(guò)對(duì)我國(guó)國(guó)債利率變動(dòng)的主成分分析，發(fā)現(xiàn)影響不同期限利率變動(dòng)的 因素是不同的。對(duì)于中短期利率的變動(dòng)，只用水平因素就能很好的解釋；而對(duì)于 長(zhǎng)期利率或收益率曲線上各點(diǎn)利率的變動(dòng)，需要用水平、斜率和曲度等多種因素 來(lái)解釋。 2 對(duì)于中短期利率變動(dòng)，本文嘗試用雙因素c k l s 模型來(lái)擬合。模型估計(jì) 結(jié)果表明兩個(gè)模型中利率漂移函數(shù)的參數(shù)比較接近，可以看成是受同利率水平 因素的影響，更為重要的是雙因素c k l s 模型中的兩個(gè)隨機(jī)因素具有很高的相關(guān) 性，即可以將它們看為一個(gè)因素，故對(duì)于中短期利率變動(dòng)來(lái)說(shuō)建立單因素動(dòng)態(tài)模 型比較合適。對(duì)于收益率曲線的變動(dòng)，本文選擇中短期利率和長(zhǎng)期利率作為驅(qū)動(dòng) 收益率曲線變動(dòng)的兩個(gè)因素，建立了雙因素模型，并在中短期利率過(guò)程的漂移項(xiàng) 中加入了非線性漂移。模型估計(jì)結(jié)果表明中短期和長(zhǎng)期利率過(guò)程的漂移函數(shù)的形 式是不同的，反應(yīng)了它們分別受到不同的利率水平因素，以及斜率和曲度因素的 影響。同時(shí)，驅(qū)動(dòng)中短期和長(zhǎng)期利率的隨機(jī)因素相關(guān)度較低，即不能把它們認(rèn)為 是同一個(gè)因素，故將中短期利率和長(zhǎng)期利率分別作為驅(qū)動(dòng)收益率曲線的兩個(gè)不同 因素的假設(shè)是合理的。 以上兩點(diǎn)創(chuàng)新對(duì)于研究如何建立的利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型，以更好的描述利 率變動(dòng)的行為特征具有較好的參考價(jià)值。 本文的不足之處體現(xiàn)在： 1 模型尚不完善。對(duì)于中國(guó)利率變動(dòng)的非正態(tài)性、尖峰厚尾現(xiàn)象和波動(dòng)聚 集效應(yīng)，學(xué)者們提出在模型中加入g a r c h 效應(yīng)、機(jī)制轉(zhuǎn)換和跳躍因子來(lái)提高模型 的擬合效果。在本文的實(shí)證研究中，有鑒于在模型中增加上述因子會(huì)增加不少參 數(shù)，加大了模型參數(shù)估計(jì)的難度，故爾沒(méi)有采用，這就使得模型對(duì)中國(guó)利率變動(dòng) 的解釋效果打了不少折扣。 2 文章中沒(méi)有對(duì)模型的總體擬合效果進(jìn)行考察，而僅僅是從參數(shù)的顯著性 來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)利率變動(dòng)行為特征描述的效果。 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 第二章文獻(xiàn)回顧 第一節(jié)有關(guān)利率的基本概念及常用記號(hào)的定義 p ( t ，t ) ：指r 時(shí)刻到期的零息票債券在f 時(shí)刻的價(jià)格。 r ( t ，) ：指丁時(shí)刻到期的零息票債券在t 時(shí)刻以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的到期收益率。 f ( t ，r ) ；指丁時(shí)刻到期的零息票債券在t 時(shí)刻的瞬白j 遠(yuǎn)期利率。 ，( f ) 或l ：瞬時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率或稱為短期利率。 使用上述記號(hào)，r ( t ，t ) ，f ( t ，t ) 也可以被表示為 聊伊 半 f ( t , t ) = 箐= 半 于是，債券價(jià)格p ( t ，t ) 可以表示為： 尸( f ，丁) = e - r ( t , t ) ( r - o 或p ( f ，) = e 一s j ) 出 第二節(jié)利率期限結(jié)構(gòu)形成理論 利率期限結(jié)構(gòu)是指在某個(gè)時(shí)點(diǎn)上不同期限的利率所組成的一條利率曲線。利 率期限結(jié)構(gòu)形成理論討論的是某一定時(shí)間債券的期限和收益率之間的關(guān)系的利 率理論。由于不同期限的利率之間存在差異，所以利率期限結(jié)構(gòu)可能有好幾種形 狀：向上傾斜、向下傾斜、下凹、上凸等。為了解釋這些不同形狀的利率期限結(jié) 構(gòu)的內(nèi)在原因及作用機(jī)制，學(xué)者們提出了幾種不同的理論假設(shè)。 一市場(chǎng)預(yù)期理論( m a r k e te x p e c t a t i0 1 3t h e o r y ) 美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家i r v i n gf i s h e r ( 1 8 9 6 ) 第一個(gè)提出了市場(chǎng)預(yù)期影響期限結(jié)構(gòu) d 第二章文獻(xiàn)回顧 形狀的假說(shuō)，后來(lái)i h i c k s 和fl u t z 將它發(fā)展成了市場(chǎng)預(yù)期理論。 市場(chǎng)預(yù)期理論假設(shè)當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)完全取決于對(duì)未來(lái)利率變化的一種預(yù) 期，即預(yù)期未來(lái)即期利率等于遠(yuǎn)期利率。該假設(shè)中隱含著幾個(gè)重要的前提條件： 1 投資者對(duì)債券的期限沒(méi)有偏好，投資行為完全取決于預(yù)期收益。 2 所有市場(chǎng)參與者都有著相同的預(yù)期。 3 不同期限的債券之間可以完全替代。 4 金融市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)。 在這些假設(shè)前提下，債券市場(chǎng)就會(huì)通過(guò)投資者在不同期限的債券之間的選擇 和競(jìng)爭(zhēng)達(dá)到均衡。在這個(gè)均衡下，相同期限內(nèi)不同投資方式所獲得的預(yù)期收益率 應(yīng)該是相同的。 市場(chǎng)預(yù)期理論的基本結(jié)論是：債券的長(zhǎng)期利率是短期利率的函數(shù)。該理論對(duì) 收益率曲線的解釋是： 1 如果未來(lái)每年的短期利率一樣，則現(xiàn)期長(zhǎng)期利率就等于現(xiàn)期短期利率， 收益率曲線表現(xiàn)為一條直線。 2 如果未來(lái)的短期利率上升，則現(xiàn)期長(zhǎng)期利率將大于現(xiàn)期短期利率，收益 率曲線表現(xiàn)為一條向上傾斜的曲線。 3 如果未來(lái)的短期利率下降，則現(xiàn)期長(zhǎng)期利率將小于現(xiàn)期短期利率，收益 率曲線表現(xiàn)為一條向下傾斜的曲線。 市場(chǎng)預(yù)期理論為不同期限債券利率不同的原因提供了一種解釋。但這一理論 存在著明顯的缺陷。首先，它以人們對(duì)未來(lái)短期債券利率具有某種確定的預(yù)期為 前提，即社會(huì)不存在由不確定性而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，這與現(xiàn)實(shí)生活不符。其次，它認(rèn) 為資金在短期資金市場(chǎng)與長(zhǎng)期市場(chǎng)間的轉(zhuǎn)移是完全自由的，事實(shí)上，資金的轉(zhuǎn)移 受多種因素的影響。再次，它對(duì)未來(lái)短期債券的利率是如何形成的沒(méi)有加以說(shuō)明， 由于缺乏短期債券利率形成的基礎(chǔ)，長(zhǎng)期債券的利率也無(wú)法確定。 二市場(chǎng)分隔理論( m a r k e ts e g m e n t a tio nt h e o r y ) 市場(chǎng)分隔理論由諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者f - m o d i g l i a n i 于1 9 6 7 年提出。 該理論認(rèn)為，期限不同的債券的市場(chǎng)是完全隔離的，每一種期限的債券的利 率是由對(duì)那種期限的債券的供求關(guān)系決定的，而不受其他期限的債券的預(yù)期報(bào)酬 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 率的影響。由于不同市場(chǎng)之間的差異以及投資者面臨的眾多投資限制，比如風(fēng)險(xiǎn) 水平的限制、頭寸的限制等，他們不會(huì)輕易地離開(kāi)原先的市場(chǎng)而進(jìn)入一個(gè)不同的 市場(chǎng)，從而導(dǎo)致了不同市場(chǎng)之間的利率差異。該理論認(rèn)為期限不同的債券根本沒(méi) 有替代性，不同期限的利率，不論短期或長(zhǎng)期都只是由各自的供求情況決定，彼 此之間并無(wú)交叉影響，因此，不能簡(jiǎn)單地把長(zhǎng)期利率看成是預(yù)期的短期利率的函 數(shù)，長(zhǎng)期利率的高低應(yīng)該取決于長(zhǎng)期資金的供求狀況。 該假設(shè)隱含的前提條件是： 1 投資者對(duì)不同期限的債券有不同的偏好，只關(guān)心他所偏好的那種債券的 預(yù)期收益水平。 2 投資者對(duì)投資組合的調(diào)整有一定的局限性。 3 期限不同的債券是完全不可替代的。 4 投資者是理性的。 市場(chǎng)分隔理論對(duì)收益率曲線的解釋如下： 1 當(dāng)投資者對(duì)短期債券的需求高于對(duì)長(zhǎng)期債券的需求時(shí)，短期債券具有較 高的價(jià)格和較低的利率水平，長(zhǎng)期利率高于短期利率，收益率曲線向上傾斜。通 常大多數(shù)人寧愿持有短期債券而非長(zhǎng)期債券，因而收益率曲線通常是向上傾斜。 2 當(dāng)投資者對(duì)長(zhǎng)期債券的需求高于對(duì)短期債券的需求時(shí)，長(zhǎng)期債券具有較 高的價(jià)格和較低的利率水平，短期利率高于長(zhǎng)期利率，收益率曲線向下傾斜。 三流動(dòng)性偏好理論( l iq uidit yp r e f e r e n c et h e o r y ) 流動(dòng)性偏好這一概念是由凱恩斯( k e y n e s ) 首先提出的，它指對(duì)持有貨幣的 偏好和需求。以j h i c k s 為代表的一些凱思斯主義的經(jīng)濟(jì)學(xué)家首先將它應(yīng)用于 利率期限結(jié)構(gòu)的分析。 流動(dòng)性偏好理論是對(duì)市場(chǎng)預(yù)期理論和市場(chǎng)分隔理論的綜合和發(fā)展。市場(chǎng)預(yù)期 理論將不同期限的債券看成是可以完全互相替代的，不同投資方式的預(yù)期收益率 相等。市場(chǎng)分隔理論則走了另一個(gè)極端，認(rèn)為不同期限的債券之間是完全不可替 代的，一種期限債券利率的變動(dòng)不會(huì)影響到另外種債券，無(wú)法解釋利率的共同 變動(dòng)。流動(dòng)性偏好理論則是對(duì)二者的綜合和發(fā)展，它既考慮了投資者的投資偏好， 也考慮了不同債券之聞的替代性。流動(dòng)性偏好理論則認(rèn)為：長(zhǎng)期債券收益率等于 第二章文獻(xiàn)回顧 預(yù)計(jì)在長(zhǎng)期債券有效期內(nèi)出現(xiàn)的連續(xù)短期收益率，加上與那種債券的相對(duì)應(yīng)的流 動(dòng)性溢酬。 該假設(shè)的隱含前提條件為： 1 投資者具有一定的債券偏好，但會(huì)受到其他債券的影響，如果其他債券 的收益率上升，則對(duì)此債券的偏好就可能被抵消。 2 不同債券之間具有一定的替代性，一種債券的預(yù)期收益率會(huì)影響到其他 債券的預(yù)期收益率，但是不是完全替代的。 3 投資者具有偏好短期債券的傾向，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為這些投資可以更早地獲 得需要的資金，同時(shí)認(rèn)為如果投資于較短期的證券，他們將面臨較小的“價(jià)格風(fēng) 險(xiǎn)”( 即“利率風(fēng)險(xiǎn)”) 。 4 為了吸引投資者投資于長(zhǎng)期債券，必須有一個(gè)正的時(shí)間溢價(jià)作為補(bǔ)償， 這個(gè)溢價(jià)就是流動(dòng)性溢酬( 也稱為“期限溢酬”) 。 流動(dòng)性偏好理論對(duì)收益率曲線的解釋如下： 1 當(dāng)短期利率較低時(shí)，市場(chǎng)預(yù)期短期利率在未來(lái)會(huì)上升，因此加上一個(gè)正 的流動(dòng)性溢酬，長(zhǎng)期利率會(huì)大大高于即期短期利率，收益率曲線出現(xiàn)一個(gè)很陡的 上傾；當(dāng)預(yù)期利率水平不變或有小幅上升，收益率曲線上升平緩。 2 當(dāng)市場(chǎng)預(yù)期短期利率在未來(lái)會(huì)小幅下降，收益率曲線呈水平狀。 3 當(dāng)市場(chǎng)預(yù)期短期利率在未來(lái)會(huì)急劇持續(xù)下降時(shí)，長(zhǎng)期利率盡管有正的流 動(dòng)性溢酬，但仍然低于即期短期利率，從而使收益率曲線向下傾斜。 第三節(jié)利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)估計(jì) 利率期限結(jié)構(gòu)可以表示為在某個(gè)時(shí)點(diǎn)不同期限的零息票債券的到期收益率 所組成的一條收益率曲線。而所謂利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)估計(jì)，就是指對(duì)某個(gè)時(shí)點(diǎn) 的收益率曲線的估計(jì)。 在一個(gè)存在零息票債券的市場(chǎng)上，通過(guò)直接求出零息票債券的到期收益率就 可以估計(jì)出某個(gè)時(shí)點(diǎn)的利率期限結(jié)構(gòu)，但是如果不存在零息票債券或者其數(shù)量十 分有限，那么這種方法就受到了很大的限制。由于在中國(guó)債券市場(chǎng)上大部分國(guó)債 都是息票債券，零息票債券的數(shù)量很少，而且這些息票債券在息票率、付息時(shí)間 上都存在著很大的差異。因此，就必須通過(guò)一定的方法對(duì)這些息票進(jìn)行剝離和分 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 析。具體的方法有兩種選擇：一種是息票剝離法( b o o t s t r a pm e t h o d ) ，另一種 是樣條逼近法( s p l i n ea p p r o x i m a t i o n ) 。 息票剝離法 息票剝離法是將票息從債券中進(jìn)行剝離并在此基礎(chǔ)上估計(jì)無(wú)息票債券利率 水平的一種方法。具體的計(jì)算方法為： 首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假設(shè)一個(gè)最短期的利率水平r ( r o ) 。假設(shè)市場(chǎng)上有兩種債券 價(jià)格分別為# ，置，短期債券的到期日為互，到期之前不支付利息；長(zhǎng)期債券的 到期日為五，正 王，在正時(shí)刻支付一定的利息c 。由于短期債券到期之前不再 支付利息，因此它就類似于零息票債券。其到期收益率為： ，( 五) = 里紫，鳩是短期債券到期時(shí)獲得的本息和。 而對(duì)于長(zhǎng)期債券的處理，則要分為兩種情況： 1 當(dāng)正 互時(shí)，可以假設(shè)霉期的利率水平為r ( 五) ，則互期的利率水平為： 螞) = 褥蠅) + 翳哪且昱= - ，_ - - s ) ，短期利率c 服從正態(tài)分布： 們州州r ，+ - 0 礦嬸叫，丟( 1 - - e - 2 k ( t - s ) ) ) 給定在時(shí)刻3 的信息集，在時(shí)刻f ( r 2 s ) ，到期收益率r ( t ，t ) 服從正態(tài)分布： r ( t ，丁) le ( 。( j ，f ) ，d 1 2 ( s ，f ) ) 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 脅b 歸( - - e - i ：( t - s ) ) ( 徘，咖等( 分一盹+ o - 2 ( 莉1 - e - _ r ) 2 j + e - 女( t - s ) r 幢r ) 柏) = 等) 2 ( 1 - 2 k ( - ) 啄) o r 2 與m e r t o n 模型相比，v a s i e e k 模型滿足了均值回復(fù)的特性。是一個(gè)連續(xù)的 馬爾科夫( m a r k o v ) 過(guò)程，未來(lái)的短期利率僅與現(xiàn)在的利率水平有關(guān)，而與短期 利率的歷史值無(wú)關(guān)。v a s i c e k 模型中波動(dòng)率也是一個(gè)常數(shù)，沒(méi)有考慮到利率水平 對(duì)波動(dòng)率高低的影響以及波動(dòng)率本身的g a r c h 效應(yīng)等，且它沒(méi)有考慮的不連續(xù) 變動(dòng)，即沒(méi)有考慮重要事件造成的“跳躍”，故該模型不能反映出所有的行為 方式。此外，由于的條件分布是正態(tài)分布，故i 有可能取負(fù)值。 ( 3 ) c i r 模型 c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 提出了著名的c l r 模型，它假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)中 性的世界中，短期利率的動(dòng)態(tài)變化服從以下隨機(jī)微分方程： d = k 一r , ) d t + a q r l d t 其中，k ，0 和盯均為正的常數(shù)，圍繞利率的長(zhǎng)期均值臼上下波動(dòng)，k 為 均值回復(fù)速度，短期利率的標(biāo)準(zhǔn)差與利率水平的平方根成正比，w 是標(biāo)準(zhǔn)布朗 運(yùn)動(dòng)。 給定在時(shí)刻s 的信息集，在時(shí)刻t ( t s ) ，短期利率服從非中心的z 2 分布： c i f , 一z ( 2 v ，2 q + 2 ，2 u ) ，自由度為2 q + 2 ，非中心參數(shù)為2 u ，其中： 2 尼 i f 了呵g = 警屯“= 志礦州塒9 2 了叫川2 7 瓦而8 根據(jù)這個(gè)分布，r ( f ) 的均值和方差分別為 e ( 1 只) = 0 + ( - o ) e “5 y ( 1 只) = o 七 2 ( 、e - k ( t - o - - e - 2 t ( t - s ) ) + 口萬(wàn)盯2 - 一c - k ( t - ) ) 2 第二章文獻(xiàn)回顧 當(dāng)f 一。時(shí)，其極限分別為口和口篆a 到期收益率r ( t ，t ) 則線性依賴于和r ( t ，) 。 c i r 模型中的利率過(guò)程r ( f ) 具有非負(fù)性。從公式可知，當(dāng)寸o 時(shí)，漂移項(xiàng) 恒為正數(shù)，而擴(kuò)散系數(shù)盯 也以利率平方根的速度趨近于零，這表明利率的波 動(dòng)性也趨近于零，從整體來(lái)看預(yù)期的利率變化以為正數(shù)，保證了利率不會(huì)降到 零以下。c i r 模型中的利率過(guò)程具有均值回復(fù)性，回復(fù)速度為。 ( 4 ) c k l s 模型 c h a r s ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f 和s a n d e r s ( 1 9 9 2 ) 提出了一個(gè)基本的利率過(guò) 程模型，即c k l s 模型： 以= k ( o 一) 研+ o - r 。7 d c k l s 模型有四個(gè)參數(shù)，當(dāng)對(duì)這些參數(shù)添加一定的限制以后，可以得到幾乎 所有的單因素期限結(jié)構(gòu)模型，如表2 1 所示。 表2 1 ：不同單因素利率期限結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)限制 c k l s 模型作為描述利率動(dòng)態(tài)過(guò)程的模型，最大的優(yōu)點(diǎn)就是考慮了利率的水 平效應(yīng)( 1 e v e le f f e c t ) ，即利率水平越大，其波動(dòng)越劇烈。大多數(shù)的模型將其 粘性系數(shù)) ，限定為一個(gè)固定的值，這樣作的原因純粹是使得模型可以得到解析 解，然而當(dāng)用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)模型時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些模型往往不能很好的解釋利率的動(dòng) 1 7 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 態(tài)行為，因此將) ，視為一個(gè)參數(shù)是非常必要的。 ( 5 ) 小結(jié) 單因素均衡模型一般具有三類參數(shù)：均值回復(fù)速度、長(zhǎng)期均值水平與波動(dòng)率 參數(shù)。在一定程度上，它們可以擬合初始利率期限結(jié)構(gòu)、初始波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)和 短期利率波動(dòng)率的路徑。但是這類模型都存在以下缺點(diǎn)：無(wú)法準(zhǔn)確擬合現(xiàn)行的利 率期限結(jié)構(gòu)，無(wú)法準(zhǔn)確描述期限結(jié)構(gòu)的變動(dòng)。 2 多因素均衡模型 單因素均衡模型把短期利率r ( o 作為解釋期限結(jié)構(gòu)的唯一變量，也就是說(shuō)認(rèn) 為不同期限債券的價(jià)格都是受同一個(gè)隨機(jī)沖擊量她的驅(qū)動(dòng)，這種同源驅(qū)動(dòng)性也 就意味著不同期限的即期利率之間相關(guān)系數(shù)為1 ，這與實(shí)證研究的發(fā)現(xiàn)并不相符。 實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)：不同期限的收益率之間的相關(guān)系數(shù)不為l 。到期日接近的債 券收益率之間的相關(guān)系數(shù)高，而到期日分散的債券收益率之間的相關(guān)系數(shù)明顯較 低。短期利率的波動(dòng)性不是僅服從單因素均衡模型中簡(jiǎn)化的假設(shè)，如單因素均衡 模型中假定短期利率的波動(dòng)性是常數(shù)( m e r t o n ，v a s i c e k 模型) 或取決于以前的 利率水平( c i r 模型) ，而是具有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。由于利率衍生品的定價(jià)依賴于 對(duì)短期利率波動(dòng)性的假定，這一缺陷影響了利率衍生品的定價(jià)的準(zhǔn)確性。單因素 均衡模型一般不能擬合期初的市場(chǎng)債券價(jià)格。 因此，多因素模型是單因素模型個(gè)自然的發(fā)展，其背后的思路是期限結(jié)構(gòu) 的動(dòng)態(tài)變化是受多個(gè)因素驅(qū)動(dòng)的，這些因素可以是宏觀政策的沖擊、當(dāng)前的利率 水平、收益率曲線的斜率、收益率曲線的曲率等等。 ( 1 ) b r e n n a n s c h w a r t z 模型 b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 提出了一個(gè)雙因素模型，在這個(gè)模型中，利率 的期限結(jié)構(gòu)依賴于短期利率r ( f ) 和長(zhǎng)期利率雄) ，其中長(zhǎng)期利率定義為： i ( 02 熙| r ( f ，丁) b r e n n a n s c h w a r t z 模型的最一般形式為： 第二章文獻(xiàn)回顧 f d r q ) = 2 1 ( ，t ) d t + c r t ( r ，t ) d w t ( f ) 【d l ( t ) = 鸕( ，z ，t ) m + 仃2 ( ，t ) d w 2 ( t ) 這里。，2 ：，0 1 ，c r 2 都是f ，( f ) ，( f ) 的函數(shù)，w 1 ( f ) 和w d t ) 是兩個(gè)相關(guān) 的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，相關(guān)系數(shù)為p ( 常數(shù)) ，表明該模型認(rèn)為短期利率，( f ) 的水平 和波動(dòng)性會(huì)影響到l ( t ) 。 由于上述模型中的，( f ) 和坤) 都沒(méi)有均值回復(fù)性，b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 2 ) 對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)： id r ( t ) = 【口l + 6 l ( ，o ) 一，o ) ) m + r ( t ) 0 f l w ，( t ) i d l ( t ) = l ( t ) a 2 + 6 2 r ( f ) + c 2 l ( t ) d t + l ( t ) c r z d w 2 ( t ) 其中n 。，6 1 ，o l ，n ：，6 2 ，c 2 ，0 2 是常數(shù)，該模型一般不能求出解析解。 l o g a n 于1 9 9 3 年指出，該模型可能出現(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)期利率趨向于無(wú)窮 大的情況，這與利率的基本特性不符，也違反了無(wú)套利機(jī)會(huì)的要求，這是該模型 的主要缺陷 。 d y b v i g ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 9 6 ) 證明了如果排除了套利機(jī)會(huì)則模型中的 長(zhǎng)期利率不能是下降的，故在b r e n n a n s c h w a r t z 模型的特殊形式中隱含著套利 機(jī)會(huì)。 b r e n n a n s c h w a r t z 模型是所有雙因素模型中最貼近主成份分析框架的一個(gè) 模型。它假設(shè)收益率曲線的變動(dòng)行為可以用兩個(gè)不可觀測(cè)的環(huán)境變量u ，和u ：的運(yùn) 動(dòng)來(lái)解釋，其特殊情形是使用可以直接觀測(cè)到的短期利率和長(zhǎng)期利率。在滿足一 定條件時(shí)，可以理解為短期利率和長(zhǎng)期利率是收益率曲線的驅(qū)動(dòng)因素。因此， b r e n n a n s c h w a r t z 模型可以認(rèn)為是用利率水平( 長(zhǎng)期利率) 和斜率( 長(zhǎng)、短期 利率之差) 來(lái)解釋期限結(jié)構(gòu)的。 b r e n n a n s c h w a r t z 模型雖然使用的是長(zhǎng)期利率這一特殊例子，但是更重要 的是它指出了雙因素建模的一個(gè)發(fā)展方向。我們能否任意選擇兩個(gè)相隔較遠(yuǎn)的期 限的收益率，仿照b r e n n a ns c h w a r t z 的方法建立一個(gè)模型? 試想若某一種衍生 品的價(jià)格只取決于收益率曲線上這兩點(diǎn)之間的相對(duì)變動(dòng)關(guān)系，則這種建模思路很 。h o g a nm p r o b l e mi nc e r t a i nt w o f a c t o rt e r ms t r u c t u r em o d e l s 【j 】a n n a l so f a p p l i e dp r o b a b i l i t y , 1 9 9 3 ，( 5 ) 。d y b v i gje ，i n g e r s o l lj r a n dr o s ssal o n gf o r w a r da n dx e r o - c o u p o nr a t e sc a nn e v e rf a l l 【_ ， j o u r n a lo f f i n a n c e ，1 9 9 8 ，( 1 3 6 ) 1 9 利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型研究 有實(shí)際價(jià)值。事實(shí)上，正是沿著這一思路發(fā)展，s c h a e f e r 和s c h w a r t z ( 1 9 8 4 ) 選擇了長(zhǎng)期利率和長(zhǎng)短期利率之間的利差作為兩個(gè)因素來(lái)建模。 另一種建模的思路是把v a s i c e k 模型和c i r 模型擴(kuò)展到多因素的情形，其主 要著眼點(diǎn)不再是從收益率曲線上選擇幾個(gè)代表點(diǎn)，而是以短期利率r ( f ) 為核心， 把r ( f ) 的方差作為第二個(gè)因素引入。這就是下面將要介紹的f o n g v a s i c e k 和 l o n g s t a f f s c h w a r t z 模型。 ( 2 ) f o n g - v a sjc e k 模型 主成份分析指出收益率曲線的斜率可以作為加入模型的第二個(gè)因素，從而增 加對(duì)收益率波動(dòng)率的解釋力度。沿著這種思路，任意兩個(gè)不同期限的利率或其線 性組合都可以用來(lái)構(gòu)造兩因素模型，也可以用短期利率與長(zhǎng)期利率之間的利差 ( s p r e a d ) 作為第二個(gè)因素。 d y b v i g ( 1 9 8 8 ) 置疑了這種做法的合理性，他指出如果研究的目的局限于解 釋利率和債券價(jià)格的波動(dòng)性，那么加入斜率因子確實(shí)可以很好地解釋9 5 的方差； 但是如果目的是為期權(quán)等衍生品定價(jià)，第二個(gè)因素的貢獻(xiàn)微乎其微，此時(shí)應(yīng)該把 第二個(gè)因素改為主成分分析中得到的第一個(gè)因素的方差，才能在利率衍生品定價(jià) 中發(fā)揮顯著的作用 。 沿著這種思路f o n g 和v a s i c e k ( 1 9 9 1 ) 將原v a s i c e k 模型擴(kuò)展到兩因素情 形，其重要改進(jìn)就是在原來(lái)服從0 r n s t e i n u h l e n b e c k 過(guò)程的r ( f ) 中增加了隨機(jī) 方差項(xiàng)v ( f ) 。 i 咖( f ) = n ( _ 一，o ) ) 出+ 小i ；弦m ( f ) 【辦( f ) = b ( v - v ( t ) ) d t + e x - 而d w 2 ( t ) f 和f 分別是短期利率r o ) 和隨機(jī)方差v ( f ) 的均值，w l ( f ) 和w 2 ( o 是相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn) 布朗運(yùn)動(dòng)。 f o n g v a s i c e k 模型下，( f ) 和v ( f ) 都具有均值回復(fù)性，回復(fù)速度分別為a 和b 。 v ( f ) 是非負(fù)的，且服從平方根過(guò)程。由于沖擊項(xiàng)毗的波動(dòng)系數(shù)v ( f ) 是非負(fù)的， 。d y b v i gj e ，j r i n g e r s o l la n dsar o s sl o n gf o r w a r da n dx e r o - c o u p o nr a t e sc a nn e v e rf a l l 沁j o u r n a lo f f i n a n c e ，1 9 9 8 ，( 1 3 6 ) 2 0 第二章文獻(xiàn)回顧 并且與，o ) 的水平無(wú)關(guān)，所以當(dāng)r ( f ) 斗0 時(shí)，r ( f ) 的預(yù)計(jì)變動(dòng)的偏移量雖然一定 是正數(shù)，但是其波動(dòng)性不會(huì)相應(yīng)減少，從而使，0 ) 可能小于零。 ( 3 ) l o n g s t a f f s c h w a r t z 模型 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 在c i r 一般均衡框架下提出了一個(gè)兩因素模 型，他們選擇了r ( ) 和，( f ) 的方差v ( f ) 作為考慮的因素，但是他們沒(méi)有把r ( f ) 和 v ( f ) 直接作為模型中的因素，而是作為兩個(gè)經(jīng)濟(jì)因素x ( t ) 和y ( f ) 的線性組合。 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 并沒(méi)有給出x ( o 和r ( t ) 的具體含義，只給出了它們所滿 足的微分方程： d x ( t ) = ( 口一b x ( t ) ) d t + c x o ) ( m ( r ) 【d y ( t ) = ( d e y ( t ) ) d t + 廠y ( f ) d ( f ) 這里的d ，b ，c ，d ，e ，f 是常數(shù)，且w l ( t ) 和w a r ) 相互獨(dú)立。易知x ( f ) 和y ( f ) 具有均值回復(fù)性，且均保持非負(fù)性。，( f ) 和v ( f ) 與x ( t ) 和y 0 ) 的關(guān)系是： f r o ) = c 2 彳p ) + ( 目一仃2 ) 廠2 y 0 ) i v o ) = i 1 2 c 4 x 0 ) + ( 口一盯2 ) 2 f 4 l ，( r ) l o n g s t a f f s c h w a r t z 模型下的債券價(jià)格p ( t ，t ) 與r (