小學(xué)數(shù)學(xué)中的 “ 數(shù)學(xué)思維 ” 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 國際上的相關(guān)研究表明，即使對小學(xué)數(shù)學(xué)這樣十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)。數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)是國際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，我國的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中就可清楚地看出。然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述的理念還不能說已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是以下的認(rèn)識(shí)：小學(xué)數(shù)學(xué)的教 學(xué)內(nèi)容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。 一、 “ 數(shù)學(xué)思維 ” 的基本形式 現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果指明了所謂的“ 凝聚 ” ，也即由 “ 過程 ” 向 “ 對象 ” 的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對象 對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。對于所說的 “ 凝聚 ” 可進(jìn)一步分析如下： （一） “ 凝聚 ” 事實(shí)上可被看成 “ 自反性抽象 ” 的典型例子，而 后者則又可以說集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即 “ 是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西射或反射到一個(gè)新的層面上，并對此進(jìn)行重新建構(gòu) ” 。這正如著名哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰所指出的： “ 全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開放的 當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)體從一個(gè)水平轉(zhuǎn)移到另一個(gè)水平時(shí)，它們的功能會(huì)不斷地改變；對這類 實(shí)體 進(jìn)行的運(yùn)演，反過來，又成為理論研究的對象，這個(gè)過程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到了一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成 更強(qiáng) 的結(jié)構(gòu)，或者在由 更強(qiáng)的 結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化。 ” 例如，由加法到乘法以及由乘法到 乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷 “ 建構(gòu) ” 。 （二） “ 凝聚 ” 主要包括以下三個(gè)階段： 1.內(nèi)化； 2.壓縮； 3.客體化。其中， “ 內(nèi)化 ” 和 “ 壓縮 ” 可視為必要的準(zhǔn)備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應(yīng)的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進(jìn)行反思 我們在此不僅不需要實(shí)際地去實(shí)施相關(guān)的運(yùn)作，還可從更高的抽象水平對整個(gè)過程的性質(zhì)作出分析；另外，相對于前兩個(gè)階段而言， “ 客體化 ”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個(gè)靜止的 對象。容易看出，上述的分析對于我們改進(jìn)教學(xué)也具有重要的指導(dǎo)意義。例如，所說的 “ 內(nèi)化 ” 就清楚地表明了這樣一點(diǎn)：我們既應(yīng)積極提倡學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，但又不應(yīng)停留于 “ 實(shí)際操作 ” ，而應(yīng)十分重視 “ 活動(dòng)的內(nèi)化 ” ，因?yàn)?，不然的話，就不可能形成任何真正的?shù)學(xué)思維。另外，在不少學(xué)者看來，以上的分析在一定程度上表明了 “ 熟能生巧 ” 這一傳統(tǒng)做法的合理性。 （三）由 “ 過程 ” 向 “ 對象 ” 的過渡不應(yīng)被看成一種單向的運(yùn)動(dòng)；恰恰相反，這兩者應(yīng)被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應(yīng)善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括 由 “ 過程 ” 轉(zhuǎn)向 “ 對象 ” ，以及由“ 對象 ” 重新回到 “ 過程 ” 。 綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺地應(yīng)用和體現(xiàn)“ 凝聚 ” 這樣一種思維方式。 二、數(shù)學(xué)思維的互補(bǔ)與整合。 首先，互補(bǔ)與整合的數(shù)學(xué)思維形式對于小學(xué)數(shù)學(xué)具有特殊的重要性。我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成 互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對有理數(shù)的各種解釋很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。 其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補(bǔ)充與相互作用。這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，即突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流： “ 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式 教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們在自主探索和合作交流的過 程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 ” 由于實(shí)踐活動(dòng)（包括感性經(jīng)驗(yàn)）構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動(dòng)社會(huì)性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，除去對于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補(bǔ)。 最后，我們應(yīng)清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補(bǔ)關(guān)系。特別是，就由 “ 日常數(shù)學(xué) ” 向 “ 學(xué)校數(shù)學(xué) ” 的過渡而言，不 應(yīng)被看成對于學(xué)生原先所已發(fā)展起來的樸素直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使之 “ 精致化 ” ，以及隨著認(rèn)識(shí)的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學(xué)直覺。在筆者看來，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān) “ 數(shù)感 ” 的論述，這就是，課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)努力 “ 發(fā)展學(xué)生的數(shù)感 ” ，而后者又并非僅僅是指各種相關(guān)的能力，如計(jì)算能力等，還包含 “ 直覺 ” 的含義，即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要作出迅速的估算。當(dāng)然，作為問題的另一方面，我們又應(yīng)明確地肯定 幫助學(xué)生牢固地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本技能的重要性，特別是，在需要的時(shí)候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準(zhǔn)確的刻畫和計(jì)算，并能對運(yùn)算的合理性作出適當(dāng)?shù)恼f明 顯然，后者事實(shí)上已超出了 “ 直覺 ” 的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。 綜上可見，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也