1 專題四 定量資料的統(tǒng)計(jì)描述 一、頻數(shù)表與頻數(shù)圖 頻數(shù)表 ：表達(dá)變量取值及其不同取值頻數(shù)分布情況的統(tǒng)計(jì)表。 頻數(shù)表的編制 連續(xù)型定量資料的頻數(shù)表 求極差（全距）： R=xmax-xmin 確定組數(shù)和組距： 根據(jù)樣本含量的大小及研究目的確定組數(shù)，一般設(shè)為 815組。用 R除以組數(shù)得到的商，取與此接近較為整齊的數(shù)值作為組距，組距即為各組的上、下限之差。 注：各組的組距可以相等，可以不等，一般多采用等距分組。 確定 組段 ：即 確定每一組的起點(diǎn)和終點(diǎn)（下限與上限） 注： 第一組段包括全部觀察值中的最小值，最末組段包 含全部觀察值中的最大值；各組段包含的數(shù)值范圍是大于等于下限，小于上限；頻數(shù)表中除最末組同時(shí)寫出下限和上限外，其余各組均只寫出下限； 歸組計(jì)數(shù)整理成表； 離散型定量資料的頻數(shù)表的編制：將變量值及其對(duì)應(yīng)的頻數(shù)列出即可。 頻數(shù)表的用途 揭示資料的頻數(shù)分布特征和頻數(shù)分布類型 ： 分 布特征：集中趨勢、離散趨勢，對(duì)于定量資料可從兩個(gè)方面去描述其分布特征。 分布類型：對(duì)稱分布，即高峰位中，兩側(cè)對(duì)稱。 偏態(tài)分布 ，高峰偏于一側(cè)，偏向數(shù)值小的一側(cè)，稱為 正偏態(tài)分布 ；偏向數(shù)值大的一側(cè)，為 負(fù)偏態(tài)分布 。 便于發(fā)現(xiàn)某些特 大或特小的可疑值； 便于進(jìn)一步計(jì)算指標(biāo)和統(tǒng)計(jì)處理。 頻數(shù)圖 ： 更直觀、形象。 以變量值為橫坐標(biāo)，以頻數(shù)為縱坐標(biāo)（等距分組時(shí)可以頻率為縱坐標(biāo)，不等距分組時(shí)以頻率 /組距 =頻率密度作為縱坐標(biāo)），即每個(gè)等寬長方形面積表示每組頻數(shù)（或頻率）。 注：連續(xù)型定量資料，其頻數(shù)圖中各長方形是相連的，又稱為直方圖；離散型 定量資料，其頻數(shù)圖中各長方形是 間隔 的，又稱為直 條 圖 。 二、集中趨勢的描述 對(duì)于定量資料集中趨勢的描述常用平均數(shù)，平均數(shù)表達(dá)了一組同質(zhì)定量數(shù)據(jù)的平均水平或集中位置。 算術(shù)平均數(shù)（均數(shù)） 幾何均數(shù)（倍數(shù)均數(shù)） 符號(hào) x （樣本）， （總體） G 計(jì) 算 方 法 （直接法） nxxxnxx n 21 （加權(quán)法） i iik kk f kffff xfxfxfx 21 2211k為組段數(shù)， xk為各組段相應(yīng)頻數(shù)。 （直接法 ，用于樣本含量較少時(shí) ） G=nn xxx 21=lg-1 nxxx nlglglg 21 =lg-1nxlg （加權(quán)法 ，用于觀察值較多，或資料已編成頻數(shù)表 時(shí) ） G=lg-1 k kkfff xfxfxf 21 2211 lglglg=lg-1 i ii f xf lg應(yīng)用 應(yīng)用于對(duì)稱分布，特別是正態(tài)分布資料集中趨勢的描述。 對(duì)數(shù)對(duì)稱（含對(duì)數(shù)正態(tài)分布），即數(shù)據(jù)經(jīng) 對(duì)數(shù)變換后呈對(duì)稱分布或正態(tài)分布的資料。 等比級(jí)數(shù)資料，即觀察值之間呈倍數(shù)或近似倍數(shù)變化的資料，如抗體滴度、抗體效價(jià)。 說明 計(jì)算幾何均數(shù)時(shí)，觀察值中不能有 0，因?yàn)?0不能取對(duì)數(shù)，此時(shí)可以加上 1個(gè)很小的數(shù)，算后再減去該數(shù)值即可。 觀察值不能同時(shí)有正有負(fù)。 續(xù)表 中位數(shù) 百分位數(shù) 符 號(hào) M Px 觀察個(gè)數(shù)為奇時(shí)， M=x 21n 2 計(jì) 算 方 法 觀察個(gè)數(shù)為偶時(shí)， （直接法） M= 12221nn xx（頻數(shù)表法） M=L+ LMfnfi 2 L為頻數(shù)表中 M所在組段的下限， i為 M所在組段的組距，fM為 M 所在組段的頻數(shù)， fL為小于 L 的各組段累積頻數(shù)。 Px=L+ Lx fxnfi % 其中 L為 Px所在組段下限， i為組距， fx為 Px所在組段頻數(shù)， fL為小于 L的各 組段的累積頻數(shù)。 應(yīng)用 適用于描述偏態(tài)分布資料、一端或兩端無確切值的資料及總體分布不確定資料的集中趨勢 用于描述一組數(shù)據(jù)某一百分位置的水平，多個(gè)百分位數(shù)結(jié)合應(yīng)用，可全面描述一組觀察值的分布特征； 用于確定非正態(tài)分布資料的醫(yī)學(xué)參考值范圍。 說明 將觀察值由小到大排序后，居于中間位置的數(shù)值。 在全部觀察中，小于和大宇中位數(shù)的觀察值個(gè)數(shù)相等。 Px 是指將觀察值由小到大排序后，將其平均分為 100份，對(duì)于每一分割位置上的數(shù)值即為一個(gè)百分?jǐn)?shù)。 四分位數(shù)： P25（ Ql）、 P50（中位數(shù)）、 P75（ Qu） ； 應(yīng)用百分位數(shù)時(shí)，樣本含量要足夠大，否則不宜取太靠近兩端的百分位數(shù)。 三、 離散趨勢的描述 離散 趨勢 ，反映了觀察值之間的變異情況。 極差 四分位數(shù)間距 方差 符號(hào) R Q 2（ 總體 ） ， s2（ 樣本 ） 計(jì) 算 方 法 R=minmax xx Q=Qu-Ql=P75-P25 2=離均差平方和 /N= （ x-n） 2 N s2= （ x-x ） 2 （ n-1為自由度） n-1 應(yīng)用 僅用于初步了解資料的 變異程度，概括地描述全部數(shù)據(jù)所在范圍。 描述偏態(tài)分布以及分布的一端或兩端無確切數(shù)值資料的離散程度。 描述對(duì)稱分布，特別是正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料的離散程度。 說明 R 大，反映了全部觀察值所在范圍的變異程度大，數(shù)據(jù)較為分散； R小 ，反映了全部觀察值所在范圍的變異程度 小 ，數(shù)據(jù)較為 集中 ； 不能反映組內(nèi)其他觀察值的變異程度。 不受兩端極大值或極小值影響 ，較全距穩(wěn)定，但仍不能概括所有觀察值的變異情況 。 相同指標(biāo)，方差越大，說明數(shù)據(jù)圍繞均屬分布越分散，變異程度越大；反之， 方差越 小 ，說明數(shù)據(jù)圍繞均屬分布越 集中 ，變異 程度越 小 ； 續(xù)表 標(biāo)準(zhǔn)差 變異系數(shù) 符號(hào) （ 總體 ） ， s（ 樣本 ） CV 計(jì) 算 方 法 2 = Nx 2 s=122 nnXX（直接法） s= 122iiiiiffxfxf i（加權(quán)法） CV=xS 100% 應(yīng)用 描述對(duì)稱分布，特別是正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料的離散程度。 常用于比較度量單位不同或單位相同均數(shù)相差懸殊的兩組或 多組資料的變異程度。 說明 表示每個(gè)觀察值與均數(shù)之間距離（絕對(duì)距離）的平均水平。 沒有單位，是一種相對(duì)變異指標(biāo) 四、正態(tài)分布及其應(yīng)用 正態(tài)分布的概念 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 x的概率密度函數(shù)為 f（ x） = 21 222 xe ， - x ；則稱隨機(jī)變量 x服從參數(shù)為 和 3 的正態(tài)分布，記作 XN（ ， ）。式子中 為圓周率， e為自然對(duì)數(shù)的底， 為總體均數(shù)， 為總體標(biāo)準(zhǔn)差， x為正態(tài)變量。 正態(tài)分布的特征 正態(tài)曲線：橫軸上方均數(shù)處最 高，向兩側(cè)下降，并以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，但兩端與橫軸永不相交，呈鐘型曲線。 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù) 和標(biāo)準(zhǔn)差 。 為位置均數(shù)，固定不變時(shí)，越大，曲線沿橫軸越向右；反之，越小，曲線沿橫軸越向左。 為形狀均數(shù)，固定不變時(shí)，越大，曲線越平闊；越小，曲線越尖峭。 正態(tài)曲線下面積的分布有一定的規(guī)律。 正態(tài)曲線下 一定區(qū)間內(nèi)的 面積 代表了取值于相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的觀察值個(gè)數(shù)在全部觀察值總數(shù)中所占的比例（頻率），或者是觀察值落在該區(qū)間內(nèi)的概率。 無論 和 取何值，正態(tài)曲線下面積分布規(guī)律有： 正態(tài)曲線與橫軸之間的面積恒等于 1或 100% 正態(tài)分布為對(duì)稱分布，其對(duì)稱軸兩側(cè)面積各為 50% 區(qū)間（ -， +）的面積為 68.27%；區(qū)間（ -1.96， +1.96）的面積為 95.00%；區(qū)間（ -2.58， +2.58）的面積為 99。 00%； 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 （教材圖 4-4，正態(tài)分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線 ） 由總體時(shí) z=x， 由樣本估計(jì)時(shí) z=sxx若 X 服從正態(tài)分布 N（ ， ），則 z服從 N（ 0,1）。 在區(qū)間 （ -z， +z）內(nèi)，若 求 一般正態(tài)分布曲線下某區(qū)間內(nèi)面積，則需先進(jìn)行 z變換，然后借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（教材附表 3）求得 。 正態(tài)分布的應(yīng)用 估計(jì)正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布 舉例：求在某值及其以下者所占比例、求在某范圍內(nèi)者所占比例、求大于等于某值者所占比例。 制定醫(yī)學(xué)參考值范圍（正常值范圍） 制定醫(yī)學(xué)參考值范圍 時(shí)：確定一批樣本含量足夠大的“正常人”；根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰?，常?95%；根據(jù)專業(yè)知識(shí)確定單側(cè)或雙側(cè)界值；根據(jù)資料分布特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。 制定 醫(yī)學(xué)參考值范圍 的常用方法有： 正態(tài)分布法（ 適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料 ） 雙側(cè)界值： x Z/2S 單側(cè)上界： x + ZS或單側(cè)下界： x - ZS Z和 Z/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在給定小概率 （如 =0.05）時(shí)相應(yīng)的單側(cè)界值或雙側(cè)界值。 Z 表示 z Z 或 z -Z 的概率為 ，只考慮單側(cè)尾部的概率分布。 Z/2表示 z Z/2和 z Z/2的概率為 ，同時(shí)考慮兩側(cè) 尾部的概率分布。 常用 z值表 參考值范圍 單側(cè) 雙側(cè) 80 0.842 1.28