大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析 of 連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 of 1 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 2 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 3 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 4 赫爾維茨判據(jù) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義為： 線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)影響下，若其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間推移逐漸衰減 (趨于零 (或原平衡工作點(diǎn) )，則稱系統(tǒng)是 漸進(jìn)穩(wěn)定 ，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定； 若在初始擾動(dòng)下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng) 不穩(wěn)定 ； 若在初始擾動(dòng)下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移雖不能回到原平衡點(diǎn)，但可以保持在原工作點(diǎn)附近的某一有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則稱系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定 。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 線性系統(tǒng)的 穩(wěn)定性 取決于系統(tǒng)的 固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無關(guān)。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的 固有 特性，是擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身的恢復(fù)能力。 常用的穩(wěn)定判據(jù)： 代數(shù)判據(jù)（ 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 （ 如果脈沖響應(yīng)函數(shù)是收斂的，即有 表示系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可見，系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應(yīng)函數(shù)收斂是一致的。 如果 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果 則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 0)( )( 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 由于單位理想脈沖函數(shù)的拉氏變換等于 1，所以系統(tǒng)的 復(fù)域脈沖響應(yīng)函數(shù) C(s)就是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有 其傳遞函數(shù)可寫為 ()()()(式中， 2大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 上式用部分分式展開，得 系統(tǒng)的 時(shí)域脈沖響應(yīng) 為 2211( ) e ( e c o s 1 e s i n 1 )j k n k k n kq k n k k k n k t A B t C t rk 1)()(若系統(tǒng)的特征根全部為負(fù)實(shí)部根，則 成立，系統(tǒng)穩(wěn)定； 若系統(tǒng)有一個(gè)或一個(gè)以上的正實(shí)根或?qū)嵅繛檎墓曹棌?fù)根，式 成立，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若系統(tǒng)有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，其余的特征根具有負(fù)實(shí)部， 成立，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 工程上，將臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。 0)( )( 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 是： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部?；蛘哒f，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于 注意： 對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)有界時(shí)，系統(tǒng)輸出必為有界函數(shù)。 對(duì)于不穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，在有界輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出信號(hào)將隨時(shí)間的推移而發(fā)散。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 定理：若系統(tǒng)的特征方程為 則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是 （ 依系數(shù)判穩(wěn)） ： 特征方程式無零系數(shù)，且各項(xiàng)系數(shù)均為正值。 01110 00 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 證明： 設(shè) 為實(shí)數(shù)根。 、 、 為復(fù)數(shù)根。其中， 和 、 、 都為正值 (符合充要條件），則式 (3寫為 即 11 j 22 j1 20 1 2 1 1 1 12 2 2 2 ( ) ( ) ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) 0a s p s p s 0)2()2()(222222212112210自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 因?yàn)樯鲜降忍?hào)左方所有因式的系數(shù)都為正值，所以它們相乘后 必然仍為正值且不會(huì)有系數(shù)為零項(xiàng)。 反之，若方程式中有一個(gè)根為正實(shí)根，或一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)根，則由式 (3知，對(duì)于方程式 的系數(shù)不會(huì)全為正值，即一定會(huì)有負(fù)系數(shù)項(xiàng)或缺項(xiàng)出現(xiàn)。 然而， 這一條件是不充分的 ，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)為正數(shù)的系統(tǒng)特征方程，完全有可能擁有正實(shí)部的根。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 不難證明，對(duì)于一階和二階線性定常系統(tǒng)，其特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)全為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件。 但是對(duì)三階以上的系統(tǒng)，特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而非充分條件。 04045 23 6 6 4 3 j 0 5 4 5 7 0 9 ,- 2 , 31 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 勞斯穩(wěn)定判據(jù) (s 由于控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征根均需具有負(fù)實(shí)部，因而對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別就變成求解特征方程式的根，并檢驗(yàn)所求的根是否都具有負(fù)實(shí)部的問題。 由于求解高階系統(tǒng)根的工作量很大，所以我們希望有一種不用求解特征方程的根，而是 根椐特征方程式的根與其系數(shù)間的關(guān)系去判別特征根實(shí)部的符號(hào) （間接的方法）。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為 將上式中的各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表 0122110 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 由勞斯表的結(jié)構(gòu)可知，勞斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系數(shù)，以后各元素按勞斯表的規(guī)律求取。 列表規(guī)律： )1( 母總是上一行第一個(gè)元素 4 一行可同乘以或同除以某正數(shù) 2 次對(duì)角線減主對(duì)角線 1 右移一位降兩階 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變化，去判別特征方程式的根在 結(jié)論是： (1) 如果勞斯表中第一列系數(shù)嚴(yán)格為正，則其特征方程式的根都在 應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2) 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在右半 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 例 3已知三階系統(tǒng)特征方程為 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 解： 列勞斯表為 根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定要求勞斯表第一列系數(shù)均為正值，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是各系數(shù)大于零，且 bc 023 連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 例 3設(shè)系統(tǒng)特征方程為 使用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果不穩(wěn)定求出該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。 解： 列勞斯表如下 因勞斯列表第一列元素符號(hào)變化兩次，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)正實(shí)部根。 05432 234 j 0 . 8 5 7 9 + - 1 . 2 8 7 84 1 6 1 , j+ 0 7 8 3 , 42,1 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 兩種特殊情況： (1)勞斯表中 某行第一項(xiàng)元素等于零 ，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒有余項(xiàng)，這種情況的出現(xiàn)會(huì)使計(jì)算下一行第一元素時(shí)出現(xiàn)無窮現(xiàn)象。 解決的辦法是： 以一個(gè)很小的正數(shù) 代替為零的該項(xiàng)，繼續(xù)勞斯表的列寫。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 若勞斯表 第一列 的系數(shù)符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在 應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 如果第一列 上面的系數(shù)與其下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定。 022 23 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 例 3設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 試用勞斯判據(jù)確定該方程的根在平面上的 具體分布 。 解： 基于方程中 穩(wěn)定的必要條件可知，該方程至少有一個(gè)根位于 應(yīng)的系統(tǒng)為 不穩(wěn)定 。為了確定該方程的根在 據(jù)方程排出下列的勞斯表 0233 00310123大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 由上表可見，其第一列 項(xiàng)上面與下面的符號(hào)變化了兩次。根據(jù)勞斯判據(jù)，可知該方程有兩個(gè)根在 若用因式分解的方法，把原方程改寫為 由上式解得 =1， 2，從而驗(yàn)證了上式用勞斯判據(jù)所得的結(jié)論的正確性。 0)2()1(23 23 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 (2) 如果勞斯表中 出現(xiàn)全零行 ，則 表示相應(yīng)的方程中含有一些大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根 ( (或 )共軛虛根。 解決的辦法是： 可利用系數(shù)全零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并將這個(gè)輔助多項(xiàng)式求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。 如此，繼續(xù)計(jì)算其余的項(xiàng)，完成勞斯表的排列。 輔助多項(xiàng)式的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明大小相等、符號(hào)相反的根數(shù)，而且這些根可利用輔助多項(xiàng)式求出。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 例 3系統(tǒng)的特征方程為 試判穩(wěn)。 解： 勞斯表如下： 044732 23456 06400043)(431431472101233324456自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 用系數(shù)為 4和 6代替 元素，并繼續(xù)往下計(jì)算其他行的元素，完成勞斯表的排列。由勞斯列表第一列元素符號(hào)變化一次，可知有一個(gè)正實(shí)部根， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 由 P(s)=0得 求得兩對(duì)大小相等、符號(hào)相反的根為 ，顯然，這個(gè)系統(tǒng)是處于 不穩(wěn)定狀態(tài) 。 043 24 s 3 , 4 2j、大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 補(bǔ) 1 系統(tǒng)特征方程 s+7=0 勞 斯 表 s6 s5 s0 s1 s2 s3 2 4 6 3 5 7 (6 4)/2=1 1 (102=2 2 7 0 (61= 8 1 2 勞斯表特點(diǎn) 系統(tǒng)不穩(wěn)定 7 7 7 - 2 +8 +8) - 7 勞斯判據(jù)的補(bǔ)充習(xí)題 勞斯表出現(xiàn)零元素 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 勞斯表出現(xiàn)零行補(bǔ) 2 設(shè)系統(tǒng)特征方程為： s+6=0 勞 斯 表 s0 s1 s2 s3 1 7 5 6 1 16 6 0 1 勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行 ? 2 出現(xiàn)零行怎么辦 ? 3 如何求對(duì)稱的根 ? 由零行的上一行構(gòu)成 輔助方程 : 有大小相等符號(hào)相反的 特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行 =0 對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù) : 2 1 1 繼續(xù)計(jì)算勞斯表 1 第一列全大于零 ,所以系統(tǒng)穩(wěn)定 錯(cuò)啦 ! 由綜合除法可得另兩個(gè)根為 = 3 解輔助方程得對(duì)稱根 : = j 勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng) 一定 不穩(wěn)定 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 勞斯判據(jù)還可以用來判別代數(shù)方程式中位于平面上給定垂線 的右側(cè)根的數(shù)目。 只要令 并代入原方程中，得到以 為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂直線 的右側(cè)。 用此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各個(gè)根中最靠近右側(cè)的根距虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。 1 s相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度（勞斯判據(jù)的應(yīng)用） 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 例 3用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程 是否有根在 檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線 s=1的右方。 解： 列勞斯表 由于勞斯表的第一列系數(shù)全為正值，因而該特征方程式的根全部位于 應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 0413102 23 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 令 s = z1代入特征方程，經(jīng)化簡(jiǎn)后得 因?yàn)樯鲜街械南禂?shù)有負(fù)號(hào)，所以方程必然有根位于直線 s=1的右方。列出以 由上表可見，第一列的符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直線 s=1的右方。 0142 23 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 勞斯判據(jù)的應(yīng)用 單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 )4)(1()(自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 赫爾維茲判據(jù) 該判據(jù)也是根據(jù)特征方程的系數(shù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 以特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)組成如下行列式 0122110 234567012345012301000000大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 第 3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法 赫爾維茲判據(jù)： 系統(tǒng)穩(wěn)定的 充分必要條件 是 在 的情況下，上述行列式的各階主子式 均大于零，即 00 000034512301330212301211234567012345012301000000大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理