第 1 頁 第 二 篇 專題能力突破 專題一 規(guī)律探索問題 A 組 2015 年全國中考題組 一、選擇題 1 (2015湖北黃岡中學(xué)自主招生 ， 9， 3 分 )兩列數(shù)如下： 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25， 28， 31 7， 11， 15， 19， 23， 27， 31， 35， 39 第 1 個相同的數(shù)是 7， 第 10 個相同的數(shù)是 ( ) A 115 B 127 C 139 D 151 解析 第一組數(shù) 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25， 28， 31， 第 m 個數(shù)為： 3m 4； 第二組數(shù) 7， 11， 15， 19， 23， 27， 31， 35， 39， 第 n 個數(shù)為： 4n 3. 3 與 4 的最小公倍數(shù)為 12， 這兩組數(shù)中相同的數(shù)組成的數(shù)列中 兩個相鄰的數(shù)的差值為 12. 第一個相同的數(shù)為 7， 相同的數(shù)組成的數(shù)列的通式為 12n 5. 第 10 個相同的數(shù)是： 12 10 5 120 5 115. 答案 A 2 (2015重慶 (B)， 8， 3 分 )下列圖形都是由幾個黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成 ，圖 1 中有 2 個黑色正方形 ， 圖 2 中有 5 個黑色正方形 ， 圖 3 中有 8 個黑色正方形 ，圖 4 中有 11 個黑色正方形 ， ， 依此規(guī)律 ， 圖 11 中黑色正方形的個數(shù)是 ( ) A 32 B 29 第 2 頁 C 28 D 26 解析 觀察圖形發(fā)現(xiàn)： 圖 1 中有 2 個黑色正方形 ， 圖 2 中有 2 3 (2 1) 5 個黑色正方形 ， 圖 3 中有 2 3 (3 1) 8 個黑色正方形 ， 圖 4 中有 2 3 (4 1) 11 個黑色正方形 ， ， 圖 n 中有 2 3 (n 1) 3n 1 個黑色的正方形 ， 當(dāng) n 11 時 ， 2 3 (11 1) 32. 答案 A 3 (2015重慶 (A)， 8， 3 分 )下列圖形中都是由同 樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的 ， 其中第 1 個圖形中一共有 6 個小圓圈 ， 第 2 個圖形中一共有 9 個小圓圈 ， 第 3 個圖形中一共有 12 個小圓圈 ， ， 按此規(guī)律排列 ， 則第 7 個圖形中小圓圈的個數(shù)為 ( ) A 21 B 24 C 27 D 30 解析 觀察圖形得： 第 1 個圖形有 3 3 1 6 個圓圈 ， 第 2 個圖形有 3 3 2 9 個圓圈 ， 第 3 個圖形有 3 3 3 12 個圓圈 ， ， 第 n 個圖形有 3 3n 3(n 1)個圓圈 當(dāng) n 7 時 ， 3 (7 1) 24， 故選 B. 答案 B 4 (2015浙江寧波 ， 10， 3 分 )一列數(shù) ， 具有下面的規(guī)律 ， 1 頁 2 1， 若 1， 則 15 的值是 ( ) A 1 B 6 C 9 D 19 解析 1 2 1， 15 07 23456 1， 15的值是 6. 答案 B 5 (2015山東德州 ， 5， 4 分 )一組數(shù) 1， 1， 2， x， 5， y， 滿足 “ 從第三個數(shù)起 ， 每個數(shù)都等于它前面的兩個數(shù)之和 ” ， 那么這組數(shù)中 y 表示的數(shù)為 ( ) A 8 B 9 C 13 D 15 解析 每個數(shù)都等于它前面的兩個數(shù)之和 ， x 1 2 3， y x 5 3 5 8， 即這組數(shù)中 y 表 示的數(shù)為 . 答案 A 二、填空題 6 (2015廣東深圳 ， 9， 4 分 )觀察下列圖形 ， 它們是按一定規(guī)律排列的 ， 依照此規(guī)律 ，第 5 個圖形有 _個太陽 解析 第一行小太陽的個數(shù)為 1， 2， 3， 4， ， 第 5 個圖形有 5 個太陽 ， 第二行小太陽的個數(shù)是 1， 2， 4， 8， ， 2n 1， 第 5 個圖形有 24 16 個太陽 ， 所以第 5 個圖形共有 5 16 21 個太陽 答案 21 7 (2015浙江湖州 ， 16， 4 分 )已知正方形 邊長為 1， 延長 以 1延長 以 邊向右作 正方形 如圖所示 )， 以此類推 ， 若 2， 過點(diǎn) A， 在同一直線上 ，則正方形 邊長是 _ 第 4 頁 解析 設(shè) ， 根據(jù)正方形的排放規(guī)律 ， 可知 ， 12 1 解得 23； 223 解得 3， 31 解得 92； 9292 3 解得 3322； 13n 12n 2， 827(或6 561128 ) 答案 3827(或6 561128 ) 三、解答題 8 (2015四川自貢 ， 22， 12 分 )觀察下表： 我們把某格中各字母的和所得多項(xiàng)式稱為 “ 特征多項(xiàng)式 ” 例如 ， 第 1 格的 “ 特征第 5 頁 多項(xiàng)式 ” 為 4a (1)第 3 格的 “ 特征多 項(xiàng)式 ” 為 _， 第 4 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 為 _，第 特征多項(xiàng)式 ” 為 _； (2)若第 1 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 的值為 10， 第 2 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 的值為 16，求 a， b 的值 解 (1)觀察圖形發(fā)現(xiàn)： 第 1 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 為 4a b， 第 2 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 為 8a 4b， 第 3 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 為 12a 9b， 第 4 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 為 16a 16b， 第 n 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 為 4 故填 12a 9b 16a 16b 4(2) 第 1 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 的值為 10， 第 2 格的 “ 特征多項(xiàng)式 ” 的值為 16， 4a b 10，8a 4b 16， 解得： a 3； b 2， a， b 的值分別為 3 和 2. B 組 2014 2011 年全國中考題組 一、選擇題 1 (2012浙江麗水 ， 10， 3 分 )小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律 ， 圖 1 中棋子圍成三角形 ， 其顆數(shù) 3， 6， 9， 12， 稱為三角形數(shù) ， 類似地 ， 圖 2 中的 4， 8， 12， 16， 稱為正方形數(shù) ， 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ( ) 圖 1 圖 2 A 2 010 B 2 012 C 2 014 D 2 016 解析 圖 1 中各三角形的棋子數(shù)分別是 3， 6， 9， 12， ， 顯然都是 3 的倍數(shù) ， 圖2 中各正方形棋子數(shù)分別是 4， 8， 12， 16， ， 顯然都是 4 的倍數(shù) ， 既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的棋子數(shù)必能被 12 整除 ， 而 2 010， 2 012， 2 014， 2 016 四個數(shù)中 ，第 6 頁 只有 2 016 能被 12 整除 ， 故答案選 D. 答案 D 2 (2013山東日照 ， 11， 4 分 )如圖 ， 下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律根據(jù)此規(guī)律 ， 圖形中 M 與 m， n 的關(guān)系是 ( ) A M B M n(m 1) C M 1 D M m(n 1) 解析 方法一：驗(yàn)證法： A 中等式不滿足第一個圖形 ， 故排除 A； B 中等式不滿足第一個圖形 ， 故排除 B； C 中等式不滿足第二個圖形 ， 故排除 C；故選 察三個圖形中數(shù)字的變化 ， 可知 1 (2 1) 3， 3 (4 1) 15， 5 (6 1) 35， 故 M與 m， n 的關(guān)系是 M m(n 1)， 故選 D. 答案 D 3 (2014重慶 ， 10， 4 分 )下列圖形都是按照一定規(guī)律組成 ， 第一個圖形中共有 2 個三角形 ， 第二個圖形中共有 8 個三角形 ， 第三個圖形中共有 14 個三角形 ， ， 依此規(guī)律 ，第五個圖形中三角形的個數(shù)是 ( ) A 22 B 24 C 26 D 28 解析 已知三個圖形 中三角形的數(shù)目為： 2， 8， 14， 求差為： 8 2 6， 14 8 6，差相等 ， 所以各個數(shù)據(jù)可以看作： 2 6 4， 8 6 2 4， 14 6 3 4， 則第五個圖形中三角形的個數(shù)是： 6 5 4 26， 故選 C. 答案 C 4 (2012浙江紹興 ， 10， 4 分 )如圖 ， 直角三角形紙片 ， 3， 4， D 為斜邊 點(diǎn)第 1 次將紙片折疊 ， 使點(diǎn) A 與點(diǎn) D 重合 ， 折痕與 于點(diǎn) 1， 第 2 次將紙片 折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn) 合 ， 折痕與 于點(diǎn) 2， 第 3次將紙片折疊 ， 使點(diǎn) 2重合 ， 折痕與 3； ；第 7 頁 設(shè) 12 的中點(diǎn)為 1， 第 n 次將紙片折疊 ， 使點(diǎn) A 與點(diǎn) 1 重合 ， 折痕與 n(n2)則 長為 ( ) 35212 29 36214 211 解析 在 ， 4， 3， 所以 是 中點(diǎn) ， 所以 ， D 是一組對稱點(diǎn) ， 所以 21是 所以 2 12 32， 52 12 32 12， 同理 52 12 (32 12)2， ， 52 12 (32 12)n1， 所以 5212 (3212)6 1 5212 (3212)5 5 35212 ， 故應(yīng)選 A. 答案 A 5 (2014山東威海 ， 12， 3 分 )如圖 ， 在平面直角坐 標(biāo)系 ， 的斜邊都在 坐標(biāo)軸上 ， 30 1 的坐標(biāo)為 (3， 0)， 則依此規(guī)律 ， 點(diǎn) 14的縱坐標(biāo)為 ( ) A 0 B 3 (2 33 )2 014 C (2 3)2 014 D 3 (2 33 )2 013 解析 0 0 332 3 2 33 3 (2 33 )2； (2 33 )3.3 (2 33 )n 0144 503 2， 所以點(diǎn) 14與第 8 頁 點(diǎn) 故點(diǎn) 14的縱坐標(biāo)為 3 (2 33 )2 013， 故選 D. 答案 D 二、填空題 6 (2013江西 ， 11， 3 分 )觀察下列圖形中點(diǎn)的個數(shù) ， 若按其規(guī)律再畫下去 ， 可 以得到第 n 個圖形中所有點(diǎn)的個數(shù)為 _(用含 n 的代數(shù)式表示 ) 解析 第一個圖形共有 4 個點(diǎn) ， 第二個圖形共有 9 個點(diǎn) ， 第三個圖形共有 16 個點(diǎn) ，4， 9， 16 都是完全平方數(shù) ， 故可看作 4 (1 1)2， 9 (2 1)2， 16 (3 1)2， 則第 n 1)2. 答案 (n 1)2 7 (2013浙江湖州 ， 15， 4 分 )將連續(xù)的正整數(shù)按以下規(guī)律排列 ， 則位于第七行、第七列的數(shù) x 是 _ 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 第一行 1 3 6 10 15 21 28 第二行 2 5 9 14 20 27 第三行 4 8 13 19 26 第四行 7 12 18 25 第五行 11 17 24 第六行 16 23 第 9 頁 第七行 22 x 解析 第一行的第一列與第二列相差 2， 第 二列與第三列相差 3， 第三列與第四列相差 4， 第六列與第七列相差 7， 第二行的第一列與第二列相差 3， 第二列與第三列相差 4， 第三列與第四列相差 5， 第五列與第六列相差 7， 第三行的第一列與第二列相差 4， 第二列與第三列相差 5， 第三列與第四列相差 6， 第四列與第五列相差 7， 第七行的第一列與第二列相差 8， 是 30， 第二列與第三 列相差 9， 是 39， 第三列與第四列相差 10， 是 49， 第四列與第五列相差 11， 是 60， 第五列與第六列相差 12，是 72， 第六列與第七列相差 13， 是 85；故答案為 85. 答案 85 8 (2014貴州畢節(jié) ， 18， 5 分 )觀察下列一組數(shù)： 14， 39， 516， 725， 936 ， 它們是按一定規(guī)律排列的 ， 那么這一組數(shù)據(jù)的第 n 個數(shù)是 _ 解析 分子依次為 1， 3， 5， 7， 9， ， 可表示為 2n 1；分母依次為 22， 32， 42，52， 62， ， 可表示為 (n 1)2， 所以第 n 個數(shù)是 2n 1（ n 1） 2. 答案 2n 1（ n 1） 2 9 (2012浙江湖州 ， 16， 4 分 )如圖 ， 將正 割 成 的小正三角形和一個黑色菱形 ， 這個黑 色菱形可分割成 n 個邊長為 1 的小正三角形 ， 若 4725， 則正 邊長是 _ 解析 設(shè)正 邊長為 x， 則高為 32 x， S 12x 32 x 34 所分成的都是正三角形 ， 結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長的對角線為 32 x 3， 較短的對角線為 ( 32 x 3) 33 12x 1， 第 10 頁 黑色菱形的面積 12 32 x 3 12x 1 38 (x 2)2， 4 38 （ x 2）238 （ x 2）2 4725， 整理得 ， 11144x 144 0， 解得 1211(不符合題意 ， 舍去 )， 12. 邊長是 12. 答案 12 10 (2014江蘇揚(yáng)州 ， 18， 3 分 )設(shè) ， 14 是從 1， 0， 1 這三個數(shù)中取值的一列數(shù) ， 若 14 69， (1)2 (1)2 (14 1)2 4 001， 則 ， 14 中為 0 的個數(shù)是 _ 解析 設(shè)這些數(shù)中 0 的個數(shù)為 a， 則由 14 69 可知： 1 的個數(shù)比 1 的個數(shù)要多 69， 即 1 的個數(shù)為 2 014 a 692 ， 而 1 的個數(shù)為 2 014 a 692 ；再考慮到另一個等式 (1)2 (1)2 (14 1)2 4 001， 得到每個數(shù) 1 后 ，其中平方后為 4 的數(shù)有 2 014 a 692 個 ， 1 有 a 個 ， 其余都是 0， 可知 4 2 014 a 692 a 4 001， 解得 a 165. 答案 165