難點(diǎn) 24 直線與圓錐曲線 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等 類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能 . 難點(diǎn)磁場(chǎng) ( )已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線 y=x+1 與橢圓交于P 和 Q，且 |210，求橢圓方程 . 案例探 究 例 1如圖所示，拋物線 ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (5，0)，傾斜角為4的直線 A 相交 (不經(jīng)過(guò)點(diǎn) )且交拋物線于 M、 求 命題意圖：直線與圓錐曲線相交，一個(gè)重要的問(wèn)題就是有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題 “韋達(dá)定理法” 級(jí)題目 . 知識(shí)依托：弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想 . 錯(cuò)解分析：將直線方程代入拋物線 方程后，沒(méi)有確定 不等式法求最值忽略了適用的條件 . 技巧與方法：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算 . 解：由題意，可設(shè) y=x+m, 5 m 0. 由方程組去 y,得 2m 4)x+ 直線 、 N， 方程的判別式 =(2m 4)2 46(1 m) 0, 解得 m 1,又 5 m 0, 5， 0) 設(shè) M(x1,N(x2, x1+ 2m， x2= |4 )1(2 m . 點(diǎn) A 到直線 d=25 m. S =2(5+m) m1 ,從而 S 2=4(1 m)(5+m)2 =2(2 2m) (5+m)(5+m) 2(3 5522 )3=128. S 8 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 2 2m=5+m,即 m= 1 時(shí)取等號(hào) . 故直線 y=x 1， 2 . 例 2已知雙曲線 C： 2 與點(diǎn) P(1， 2) (1)求過(guò) P(1， 2)點(diǎn)的直線 分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn) . (2)若 Q(1， 1)，試判斷以 命題意圖：第一問(wèn)考查直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題 “差分法”，屬級(jí)題目 . 知識(shí)依托：二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式 . 錯(cuò)解分析：第一問(wèn)，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論 得以，就認(rèn)為所求直線存在了 . 技巧與方法：涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化 . 解： (1)當(dāng)直線 x=1,與曲線 當(dāng) 直線 y 2=k(x 1),代入 整理得 (2 k2)(2k)x k 6=0 (*) ( )當(dāng) 2 ,即 k= 2 時(shí)，方程 (*)有一個(gè)根， 有一個(gè)交點(diǎn) ( )當(dāng) 2 0,即 k 2 時(shí) = 2(2k) 2 4(2 k 6)=16(3 2k) 當(dāng) =0,即 3 2k=0,k=23時(shí)，方程 (*)有一個(gè)實(shí)根， 有一個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng) 0,即 k23,又 k 2 ,故當(dāng) k 2 或 2 k 2 或 2 k23時(shí)，方程 (*)有兩不等實(shí)根， 有兩個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng) 0，即 k23時(shí)，方程 (*)無(wú)解， 無(wú)交點(diǎn) . 綜上知：當(dāng) k= 2 ,或 k=23，或 只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) 2 k23,或 2 k 2 ,或 k 2 時(shí)， 有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) k23時(shí)， 沒(méi)有交點(diǎn) . (2)假設(shè)以 為 A(x1,B(x2,則 2,2兩式相減得： 2(x1+(y1+又 x1+,y1+ 2( 121 xx =2 但漸近線斜率為 2 ,結(jié)合圖形知直線 C 無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以 Q 為中點(diǎn)的弦不存在 . 例 3如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是 4， 0)、 ， 0)，過(guò)點(diǎn) ，且 |10，橢圓上不同的兩點(diǎn) A(x1,C(x2,足條件：| | |等差數(shù)列 . (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦 (3)設(shè)弦 y=kx+m，求 命題意圖：本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識(shí)，一、二問(wèn)較簡(jiǎn)單，第三問(wèn)巧妙地借助中垂線來(lái)求參數(shù)的范圍，設(shè)計(jì)新穎，綜合性，靈活性強(qiáng)，屬級(jí)題目 . 知識(shí)依托：橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理 直線與圓錐曲線的方法 . 錯(cuò)解分析：第三問(wèn)在表達(dá)出“ k=3625，忽略了“ k=0”時(shí)的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系 . 技巧與方法：第一問(wèn)利用橢圓的第一定義寫(xiě)方程；第二問(wèn)利用橢圓的第二定義 (即焦半徑公式 )求解，第三問(wèn)利用 的縱坐標(biāo) 用 解： (1)由橢圓定義及條件知， 2a=|10,得 a=5,又 c=4,所以 b= 22 =3. 故橢圓方程為92522 =1. (2)由點(diǎn) B(4,橢圓上，得 |x=425,離心率為54，根據(jù)橢圓定義，有 |54(425 |54(425 由 | | |等差數(shù)列，得 54(425 54(425 259,由此得出： x1+. 設(shè)弦 (x0,則 21 =4. (3)解法一：由 A(x1,C(x2,橢圓上 . 得25925925925922222121 得 9(25(0, 即 9)()2(25)2(21212121 xx =0(將,2,42 21 21021021 (k 0)代入上式，得 9 4+250 (k 0) 即 k=3625 k=0時(shí)也成立 ). 由點(diǎn) P(4， 弦 k+m,所以 m=4k=25916由點(diǎn) P(4， 線段 (B與 B 關(guān)于 的內(nèi)部，得59 9,所以516m516. 解法二：因?yàn)橄?(4,所以直線 y k1(x 4)(k 0) 將代入橢圓方程92522 =1,得 (95)50()x+25()2 25 9 所以 x1+59 )4(50 2 0,解得 k=3625當(dāng) k=0時(shí)也成立 ) (以下同解法一 ). 錦囊妙計(jì) 際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類討論 和數(shù)形結(jié)合的思想方法 . 及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng) (即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式 )；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化 找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍 . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )斜率為 1 的直線 l 與橢圓42x + 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，則 |最大值為( ) )拋物線 y=y=kx+b(k 0)交于 A、 B 兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x1,線與 恒有 ( ) x1+ x2+ 二、填空題 3.( )已知兩點(diǎn) M(1，45)、 N( 4，45)，給出下列曲線方程： 4x+2y 1=0, x2+,22x +,22x ,在曲線上存在點(diǎn) P 滿足 |所有曲線方程是_. 4.( )正方形 y=x+4 上， C、 D 兩點(diǎn)在拋物線 y2=正方形 _. 5.( )在拋物線 6x 內(nèi)，通過(guò)點(diǎn) (2， 1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是 _. 三、解答題 6.( )已知拋物線 px(p 0),過(guò)動(dòng)點(diǎn) M(a,0)且斜率為 1 的直線 、 B，且 | 2p. (1)求 (2)若線段 ，求 積的最大值 . 7.( )已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn) x 軸上，離心率 e=321的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(6， 6). (1)求雙曲線方程 . (2)動(dòng)直線 l 經(jīng)過(guò) 的重心 G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn) M、 N，問(wèn)：是否存在直線 l,使 N，證明你的結(jié)論 . 8.( )已知雙曲線 C 的兩條漸近線都過(guò)原點(diǎn)，且都以點(diǎn) A( 2 ， 0)為圓心， 1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn) 點(diǎn)關(guān)于直線 y= (1)求雙曲線 (2)設(shè)直線 ，斜率為 k,當(dāng) 0 k 1 時(shí)，雙曲線 到直線 ，試求 k 的值及此時(shí) 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 解：設(shè)橢圓方程為 (m 0,n 0)， P(x1,Q(x2,由1122 得 (m+n)nx+n 1=0, =44(m+n)(n 1) 0,即 m+n 0, 由 以 ,即 2x1+1=0, nm 2)1(2+1=0, m+n=2 又 2 )210()(4 nm 將 m+n=2,代入得 m n=43 由、式得 m=21,n=23或 m=23,n=21故橢圓方程為22x +23 或231. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 長(zhǎng) |55422t 5104. 答案： C 方程組 ,得 b=0,可知 x1+x2=ak,ab,入驗(yàn)證即可 . 答案： B 二、 P 在線段 斷 答案： C、 y=x+b,代入 y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出 |長(zhǎng)，利用|長(zhǎng)等于兩平行直線 y=x+4 與 y=x+出 代入求出 |長(zhǎng) . 答案： 18 或 50 所求直線與 6x 相交于點(diǎn) A、 B，且 A(x1,B(x2,代入拋物線方程得6x1,6式相減得， (y1+(16( 即212121 16 . 故所求直線方程為 y=8x 15. 答案： 8x y 15=0 三、 (1)設(shè)直線 l 的方程為： y=x a,代入拋物線方程得 (x a)2=2 (a+p)x+ | 22 4)(42 2p. 4 4 p 0, a4p. (2)設(shè) A(x1, B(x2, C(x,y), 由 (1)知， y1=a,y2=a,x1+a+2p, 則有 x=2 22,2 212121 =p. 線段 y p= (x a p),從而 a+2p,0 點(diǎn) 2 |2| 從而 S 222 2224)(4221 當(dāng) (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為2222=66 22222222 a 得 ,2. 所以所求雙曲線方程為12922 =1. (2)P、 6,6)、 (3， 0)、 ( 3， 0）， 其重心 2， 2） 假設(shè)存在直線 l，使 G(2， 2)平分線段 M(x1, N(x2,則有 34912441089121089122121212122222121 4 y=34(x 2)+2, 由)2(34108912 22消去 y,整理得 4x+28=0. =16 4 28 0,所求直線 (1)設(shè)雙曲線的漸近線為 y= d=1|2|2 1,解得 k= 1. 即漸近線為 y= x,又點(diǎn) A 關(guān)于 y=0， 2