第 1 頁， 共 11 頁 2016 年高考模擬試卷 (9) 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分 1函數(shù) y x x 的最小正周期是 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 i( 4) 3 2 （ i 是虛數(shù)單位），則 z 的虛部為 3某用人單位從甲、乙、丙、丁 4 名應(yīng)聘者中招聘 2 人，若每名應(yīng)聘者被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲、乙 2 人中至少有 1 人被錄用的概率為 4根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果 S 為 5已知圓錐的軸截面是邊長為 2的正三角形，則該圓錐的體積為 6 將函數(shù) 的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo) 變 為 原來的 3 倍（縱 坐標(biāo)不變），再向左平移4個(gè)單位， 得到函數(shù) ()y f x 的圖象，則 () 7若實(shí)數(shù) , 02030 ，則 24取值范圍是 8已知 中，角 的對邊分別為 ，且2 2 265 t a n a c b ，則 值是 9已知橢圓 2239的左焦點(diǎn)為1F，點(diǎn) P 是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn) D 是線段11周長為 10已知函數(shù) ()滿足 ( ) ( )f x f x ，且當(dāng) 0x 時(shí)， 2( ) 1f x x a x ；若 ()有 4 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 11設(shè) a b R、 ，已知關(guān)于 x 的方程 22( 1 ) ( 1 ) 0x a x x b x 的四個(gè)實(shí)數(shù)根構(gòu)成以 q 為公比的等比數(shù)列，若1 , 23q ，則實(shí)數(shù) 取值范圍是 12在平面直角坐標(biāo)系 ，設(shè)直線 2 與圓 2 2 2x y r ( 0)r 交于 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn) C 滿足 5344O C O A O B r 13若 均為正實(shí)數(shù)，且 2 2 2 1x y z ，則 2( 1)2最小值為 14 各項(xiàng) 均 為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為 2，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過 33，則這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng) 二、解答題：本大題共 6 小題，共計(jì) 90 分請?jiān)?答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 S 1 I 1 I 8 S S 3 I I 2 S （第 4 題） 第 2 頁， 共 11 頁 15 （本題滿分 14 分 ） 平面直角坐標(biāo)系 ，已知向量 (6,1)AB ( , )BC x y ( 2 , 3) 且 （ 1） 求 x 與 y 之間的關(guān)系式 ； （ 2）若 D求 四邊形 面積 16 （本題滿分 14 分） 如圖，四棱錐 P ，底面 矩形， 平面 (1)求證：平面 平面 (2)在棱 是否存在一點(diǎn) E，使得 平面 果存在，請找出點(diǎn) E 并加以證明；如果不存在，請說明理由 17（本題滿分 15 分） 如圖，我市市區(qū)有過市中心 O 南北走向的解放路，為 了解決南徐新城的交通問題，市政府決定修建兩條公路：延伸從市中心 O 出發(fā)北偏西 60o 方向的健康路至 B 點(diǎn)；在市中心正南方向解放路上選取 A 點(diǎn)，在 , （ 1）如果在 A 點(diǎn)處看市中心 O 和 B 點(diǎn)視角的正弦值為 35，求在 B 點(diǎn)處看市中心 O 和 A 點(diǎn)視角的余弦值； （ 2）如果 域作為保護(hù)區(qū)，已知保護(hù)區(qū)的面積為 1534A 點(diǎn)距市中心的距離為 3南徐新路的長度； （ 3）如果 設(shè)計(jì)要求市中心 O 到南徐新路 的距離為 4且南 徐新路 短，請你確定 , P A B C D B A O 北 東 西 解放路 解放路 南徐新路 健康路 南 正東路 南徐新城 第 3 頁， 共 11 頁 18（本題滿分 15 分） 已知圓 C 方程為 22 8 ( 6 2 ) 6 1 0 ( , 0 )x y m x m y m m R m ，橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上 （ 1）證明圓 C 恒過一定點(diǎn) M ，并求此定點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 2）判斷直線 4 3 3 0 與圓 C 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) 2m 時(shí)，圓 C 與橢圓的左準(zhǔn)線相切，且橢圓過（ 1）中的點(diǎn) M ， 求此時(shí)橢圓方程 ； 在 x 軸上是否存在兩定點(diǎn) ,得對橢圓上任意一點(diǎn) Q （異于長軸端點(diǎn)），直線 ,斜率之積為定值？若存在，求出 , 若不存在，請說明理由 19（本題滿分 16 分） 已知定 義 在實(shí)數(shù)集上的函數(shù) ( ) ,x x n N，其導(dǎo)函數(shù)記為 ()，且滿足2 2 2 12 1 2 1 1 221( ) ( ) ( ) , , ,f x f xf x a x x a x 為常數(shù)，12 （ 1） 試求實(shí)數(shù) a 的 值 ； （ 2） 記函數(shù)13( ) ( ) l n ( ) F x b f x f x， 0,，若 ()，求實(shí)數(shù) b 的值； （ 3） 對于（ 2）中的 b ，設(shè)函數(shù) b( ) ( )3 ，11( , )A x y，22( , )B x y，12函數(shù) ()象上兩點(diǎn)，若 210 21() ，試判斷0 1 2,x x 加以證明 20（本題滿分 16 分） 給定數(shù)列 12, , , na a 對 1, 2 , , 1L ，該數(shù)列前 i 項(xiàng)的最大值記為 的最小值記為iB，i i B （ 1） 設(shè)11 23 ，求5d； （ 2） 設(shè) 12, , , na a 4)n 是公比大于 1 的等比數(shù)列，且 1 0a 時(shí)， 證明： 1 2 1, , , nd d d L 成等比數(shù)列 ； （ 3） 設(shè) 1 2 1, , , nd d d L 是公差大于 0 的等差數(shù)列，且 1 0d ，證明： 1 2 1, , , na a a L 成等差數(shù)列 第卷（附加題，共 40 分） 21 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D 共 4 小題， 請選定其中兩小題 ， 并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩小題評分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 A （選修：幾何證明選講） 如圖 , 直角 ,圓 O 與射線 切于點(diǎn) T ,與射線 交于兩點(diǎn) 求證 ： 分 第 4 頁， 共 11 頁 B （選修：矩陣與變換） 設(shè) M 1 00 2 ， N12 00 1， 試求曲線 y 矩陣 換下的曲線方程 C （選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在極坐標(biāo)系中，圓 C 的極坐標(biāo)方程為 2 4)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為 x 1 45t，y 1 35t（ t 為參數(shù)），求直線 l 被圓 C 所截得的弦長 D （選修：不等式選講） 設(shè) x， y 均為正數(shù)，且 x y，求證：2212 2 32x y y 【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計(jì) 20 分請?jiān)?答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 ，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 22 (本小題滿分 10 分 )如圖，直三棱柱 ，底面是等腰直角三角形， 2， 3，D 為 中點(diǎn)， F 在線段 （ 1） 何值時(shí)， 平面 （ 2）設(shè) 1，求平面 平面 成的銳二面角的余弦值 23 （ 本小題滿分 10 分 ） 一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共 n(n N*)個(gè)，這些球除顏色外完全相同已知從袋中任意摸出 1 個(gè)球，得到黑球的概率是 25現(xiàn)從袋中任意摸出 2 個(gè)球 （ 1）若 n 15，且摸出的 2 個(gè)球中至少有 1 個(gè)白球的概率是 47，設(shè) 表示摸出的 2 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù) ，求隨機(jī)變量 的概率分布及數(shù)學(xué)期望 （ 2）當(dāng) n 取何值時(shí)，摸出的 2 個(gè)球中至少有 1 個(gè) 黑球的概率最大，最大概率為多少 ？ A B C 1 D （第 22 題圖） 第 5 頁， 共 11 頁 2016 年高考模擬試卷 (9) 參考答案 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、填空題 12 2 3 3. 56. 4 13. 5. 33. 6. )3 12. 7. 1 , 116. 8. 35. 9. 36 . 10 (2, ) . 【解析】 偶函數(shù)， 4個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng) 0x 時(shí)，必有 2個(gè)；由二次函數(shù)的性質(zhì) 可知：對稱軸在 y 軸右側(cè)且頂點(diǎn)在 x 軸下方； 02a且 ( ) 02，即 0a 且 2 4a ，故 2a 11. 1124, 9. 12. 10 .【解析】 A B C、 、 均在圓上，平方得 2 2 22 5 9 3 0 c o 1 6 1 6O C O A O B O A O B A O B u u ur u u ur u u ur u u ur u u 2 2 2 22 5 9 3 0 c o 1 6 1 6r r r r A O B ，化簡得 3 B ；設(shè)圓心到直線的距離為 d ；則 2 22d ；于是有，223 1 2c o s 2 c o s ( ) 1 2 ( ) 152A O B A O B r ； （畫圖便知） 解得 2 10r 即 10r 13 3 2 2 .【解析】 注意到： 222x y ，考慮保留 z ，構(gòu)造關(guān)于 z 的一元二次不等式；設(shè) 2( 1)2z ，則 2( 1) 2z ，且 0t ；結(jié)合題設(shè)，有 22 ( 1)1 zz ，即 2(1 ) (1 ) ( 1 )t z z z z ；再由題設(shè)知： 01z；有 10z ， 10z , (1 ) 1tz z z 即221 1 1 12(1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) 1z z z z z z ； 考察上式右端分母的最小值為 3 2 2 ，從而右端的最大值為 3 2 2 ；故所求式子的最小值為 3 2 2 14. 7. 【解析】 (n 1)( (n 1)(n) (n 1)n(n 1)a1n 122 n(n 1) (n 1)24 a1n 122 (n 1)(3n 1)4 33,為了使得 n 盡量大，故 n 122 0， (n 1)(3n 1)4 33, (n 1)(3n 1) 132，當(dāng) n 6 時(shí)， 5 19 132；當(dāng) n 7 時(shí)， 6 22 132，故 7 二、解答題 15（ 1）由題意得 ( 4 , 2 )A D A B B C C D x y u u ur u u ur u u ur u u ( , )BC x y 2 分 因?yàn)?所以 ( 4 ) ( 2 ) 0x y y x ， 即 20. 6 分 （ 2）由題意 ( 6 , 1 )A C A B B C x y u u ur u u ur u u ( 2 , 3 )B D B C C D x y u u ur u u ur u u 因?yàn)?D所以 ( 6 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) 0x x y y ， 即 22 4 2 1 5 0x y x y . 10 分 第 6 頁， 共 11 頁 由（ 1）（ 2）得 , 21或 63， 當(dāng) 21時(shí)， (8, 0)AC (0, 4) 1 | | | | 1 62A B C C B D四 邊 形， 12 分 當(dāng) 63時(shí)， (0, 4)AC (0)BD 1 | | | | 1 62A B C C B D四 邊 形 所以 四邊形 面積為 16. 14 分 16 (1)因?yàn)?面 面 所以 2 分 因?yàn)樗倪呅?矩形 ， 所以 4 分 因?yàn)?A， 面 所以 面 6 分 因?yàn)?面 所以平面平面 面 7 分 (2)當(dāng)點(diǎn) E 為棱 點(diǎn)時(shí) ， 面 9 分 取棱 點(diǎn) E， 連接 交于點(diǎn) O， 連結(jié) 因?yàn)樗倪呅?矩形 ， 所以 O 為 點(diǎn) 因?yàn)?E 為棱 點(diǎn) ， 所以 12 分 因?yàn)?平面 面 所以直線 面 14 分 17（ 1）由題可得 23， 1 分 為銳角 , 34s i n c o O B A O ， 2 分 1 4 3 3 4 3 3c o s c o s ( )3 2 5 2 5 1 0O B A B A O 5 分 (每個(gè)等號 1 分 ) (2) 3, 1 1 2 1 5s i n 3 s i n 32 2 3 4S O B O A A O B O B 6 分 解得 5 7 分 由余弦定理可得 2 2 2 22 c o s 9 2 5 1 5 4 93A B O A O B O A O B ， 9 分 所以 7( 10 分 （ 3）因?yàn)?114 s i O A O B A O B ，所以 833O A O B A 11 分 2 2 2 2 222 c o O A O B O A O B O A O B O A O B 12 分 2 O A O B O A O B 13 分 8333 3O A O B A B 所以 2 83B ，所以 83（等號成立 B =8） 14 分 第 7 頁， 共 11 頁 答：當(dāng) 短時(shí)， ,8A B 市 中 心 為 公 里 . 15 分 18 （ 1） 圓 C 的方程可化為： 22( 2 1 ) ( 8 6 6 ) 0x y y m x y ， 2 分 由 22 2 1 0 ,8 6 6 0 ,x y 4 分 解得 0,1,所以圓 C 過定點(diǎn) (0,1)M 5 分 (2) 圓 C 的方程可化為： 222( 4 ) ( 3 1 ) 2 5x m y m m , 6 分 圓心到直線 l 的距離為224 4 3 ( 3 1 ) 343 8 分 25 55m 9 分 所以直線與圓 C 相切 . 10 分 （ 3） m = 2 ， 圓 方 程 為22( 8 ) ( 7 ) 1 0 0 ， 圓 心 為 （ 8 , 7 ） ， 半 徑 為 1 0 , 線 =(8, 即 = 切 所以橢圓的左準(zhǔn)線為 2x ， 11 分 又橢圓過點(diǎn) (0 ,1),M 則 b=1 ， 所以 2 2,1,2,1, 所以橢圓方程為 2 2 12x y. 12 分 在橢圓上任取一點(diǎn) ( , )( 0)Q x y y ， 設(shè)定點(diǎn) ( , 0), ( , 0)A s B t ， 則21 2( ) ( )Q A Q k kx s x t x s x t 2 , 2x 對 恒 成 立， 13 分 所以 221 1 ( )2 x k x k s t x k s t 2 , 2x 對 恒 成 立所以111,222( ) 0 , 2 , 2 ,1, 2 , 2 s t s sk s t 或 14 分 所以 ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )A B A B或 者. 15 分 第 8 頁， 共 11 頁 19（ 1） 22 ()f x x ， 2 ( ) 2f x x ， 1 分 依題意， 22211 2 1 212 ( ) a x x g ，得 12a 4 分 （ 2） ( ) 3 x b x x ，所以 3()F x ， 0,， 5 分 當(dāng) 3， 3( ) 0F x 恒成立，所以 () 0,e 上單調(diào)遞減， ()e)F ，由 (e) 6F 得 9（舍去） 7 分 當(dāng) 3， 3( ) ( )bF x ，令 ( ) 0 ，得 3 3(0, )， ( ) 0 ，所以 ()(0, ) 當(dāng) 3( ,e)， ( ) 0 ，所以 ()( ,e) 9 分 所以 ()小值為 3() 3( ) 6得 3， 所以 3. 10 分 （ 3） ( ) ，結(jié)合圖象猜測1 0 2x x x， 11 分 只需證明 012e e ， 因?yàn)?210 2102 1 2 1) e x x x ， 只需證明 211221， 即證 1 1 221e e ( ) e 0x x ，且 2 2 121e ( ) e 0x x ， 12 分 設(shè) 22( ) e e ( ) e x x x ，則2( ) e ( )xh x x x ， 當(dāng)2， ( ) 0 ， 所以 (), x上單調(diào)遞增，因?yàn)?2所以12( ) ( )h x h x， 而2( ) 0即 1 1 221e e ( ) e 0x x 13 分 同理，設(shè) 11( ) e e ( ) e x x ，則1( ) e ( )xx x x ， 當(dāng)1， ( ) 0x ， 所以 (), )x 上單調(diào)遞減，因?yàn)?2所以12( ) ( )， 而1( ) 0x ，即 2 2 121e e ( ) e 0x x 第 9 頁， 共 11 頁 綜上所述，1 0 2x x x 16 分 20（ 1） 設(shè)11 23 ，因?yàn)? 5 5d A B， 又45 1 1 6233A ，55 1 3 2233B ， 所以5 5 5 163d A B 3 分 （ 2）因?yàn)?1 0a ，公比 1q ，所以 12, , , na a 遞增數(shù) 列， 因此對 1, 2 , , 1L ， 111 ( 1 ) ii i i i B a a a q q 5 分 因此 01 ( 1 , 2 , , 2 )q i L，即 1 2 1, , , nd d d L 成等比數(shù)列 ； 8 分 （ 3） 設(shè) d 為 1 2 1, , , nd d d L 的公差，對 12 ，因?yàn)?， 0d ， 所以1 1 1i i i i i i i d B d d B d A ， 10 分 又因?yàn)?1m a x , i i a，所以11i i i A a 從而 1 2 1, , , na a a L 是遞增數(shù)列，因此 ( 1 , 2 , , 2 ) i n L 12 分 又因?yàn)? 1 1 1 1 1B A d a d a ，所以1 1 2 1nB a a a L，因此1 所以 1 2 1 B a L ，所以 i i i i n B d a d 因此對 1, 2, , 2L ，都有 11i i i ia a d d d ， 即 1 2 1, , , na a a L 成等差數(shù)列 16 分 第卷（附加題，共 40分） 21A 連結(jié) 因?yàn)?切線 ， 所以 2 分 又因?yàn)?直角 ， 即 所以 所以 5 分 又 B， 所以 8 分 所以 即 分 10 分 B 1110 0022020 1 0 2 ， 4 分 設(shè) ,曲線 xy 上的任意一點(diǎn)，在矩陣 換下對應(yīng)的點(diǎn)為 , 則 1 0202 ，所以 1 ,22,即 2,1 ,2 8 分 第 10 頁， 共 11 頁 A B C 1 D x y z 代入 xy 得 1 2 ，即 2 即曲線 xy 在矩陣 換下的曲線方程為 10 分 C曲線 C 的極坐標(biāo)方程 2 c o s ( ) , c o s s i 可 化 為， 化為直角坐標(biāo)方程為 22 0,x y x y 即 221 1 1( ) ( )2 2 2 3 分 直線 :31,5 （ 為參數(shù)）可化為 3 4 1 0 ， 6 分 圓心到直線的距離113 4 11225 1 0d ， 8 分 弦長 22 725L R d 10 分 D 因?yàn)?x 0， y 0， x y 0，2 2 2112 2 2 ( )2 ( )x y x yx x y y x y =21( ) ( ) ()x y x y 23213 ( ) 3()xy ， 所以2212 2 32x y y 10 分 22（ 1）因?yàn)橹比庵?，以 B 點(diǎn)為原點(diǎn)， x、 y、 z 軸