本科畢業(yè)論文 題目名稱： 全概率公式與貝葉斯公式的推廣及應(yīng)用 學(xué) 院 ： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專業(yè)年級(jí) ： 統(tǒng)計(jì) 12 級(jí) 1 班 學(xué)生姓名 ： 曲 鵬 班級(jí)學(xué)號(hào) ： 20121203010127 指導(dǎo)教師 ： 劉鈺靖 二 O 一 六 年 五 月 二十四 日 摘 要 全概率公式和貝葉斯公式是概率論中 重要的公式 ,分析 ,闡述 了它們的用法及它們所適用的概型 我們將全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行了推廣 ,并說(shuō)明了推廣后的公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型比原 公式更廣 在弄清楚事件間相互影響的次序 ,合理 地設(shè)出完備事件組 本論文結(jié)合實(shí)例闡述了 全概率公式與貝葉斯公式 及它們的推廣定理在產(chǎn)品檢查 上 、醫(yī)療診斷 上 以及統(tǒng)計(jì) 與 決策等中的應(yīng)用 . 關(guān)鍵詞 :全概率公式；推廣；貝葉斯公式；應(yīng)用 . in to to We in to t is to of to to in so 目 錄引 言 1頁(yè) 第一章 全概率公式的應(yīng)用及其推廣 2頁(yè) 2頁(yè) 2頁(yè) 2頁(yè) 概率公式在摸球模型中的應(yīng)用 2頁(yè) 概率公式在實(shí)際比賽中的應(yīng)用 3頁(yè) 概率公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用 3頁(yè) 4頁(yè) 概率公式的推廣定理 1及其應(yīng)用 4頁(yè) 概率公式的推廣定理 2及其應(yīng)用 5頁(yè) 概率公式的推廣定理 3及其應(yīng)用 6頁(yè) 概率公式的推廣定理 4及其應(yīng)用 7頁(yè) 第二章 貝葉斯公式的應(yīng)用及其推廣 9頁(yè) 葉斯公式以及它與全概率公式的聯(lián)系 9頁(yè) 9頁(yè) 葉斯公式 在工廠產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用 9頁(yè) 葉斯公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用 10頁(yè) 葉斯公式在統(tǒng)計(jì)決策中的應(yīng)用 11頁(yè) 葉斯公式的推廣 12頁(yè) 12頁(yè) 的應(yīng)用 13頁(yè) 第三章 全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 15頁(yè) 概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 15頁(yè) 第四章 總 結(jié) 16頁(yè) 參考文獻(xiàn) 17頁(yè) 致 謝 18頁(yè) 1 引 言 全概率公式與貝葉斯公式是概率論中重要的公式， 主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率 ,實(shí)質(zhì)上是加法和乘法 的綜合運(yùn)用 現(xiàn)在社會(huì)在飛速發(fā)展 , 市場(chǎng)也競(jìng)爭(zhēng)激烈 , 決策者必須綜合考察以往的信息及現(xiàn)狀 , 從而做出最佳的綜合判斷 , 則概率分析這門學(xué)科越來(lái)越顯示其重要性 , 全概率公式和貝葉斯公式是概率分析的重要公式 , 利用數(shù)學(xué)方法 , 定量地對(duì)癥施治 , 會(huì)解決很多問(wèn)題 助于把握隨機(jī)事件間的相互影響關(guān)系，為生產(chǎn)實(shí)踐提供有價(jià)值 的 信息 這些推廣形式將進(jìn)一步拓展全概率公式的適用范圍，成為我們解決更復(fù)雜問(wèn)題的有效工具 . 第一章 全概率公式的應(yīng)用及推廣 2 第一章 完備事件組 在了解全概率公式之前，我們先來(lái)看一下完備事件組的概念 . 如果 n 個(gè)事件1, (1)1, (2)1 那么，我們稱這個(gè) n 個(gè)事件1, 的一個(gè)劃分，也稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組 . 為了下 面推廣全概率公式的需要 , 我們首先介紹一下“ 全概率公式” . 設(shè) n 個(gè)事件構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分 ,B 是一個(gè)事件 ( ) 0, ( ) 0, 2, ,L 時(shí)則有： 1( ) ( ) ( | )n P A P B A , 在很多實(shí)際問(wèn)題中，由于隨機(jī)事件的復(fù)雜性，很難直接求得，但卻很容易找到 的一個(gè)完備事件組1,一般 ()| )P B 可以通過(guò)計(jì)算得到，那么就能用全概率公式求出 P（ B） 下面幾個(gè)例子中可以加深對(duì)它的了解 . 概率公式的應(yīng)用 概率公式在摸球模型中的應(yīng)用 例 1：設(shè)甲袋中有 a 只白球， b 只紅球，從甲袋中任取一球放入已袋中，再?gòu)囊汛腥稳∫磺颍嚽笠汛腥〕龅那蚴前浊虻母怕剩?解：設(shè) A = 從 甲 袋 中 取 出 的 球 是 白 球,B = 從 乙 袋 中 取 出 的 是 白 球,則A ,A 構(gòu)成完備事件組，因此： P（ B） = ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B A P A P B A= b 1 +1b a b = 3 概率公式在實(shí)際比賽中的應(yīng)用 例 2、某投籃小組共有 20名投手 , 其中一級(jí)投手 4人 , 二級(jí)投手 8人 , 三級(jí)投手 8人，一、二、三級(jí)投手能通過(guò)選拔進(jìn)入比賽的概率分別是 分析：?jiǎn)栴}實(shí)質(zhì)上涉及到兩個(gè)部分：第一 , 選出的投手不知道是哪個(gè)級(jí)別的 ,由全 概率公式知 , 都應(yīng)該考慮到 , 才為全面 某個(gè)級(jí)別的投手能通過(guò)選拔進(jìn)入比賽的概率這是已知道的 , 記為： “選出的 i 級(jí)投手”， 1,2,3i ，則1 2 3,A A ： 1 2 3A A A ， ， 1, 2, 3 由題意：1 4()20,2 8()203 8()20 “選出的投手能通過(guò)選拔進(jìn)入比賽”，要求： ( ) ? 則：1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A P A P B A = 4 8 80 . 9 0 . 7 0 . 42 0 2 0 2 0 =62% 即任選一名選手能通過(guò)選拔進(jìn)入比賽的概率為 62%比 是因?yàn)槿N可能性都考慮到了 . 概率公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用 例 3、據(jù)調(diào)查，在 50個(gè)耳聾人中有 4人色盲，在 9950個(gè)非耳聾人中有 796人色盲，分析兩種疾病是否相關(guān) . 分析 :設(shè)事件 A 為耳聾人，事件 B 為色盲人， ()P A p ， 則 ( ) 1P A p 4( | )50P B A =796( | )9950P B A =全概率公式，1( ) ( ) ( | ) P A P B A = ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A = p 0 . 0 8 p （ 1- ） 所以， ( ) ( | ) ( | ) 0 . 0 8P B P B A P B A ,事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立 . 第一章 全概率公式的應(yīng)用及推廣 4 經(jīng)過(guò)以上分析得出結(jié)論：耳聾與色盲無(wú)關(guān) . 概率論對(duì)醫(yī)學(xué)的滲透與結(jié)合，已成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的顯著特征 法，充分利用好全概率公式，定量地對(duì)醫(yī)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)分析，使其結(jié)論更具 有可信度，更有利于促進(jìn)對(duì)病人的對(duì)癥施治 . 當(dāng)一個(gè)復(fù)雜事件的發(fā)生與一列互不相 容事件有關(guān)，而這列事件自身并不構(gòu)成樣本空間，添加某些事件后才構(gòu)成樣本空間的分割，而這些事件對(duì)復(fù)雜事件的發(fā)生沒(méi)有影響時(shí)，可將全概率公式作以下推廣 . 概率公式推廣定理 1及其應(yīng)用 設(shè)12, , , , A 是一列事件，添加12, , , C后，或其自身構(gòu)成樣本空間 的一個(gè)分割 , 0 , 1 , 2 , , i 則對(duì)任一事件 B ， 當(dāng) | 0 , 1, 2 , , , C k m 有 1 | P A P B A . 證明：121 A B B C B C B C U U U L 11( ) ( ) ( ) P A B P B C =11( ) ( | ) ( | )mi i P B A P B C =1( ) ( | ) P B A例 4、 設(shè)甲、乙、丙三個(gè)士兵同時(shí)向一目標(biāo)射擊，每人擊中目標(biāo)的概率為p ，一人擊中目標(biāo)被摧毀的概率是 p ，兩人擊中目標(biāo)被摧毀的概率是 2p ，三人擊中目標(biāo)被摧毀的概率是 3p ，求目標(biāo)被摧毀的概率 . 解：令 B “目標(biāo)被摧毀”，有 i 個(gè)人擊中目標(biāo)” 1,2,3i ， 21213 1 3 ,p A C p p p q 2 2 223 1 3 ,p A C p p p q 33p A p其中 雖然1 2 3A A A、 、不構(gòu)成樣本空間 的分割，但添加 C “三人均未擊中”后就構(gòu)成 的分割，而 |p B C Q 于是，得： 5 3 2 2 31| 3 3 2 3 p A p B A p q p p q p p p 223 2 3p q q p q p p p 當(dāng)試驗(yàn)的隨機(jī)過(guò)程不少于兩個(gè)的時(shí)候，在影響目標(biāo)事件的每一個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中分別建立完備事件組，全概率公式可推廣為推廣定理 2. 概率公式 推廣定理 2及其應(yīng)用 設(shè) 1, 2 , ,iA i n 和 1, 2 , ,jB j m 是先后兩個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中的劃分， C 為目標(biāo)事件 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,i j i P A P B P A B i n j m 時(shí)， 則有 ： 11| | i j i i P A P B A P C A B 證明：11( ) ( ) ( ) P C A P A C11 1( ) ( )i C P A C B U=1 1 11( ) ( )mn n mi j i ji i B C P A B C ) ( | ) ( | )nm i j i i P B A P C A B 例 5、已知兩個(gè)箱子中各裝有 3個(gè)不合格品和 5個(gè)合格品，現(xiàn)從第一箱中任取一個(gè)產(chǎn)品放入第二箱，再?gòu)牡诙渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品放入第一箱中，問(wèn)此時(shí)從第 一箱中取出一個(gè)產(chǎn)品是合格品的概率 . 解 ： 設(shè) 示“從第一箱中取出 i 個(gè)合格品放入第二箱中” 0,1i ；第二箱中取出 j 個(gè)合格品放入第一箱中” 0,1j ； C 表示“再?gòu)牡谝幌渲腥〕鲆粋€(gè)合格品” 0 1 0 0 1 0 0 1 1 13 5 4 5 3 6, , | , | , | , |8 8 9 9 9 9P A P A P B A P B A P B A P B A 第一章 全概率公式的應(yīng)用及推廣 6 0 0 0 1 1 0 1 15 6 4 5| , | , | , |8 8 8 8P C A B P C A B P C A B P C A B 故由全概率推廣公式得： 11005| | j i i P A P B A P C A B下面我們?cè)賹⑷怕使酵茝V至條件全概率公式的情形 . 概率公式推廣定理 3及其應(yīng)用 設(shè)12, , , A為樣本空間 的一個(gè)分割 ,即12, , , A互不相容且1 U, 0 , 1 , 2 , , i n ， ,當(dāng) 0 , 0 P A C時(shí)，有 1| | | .n C P A C P B A C 特別當(dāng) C 分別與 12, , , A 獨(dú)立時(shí)， 1| | .n C P A P B A C 證明： 設(shè) ,據(jù)加法公式，有 1.n C P A B C 當(dāng) 0 , 0 1, 2 , , P A C i n 時(shí) | | | .i i i i B C P A C P B A C P C P A C P B A C所以 1| | | .n C P C P A C P B A C 故1()( | ) ( | ) ( | | )() C P A C P B A 而當(dāng) C 與12, , , A獨(dú)立時(shí)，有： |, C P A此時(shí)： 1| | .n C P A P B A C 例 6、設(shè)有兩箱相同的產(chǎn)品，第一箱內(nèi)裝 50件，其中 10件合格品；第二箱內(nèi)裝 30件，其中 18件合格品，從兩箱中任取一箱隨機(jī)取兩個(gè)產(chǎn)品，試求若先取出產(chǎn)品是合格品，第二次取出的產(chǎn)品仍是合格品的概率 . 解 ： 設(shè) 示“抽取第 i 箱” 1,2i ； j 次取出的產(chǎn)品是合格品” 1,2j 21( ) ( ) 2P B P B,1 1 1 213( | ) , ( | )55P A B P A B, 第一章 全概率公式的應(yīng)用及推廣 6 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 5P A P B P A B P B P A B 由于 : 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 2 1 211| 1 3 9 1 7| , | , | , |4 4 4 9 2 9P A B P B P A A P B A P A A B P A A P A 由條件全概率公式得： 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 9 3 1 7| | | | | 0 . 4 94 4 9 4 2 9P A A P B A P A A B P B A P A A B 靈活使用全概率公式會(huì)給我們的解題帶來(lái)很大方便，而這些推廣形式將進(jìn)一步拓展全概率公式的適用范圍，成為我們解決更復(fù)雜問(wèn)題的有效工具，全概率公式還可以推廣至隨機(jī)變量的情形中 廣四 全概率公式推廣定理 4及其應(yīng)用 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )聯(lián)合密度函數(shù)為, ( , )x y，邊緣密度函數(shù)分別為()()么其條件密度函數(shù)可以由下式來(lái)表示： ,| ， ）（ ） =（ ）, ,|( , )()() x xf x . 這樣就可以得到全概率公式的分布形式： ,|( ) ( , ) ( ) ( ) ,X X Y X Y t Yf x f x t d t f x f t d t,|( ) ( , ) ( ) ( ) Y Y X s Xf y f s y d s f y f s d s 在應(yīng)用時(shí)，有時(shí)候會(huì)遇到混合型隨機(jī)變量 ，即其中一個(gè)是離散型的，另一個(gè)是連續(xù)型的，這時(shí)可以利用分布律 . 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )中 , X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 , Y 是離散型隨機(jī)變量 ,其分布律為 ()么： |( ) ( ) ( ) ,x X Y y x f x p y 如果 X 是離散型的 , Y 是連續(xù)型的 ,則有： |( ) ( ) ( ) Y t Yp x p x f t d t 第一章 全概率公式的應(yīng)用及推廣 8 這些公式對(duì)解決含有不確定因素的問(wèn)題有重要的作用 . 廣定理 4在保險(xiǎn)中的應(yīng)用 例 7、 某保險(xiǎn)公司想對(duì)其索賠額建立一個(gè)模型 , 以此期望其產(chǎn)品獲得好的利潤(rùn) . 根據(jù)歷史數(shù)據(jù) , 認(rèn)為具有利好風(fēng)險(xiǎn)的投保人 ,其索賠額的密度函數(shù)為 : 2( ) 2 x e , 0x . 而認(rèn)為具有利壞風(fēng)險(xiǎn)的投保人 ,其索賠額的密度函數(shù)則為 : 31() 3 x e ， 0x 000元人民幣為一個(gè)單位 , 現(xiàn)已知指定的投 保人具有利壞風(fēng)險(xiǎn)的可能性是 30% , 問(wèn)這個(gè)投保人的索賠額超過(guò)一個(gè)單位的概率有多大 ? 解 ：設(shè) X 表示索賠額 , I 表示風(fēng)險(xiǎn)的指示變量 . 則由所給信息知 : 設(shè)有利壞風(fēng)險(xiǎn)時(shí) , 1I , 其概率為 30%; 設(shè)有利好風(fēng)險(xiǎn)時(shí) , 1I ,其概率為 70%,從而 有 ： 2|0 ( ) 2 , 0 ;x e x 3|11( ) , 0 .3 x e x 那么由混合型全概率公式可得隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 : | 0 | 1( ) ( ) ( 0 ) ( ) (1 )X X I I X I If x f x P f x P2 312 0 . 7 0 0 . 3 03 2 31 . 4 0 . 1 而我們要求的是索賠額 1X 的概率 ,由密度函數(shù)與概率之間的關(guān)系可得 : 122 331 1 1( 1 ) ( ) 1 . 4 0 . 1 1 . 4 0 . 1 f x d x e d x e d x e e 此即索賠額大于一個(gè)單位的概率 . 在這個(gè)問(wèn)題中關(guān)鍵是要求出索賠額在不同風(fēng)險(xiǎn)下的密度函數(shù) ,為此我們必須把題設(shè)的信息數(shù)量化 ,設(shè)一個(gè)指示變量 ,從而使問(wèn)題變得更容易求解 推廣定理 4在實(shí)際保險(xiǎn)中的應(yīng)用也是很廣泛的 . 9 第二章 在介紹了全概率公式以后還得介紹貝葉斯公式，因?yàn)樨?葉斯公式和全概率公式是一組互逆公式 設(shè) n 個(gè)事件1,B 是一個(gè)事件，當(dāng)( ) 0, )( 0, 1, 2, ,L 時(shí)則有貝葉斯公式為： 1( ) ( | )( | ) , 1 , , .( ) ( | ) p B B i p B A條件概率的定義及乘法公式有： ( ) ( ) ( | )( | )( ) ( )i i A B P A P B B P B P B, 對(duì) () 1( ) ( | )( | ) , 1 2 .( ) ( | ) P B B i P B A L、由證明可以知道貝葉斯公式其實(shí)就是全概率公式的一種變形，它與全概率公式是互逆應(yīng)用的 面來(lái)探討貝葉斯公式在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用 . 葉斯公式的應(yīng)用 葉斯公式在工廠產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用 例 1、某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為 但是沒(méi)有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)，有人聲稱發(fā)明一種儀器可以 用來(lái)檢驗(yàn)，誤判的概率僅為 5% 分析： “ 5%的誤判率”給檢驗(yàn)帶來(lái)怎樣的可信度，這是廠長(zhǎng)決策的依據(jù)，即弄清“被檢驗(yàn)出的正 (或次 )品中實(shí)際正 (或次 )品率” . 第二章 貝葉斯公式的應(yīng)用及其推廣 10 解： 設(shè)事件 A 表示“客觀的次品”，事件 B 表示“經(jīng)檢驗(yàn)判為次品的產(chǎn)品”，由題意知： ( ) , ( ) ， ( | ) 0 P B A , ( | ) 0 P B A . 由貝葉斯公式可計(jì)算“被檢驗(yàn)出的次品中實(shí)際次品率”為： ( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P B A P A P B A 0 . 0 0 1 0 . 9 50 . 0 0 1 0 . 9 5 0 . 9 9 9 0 . 0 5 同理，“被檢驗(yàn)出的正品中實(shí)際正品率”為： ( | ) 0 . 9 9 9 9 4 7P A B 由 ( | ) 0 . 0 1 8 6 6 4P A B 可知，如果產(chǎn)品的成本較高，廠長(zhǎng)就不能采用這臺(tái)新儀器，因?yàn)楸粌x器 判為次品的產(chǎn)品中實(shí)際上有 98%以上的是正品，這樣導(dǎo)致?lián)p耗過(guò)高 們也注意到該儀器對(duì)正品的檢驗(yàn)還是相當(dāng)精確的，若檢驗(yàn)對(duì)產(chǎn)品沒(méi)有破壞作用，倒是可以在“被認(rèn)定次品”的產(chǎn)品中反復(fù)檢驗(yàn)，挑出“假次品”，這就降低了損耗，又保證了正品具有較高的可信度 . 葉斯公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用 例 2： 某地居民肝癌病發(fā)率為 患病則呈陽(yáng)性，未患病則呈陰性 問(wèn)，某人經(jīng)檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，他患肝癌的概率有多大 ? 解：設(shè)事件 A 表示“患有肝癌”，事件 B 表示“檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性”， 由題意知 ( ) 0 0 4 , ( ) 0 9 6, ( | ) 0 ,P B A ( | ) 0 ,P B A 由貝葉斯公式可知“他確實(shí)患有肝癌的概率”為： ( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B B P A P B A P A P B A 0 . 0 0 40 . 0 0 4 （ （ - 0 . 9 9 9 0 . 0 5 11 顯然，這使他大吃一驚，患有肝癌的可能不到 是可以理解的 000人中約有 4人患有肝癌， 9996人不患肝癌，這 1000人的檢驗(yàn)中約有504人的結(jié)果呈陽(yáng)性，其中約 500人都是“虛驚一場(chǎng)” 少“虛報(bào)” 是提高診斷的關(guān)鍵所在 查” ,再對(duì)有可疑之人進(jìn)行“甲胎蛋白質(zhì)檢查” (A)= ( | )P A B 樣就大大提高了此法的準(zhǔn)確率了 . 葉斯公式在統(tǒng)計(jì)決策中的應(yīng)用 目前，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而做出判斷 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策的重要工具 . 例 3、 一種新產(chǎn)品，一個(gè)推銷員去推銷，成功記為“ S ”，失敗記作“ D ”，推銷員的主觀概率 ( ) ， ( ) ，成功的收益為 50000元，失敗的收益為 咨詢公司作預(yù)測(cè)調(diào)查，有兩種調(diào)整方法 1， 2， 其費(fèi)用分別為 2000元， 3000元，若同時(shí)進(jìn)行 1， 2，費(fèi)用為 4000元， 了解咨詢公司的業(yè)績(jī)，預(yù)報(bào)的結(jié)論為： 對(duì) l： ( | ) 0 F S ( | ) 0 D 對(duì) 2： ( | ) 0 F S ( | ) 0 D (F ：可行； E ：不可行 ) 現(xiàn)有如下六種決策 : a 、不進(jìn)行調(diào)查 ； b 、只進(jìn)行 1 ； c 、只進(jìn)行 2 ; d 、 1， 2同時(shí)進(jìn)行； e 、先做 1，視情況后做 2 ； f 、 先做 2，視情況后做 1. 若效益 系數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)中性，請(qǐng)?jiān)囘x擇一種最好的決策？ 解 : 分別計(jì)算各決策的期望效益 (收支 )： a 銷 5 0 0 0 0 ( ) ( 3 0 0 0 0 ) ( )E U P S P D 5 0 0 0 0 0 . 3 3 0 0 0 0 0 . 7 6 0 0 0 ; 不推銷，期望效益 (收支 )為 0. 11( ) 6 0 0 0 0 3 0 0 022E U a ； b 調(diào)查方法 1. 1 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0 . 6 0 . 3 0 . 1 0 . 7 0 . 2 5p F p F S p S p F D p D ；1( ) 第二章 貝葉斯公式的應(yīng)用及其推廣 12 1已用咨詢費(fèi) 2000元 . 1F 表示可行，導(dǎo)致推銷，此時(shí)運(yùn)用貝葉斯公式 : 1111( | ) ( )( | ) 0 . 7 2( | ) ( ) ( | ) ( )p F S p F p F S p S p F D p D 因而1( | ) 0 P D F 期望收支 (效益 )：1( ) 5 0 0 0 0 0 . 7 2 3 0 0 0 0 0 . 2 8 2 7 6 0 0 F . ( ) 2 7 6 0 0 0 . 2 5 2 0 0 0 0 . 7 5 5 4 0 0E U b ； c ， 同 ()b 一樣用貝葉斯公式有： ( ) 6 7 9 6;EU c d 四種可能結(jié)果： 1 2 1 2 1 2 1 2,F F F E E F E E 1 2 1 2 1 2( ) ( | ) ( | ) ( )p F F p F F S p F F D p D=1 2 1 2( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) 0 . 1 5 1p F S p F S p S p F D p F D p D; 同理有12( ) 0 9 ;P F E 12( ) 0 9 ;P E F 12( ) 0 1,P E E 再運(yùn)用貝葉斯公式， 注意到此時(shí)咨詢費(fèi)用為 4000元， 進(jìn)一步計(jì)算有 ( ) 5 8 0 8;E U d e l，若結(jié)論為不可行 ()E ，則不進(jìn)行 2. 若結(jié)論為可行，則進(jìn) 行 2，經(jīng)計(jì)算 (同以前方法 )有： ( ) 4 1 9 6;EU e f .同 e ，有 ( ) 6 1 8 8;E U f 根據(jù)期望效益準(zhǔn)則，通過(guò)多次貝葉斯公式的應(yīng)用，可以知道選擇期望效益最大值為 6796，對(duì)應(yīng)的決策是 C，即只進(jìn)行 2是最好的決策，此例中還多次運(yùn)用了全概率公式，事實(shí)上全概率公式與貝葉斯公式的綜合聯(lián)用是統(tǒng)計(jì)決策中的一個(gè)重要方法 貝葉斯公式的推廣 當(dāng)試驗(yàn)的隨 機(jī)過(guò)程不少于兩個(gè)的時(shí)候，在影響目標(biāo)事件的每一個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進(jìn)一步推廣 . 葉斯公式推廣定理 1 設(shè) ( 1, 2, )iA i n 1, 2 , , )jB j n 13 C 為目標(biāo)事件 ) 0,( ) 0,( ) 0, ( ) 0 B , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,i n j m有： （ 1） 1( ) ( | ) ( | )( | ) , 1 , 2 ,()mi j i i P B A P C A C i K （ 2） 1 ( ) ( | ) ( | )( | ) , 1 , 2 ,()ni j i i P B A P C A C j K （ 3） ( ) ( | ) ( | )( | ) , 1 , 2 , , 1 , ,()i j i i P B A P C A B C i n j 1）： 1 ()()( | )( ) ( ) B C P C P C=1( ) ( | ) ( | )()mi j i i P B A P C A 同理可以證明（ 2）、（ 3） 葉斯公式推廣定理 1的應(yīng)用 葉斯推廣定理 1在摸球模型中的應(yīng)用 例 4、已知甲、乙兩個(gè)口袋中各裝有 3個(gè)白球和 5個(gè)黑球 個(gè)球然后放人乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳?1個(gè)球再放回到甲袋中，最后從甲袋中取出 1個(gè)球 (1)已知最 后從甲袋中取出的是 1個(gè)黑球，則第一次從甲袋中取出的也是黑球的概率 ;(2)已知最后從甲袋中取出的是 第二次從乙袋中取出的也是黑球的概率 ;(3)已知最后從甲袋中取出的是 1個(gè)黑球，則第一次和第二次取出的都是黑球的概率 . 解：設(shè) 示“從甲中取出 i 個(gè)黑球放人乙中”， 0,1i ；乙中取出 :個(gè)黑球又放回甲中” , 0,1;j C 表示“第二次從甲中取出 1個(gè)黑球” 1 0 03 5 3( ) ; ( ) ( | )8 8 8P A P A P B A ； ；1 0 0 153( | ) ( | )99P B A P B A；; 1 1 0 0 0 1 1 0 1 16 5 6 4 5( | ) ( | ) ; ( | ) ; ( | ) ; ( | ) 8 8 8P B A P C A B P C A B P C A B P C A B ；第二章 貝葉斯公式的應(yīng)用及其推廣 14 (1)由貝葉斯推廣（ 1）可得：11101( ) ( | ) ( | )() ()i j P B A P C A C 5 3 4 6 5() 78 9 8 9 85 128 同理可得：（ 2）、（ 3）： 13 5 6 5 6 528 9 8 8 9 8( | ) ;5 38P B C 115655898( | ) 28P A B C 15 第三章 概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 通過(guò)上面二章，主要講述了全概率公式與貝葉斯公式這兩個(gè)公式以及其公式推廣在多方面的應(yīng)用 概率公式與貝葉斯公式在生活實(shí)際的應(yīng)用中其實(shí)是相互關(guān)聯(lián)，相互聯(lián)系的 與全概率公式是互逆應(yīng)用的 時(shí)候單純的運(yùn)用其中一個(gè)公式很難解決問(wèn)題，綜合運(yùn)用兩個(gè)公式時(shí)卻往往能使問(wèn)題