1 概念 方法 題型 易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)概念 方法 題型 易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 數(shù)列數(shù)列 一 數(shù)列的概念 一 數(shù)列的概念 數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 的 特殊函數(shù) 數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式 如如 1 1 已知 2 156 n n anN n 則在數(shù)列 n a的最大項(xiàng)為 答 1 25 2 2 數(shù)列 n a的通項(xiàng)為 1 bn an an 其中ba 均為正數(shù) 則 n a與 1 n a的大小關(guān)系為 答 n a 1 n a 3 3 已知數(shù)列 n a中 2 n ann 且 n a是遞增數(shù)列 求實(shí)數(shù) 的取值范圍 答 3 4 4 一給定函數(shù) xfy 的圖象在下列圖中 并且對任意 1 0 1 a 由關(guān)系式 1nn afa 得到的數(shù)列 n a滿足 1 Nnaa nn 則該函數(shù)的圖象是 答 A 二 等差數(shù)列的有關(guān)概念 二 等差數(shù)列的有關(guān)概念 1 1 等差數(shù)列的判斷方法 等差數(shù)列的判斷方法 定義法 1 nn aad d 為常數(shù) 或 11 2 nnnn aaaan 如如 設(shè) n a 是等差數(shù)列 求證 以 bn n aaa n 21 nN 為通項(xiàng)公式的數(shù)列 n b為 等差數(shù)列 2 2 等差數(shù)列的通項(xiàng) 等差數(shù)列的通項(xiàng) 1 1 n aand 或 nm aanm d 如如 1 1 等差數(shù)列 n a中 10 30a 20 50a 則通項(xiàng) n a 2 答 210n 2 2 首項(xiàng)為 24 的等差數(shù)列 從第 10 項(xiàng)起開始為正數(shù) 則公差的取值范圍是 答 8 3 3 d 3 3 等差數(shù)列的前 等差數(shù)列的前n和 和 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 如如 1 1 數(shù)列 n a中 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 前 n 項(xiàng)和 15 2 n S 則 1 a n 答 1 3a 10n 2 2 已知數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和 2 12 n Snn 求數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和 n T 答 2 2 12 6 1272 6 n nnnnN T nnnnN 4 4 等差中項(xiàng) 等差中項(xiàng) 若 a A b成等差數(shù)列 則 A 叫做a與b的等差中項(xiàng) 且 2 ab A 提醒提醒 1 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中 涉及到 5 個(gè)元素 1 a d n n a及 n S 其中 1 a d稱作為基本元素 只要已知這 5 個(gè)元素中的任意 3 個(gè) 便可求出其余 2 個(gè) 即知 3 求 2 2 2 為減少運(yùn)算量 要注意設(shè)元的技巧 如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差 可設(shè)為 2 2ad ad a ad ad 公差為d 偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差 可設(shè)為 3 3ad ad ad ad 公差為 2d 三 等差數(shù)列的性質(zhì) 三 等差數(shù)列的性質(zhì) 1 當(dāng)公差0d 時(shí) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 11 1 n aanddnad 是關(guān)于n的一次函數(shù) 且斜率為公差d 前n和 2 11 1 222 n n ndd Snadnan 是關(guān)于n的二次函數(shù)且 常數(shù)項(xiàng)為 0 2 若公差0d 則為遞增等差數(shù)列 若公差0d 則為遞減等差數(shù)列 若公差0d 則為常數(shù)列 3 當(dāng)mnpq 時(shí) 則有 qpnm aaaa 特別地 當(dāng)2mnp 時(shí) 則有 3 2 mnp aaa 如如 1 1 等差數(shù)列 n a中 123 18 3 1 nnnn SaaaS 則n 答 27 2 2 在等差數(shù)列 n a中 1011 0 0aa 且 1110 aa n S是其前n項(xiàng)和 則 A 1210 S SS 都小于 0 1112 SS 都大于 0 B 1219 S SS 都小于 0 2021 SS 都大于 0 C 125 S SS 都小于 0 67 S S 都大于 0 D 1220 S SS 都小于 0 2122 SS 都大于 0 答 B 4 若 n a n b是等差數(shù)列 則 n ka nn kapb k p是非零常數(shù) p nq ap qN 232 nnnnn SSSSS 也成等差數(shù)列 而 n a a成等比數(shù)列 若 n a是等比數(shù)列 且0 n a 則 lg n a是等差數(shù)列 如如 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為 25 前 2n項(xiàng)和為 100 則它的前 3n和為 答 225 5 在等差數(shù)列 n a中 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí) SSnd 偶奇 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)21n 時(shí) SSa 奇偶中 21 21 n Sna 中 這里a中即n a 1 奇偶 SSkk 如如 1 1 在等差數(shù)列中 S11 22 則 6 a 答 2 2 2 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 n a中 奇數(shù)項(xiàng)和為 80 偶數(shù)項(xiàng)和為 75 求此數(shù)列的中間 項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) 答 5 31 6 若等差數(shù)列 n a n b的前n和分別為 n A n B 且 n n A f n B 則 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 如如 4 設(shè) n a 與 n b 是兩個(gè)等差數(shù)列 它們的前n項(xiàng)和分別為 n S和 n T 若 34 13 n n T S n n 那么 n n b a 答 62 87 n n 7 首正 的遞減等差數(shù)列中 前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和 首負(fù) 的遞增等差 數(shù)列中 前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和 法一 由不等式組 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 確定出前多少項(xiàng)為非負(fù) 或非正 法二 因等差數(shù)列前n項(xiàng)是 關(guān)于n的二次函數(shù) 故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值 但要注意數(shù)列的特殊性 nN 上 述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想 函數(shù)思想 由此你能求一般數(shù)列中的最大或最 小項(xiàng)嗎 如如 1 1 等差數(shù)列 n a中 1 25a 917 SS 問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大 并求此最大值 答 前 13 項(xiàng)和最大 最大值為 169 2 2 若 n a是等差數(shù)列 首項(xiàng) 1 0 a 20032004 0aa 20032004 0aa 則使前n項(xiàng)和0 n S 成立的最大正整數(shù)n是 答 4006 8 如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng) 那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列 且新 等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù) 注意注意 公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng) 其項(xiàng) 數(shù)不一定相同 即研究 nm ab 四 等比數(shù)列的有關(guān)概念 四 等比數(shù)列的有關(guān)概念 1 1 等比數(shù)列的判斷方法 等比數(shù)列的判斷方法 定義法 1 n n a q q a 為常數(shù) 其中 0 0 n qa 或 1 1 nn nn aa aa 2 n 如如 1 1 一個(gè)等比數(shù)列 n a 共有21n 項(xiàng) 奇數(shù)項(xiàng)之積為 100 偶數(shù)項(xiàng)之積為 120 則 1n a 為 5 答 5 6 2 2 數(shù)列 n a中 n S 4 1n a 1 2n 且 1 a 1 若 nnn aab2 1 求證 數(shù)列 n b 是等比數(shù)列 2 2 等比數(shù)列的通項(xiàng) 等比數(shù)列的通項(xiàng) 1 1 n n aa q 或 n m nm aa q 如如 設(shè)等比數(shù)列 n a中 1 66 n aa 21 128 n a a 前n項(xiàng)和 n S 126 求n和公比q 答 6n 1 2 q 或 2 3 3 等比數(shù)列的前 等比數(shù)列的前n和 和 當(dāng)1q 時(shí) 1n Sna 當(dāng)1q 時(shí) 1 1 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 如如 1 1 等比數(shù)列中 q 2 S99 77 求 9963 aaa 答 44 2 2 10 10 n n k k n C的值為 答 2046 特別提醒 特別提醒 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式 為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí) 首先要 判斷公比q是否為 1 再由q的情況選擇求和公式的形式 當(dāng)不能判斷公比q是否為 1 時(shí) 要對q分1q 和1q 兩種情形討論求解 4 4 等比中項(xiàng) 等比中項(xiàng) 若 a A b成等比數(shù)列 那么 A 叫做a與b的等比中項(xiàng) 提醒提醒 不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng) 只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng) 且有兩個(gè)ab 如已知兩個(gè)正數(shù) a b ab 的等差中項(xiàng)為 A 等比中項(xiàng)為 B 則 A 與 B 的大小關(guān)系為 答 A B 提醒提醒 1 1 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中 涉及到 5 個(gè)元素 1 a q n n a及 n S 其中 1 a q稱作為基本元素 只要已知這 5 個(gè)元素中的任意 3 個(gè) 便可求出其余 2 個(gè) 即知 3 求 2 2 2 為減少運(yùn)算量 要注意設(shè)元的技巧 如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比 可設(shè) 為 2 2 aa a aq aq qq 公比為q 但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí) 不能設(shè) 6 為 3 3 aqaq q a q a 因公比不一定為正數(shù) 只有公比為正時(shí)才可如此設(shè) 且公比為 2 q 如如有四個(gè)數(shù) 其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 后三個(gè)成等比數(shù)列 且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為 12 求此四個(gè)數(shù) 答 15 9 3 1 或 0 4 8 16 5 5 等比數(shù)列的性質(zhì) 等比數(shù)列的性質(zhì) 1 當(dāng)mnpq 時(shí) 則有 mnpq aaaa AA 特別地 當(dāng)2mnp 時(shí) 則有 2 mnp aaa A 如如 1 1 在等比數(shù)列 n a中 3847 124 512aaa a 公比 q 是整數(shù) 則 10 a 答 512 2 2 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 n a中 若 56 9aa 則 3132310 logloglogaaa 答 10 2 若 n a是等比數(shù)列 則 n a p nq ap qN n ka成等比數(shù)列 若 nn ab 成等比數(shù)列 則 nn a b n n a b 成等比數(shù)列 若 n a是等比數(shù)列 且公比1q 則數(shù)列 232 nnnnn SSSSS 也是等比數(shù)列 當(dāng)1q 且n為偶數(shù)時(shí) 數(shù)列 232 nnnnn SSSSS 是常數(shù)數(shù)列 0 它不是等比數(shù)列 如如 1 1 已知0a 且1a 設(shè)數(shù)列 n x滿足 1 log1log anan xx nN 且 12100 100 xxx 則 101102200 xxx 答 100 100a 2 2 在等比數(shù)列 n a中 n S為其前 n 項(xiàng)和 若140 13 30101030 SSSS 則 20 S的值為 答 40 3 若 1 0 1aq 則 n a為遞增數(shù)列 若 1 0 1aq 則 n a為遞減數(shù)列 若 1 0 01aq 則 n a為遞減數(shù)列 若 1 0 01aq 則 n a為遞增數(shù)列 若0q 7 則 n a為擺動數(shù)列 若1q 則 n a為常數(shù)列 4 當(dāng)1q 時(shí) baq q a q q a S nn n 11 11 這里0ab 但0 0ab 這 是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一個(gè)特征 據(jù)此很容易根據(jù) n S 判斷數(shù)列 n a是否為等比數(shù)列 如如若 n a是等比數(shù)列 且3n n Sr 則r 答 1 5 mn m nmnnm SSq SSq S 如如設(shè)等比數(shù)列 n a的公比為q 前n項(xiàng)和為 n S 若 12 nnn SSS 成等差數(shù)列 則q的值為 答 2 6 在等比數(shù)列 n a中 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí) SqS 偶