第 1 頁（共 22 頁） 2016 年浙江省溫州市高考數學一模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分共 40分 有一項符合題目要求的 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，則 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 2已知 a， b 為異面直線，下列結論不正確的是（ ） A必存在平面 使得 a ， b B必存在平面 使得 a， b 與 所成角相等 C必存在平面 使得 a， b D必存在平面 使得 a， b 與 的距離相等 3已知實數 x， y 滿足 ，則 x y 的最大值為（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 4已知直線 l： y=kx+b，曲線 C： x2+2x=0，則 “k+b=0”是 “直線 l 與曲線 C 有公共點 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5設函數 y=f（ x）是定義在 R 上的偶函數，對任意的 xR 都有 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3），則滿足上述條件的 f（ x）可以是（ ） A f（ x） =B C f（ x） =2D f（ x） =26如圖，已知 雙曲線 C： （ a 0， b 0）的左、右焦點，點 P 在第一象限，且滿足 = ，（ ） =0，線段 雙曲線 C 交于點 Q，若=5 ，則雙曲線 C 的漸近線方為（ ） A y= B y= C y= D y= 第 2 頁（共 22 頁） 7已知集合 M=（ x， y） |x2+，若實數 ， 滿足：對任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，則稱（ ， ）是集合 M 的 “和諧實數對 ”則以下集合中，存在 “和諧實數對 ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 8 如圖，在矩形 ， ， ，點 E 在線段 且 ，現分別沿 E 將 折，使得點 D 落在線段 ，則此時二面角 D B 的余弦值為（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共 36分 9已知 f（ x） = ，則 f（ f（ 2） = ，函數 f（ x）的零點的個數為 10已知鈍角 面積為 ， ， ，則角 B= ， 11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ，表面積為 12已知公比 q 不為 1 的等比數列 首項 ，前 n 項和為 2， 3， 4成等差數列，則 q= ， 13已知 f（ x） =x+ a），若對任意的 mR，均存在 0 使得 f（ =m，則實數 14已知 ， | |=1， =2，點 P 為線段 動點，動點 Q 滿足 = + ，則 的最小值等于 第 3 頁（共 22 頁） 15已知斜率為 的直線 l 與拋物線 p 0）交于 x 軸上方的不同兩點 A、 B，記直線 斜率分別為 k1+ 三、解答題：本大題共 5小題，共 74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函數 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 17如圖，在三棱錐 D ， B=D 在底面 的射影為 E， F F （ ）求證：平面 平面 ）若 ， 0，求直線 平面 成的角的正弦值 18已知函數 f（ x） =（ x t） |x|（ tR） （ ）求函數 y=f（ x）的單調區(qū)間； （ ）當 t 0 時，若 f（ x）在區(qū)間 1， 2上的最大值為 M（ t），最小值為 m（ t），求 M（ t） m（ t） 的最小值 19如圖，已知橢圓 C： + =1（ a b 0）經過點（ 1， ），且離心率等于 點 A，B 分別為橢圓 C 的左、右頂點， M， N 是橢圓 C 上非頂點的兩點，且 面積等于 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點 A 作 橢圓 C 于點 P，求證： 20如圖，已知曲線 y= （ x 0）及曲線 y= （ x 0）， 1的橫坐標為 0 ）從 的點 nN+）作直線平行于 x 軸，交曲線 點 從點 y 軸，交曲線 n+1點 n=1， 2， 3， ） 的橫坐標構成數列第 4 頁（共 22 頁） （ ）試求 與 間的關系，并證明： 1 ； （ ）若 ，求證： |+| 第 5 頁（共 22 頁） 2016 年浙江省溫州市高考數學一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分 共 40分 有一項符合題目要求的 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，則 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 【考點】 交集及其運算 【分析】 分別求出集合 A， B，從而求出其交集即可 【解答】 解： 集合 A=x|y=x|x 0|， B=x|2x 3 0=x| 1 x 3， 則 AB=（ 0， 3）， 故選： B 2已知 a， b 為異面直線，下列結論不正確的是（ ） A必存在平面 使得 a ， b B必存在平面 使得 a， b 與 所成角相等 C必存在平面 使得 a， b D必存在平面 使得 a， b 與 的距離相等 【考點】 空間中直線與直線之間的位置關系 【分析】 在 C 中，當 a， b 不垂直時，不存在平面 使得 a， b 其它三種情況都成立 【解答】 解：由 a， b 為異面直線，知： 在 A 中，在空間中任取一點 O，過 O 分別作 a， b 的平行線， 則由過 O 的 a， b 的平行線確一個平面 ，使得 a ， b ，故 A 正確； 在 B 中，平移 b 至 b與 a 相交，因而確定一個平面 ， 在 上作 a， b交角的平分線，明顯可以做出兩條 過角平分線且與平面 垂直的平面 使得 a， b 與 所成角相等 角平分線有兩條，所以有兩個平面都可以故 B 正確； 在 C 中，當 a， b 不垂直時，不存在平面 使得 a， b ，故 C 錯誤； 在 D 中，過異面直線 a， b 的公垂線的中點作與公垂線垂直的平面 ， 則平面 使得 a， b 與 的距離相等，故 D 正確 故選： C 3已知實數 x， y 滿足 ，則 x y 的最大值為（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 【考點】 簡單線 性規(guī)劃 【分析】 令 z=x y，從而化簡為 y=x z，作平面區(qū)域，結合圖象求解即可 【解答】 解：令 z=x y，則 y=x z， 由題意作平面區(qū)域如下， 第 6 頁（共 22 頁） ， 結合圖象可知， 當過點 A（ 3， 0）時， x y 取得最大值 3， 故選 B 4已知直線 l： y=kx+b，曲線 C： x2+2x=0，則 “k+b=0”是 “直線 l 與曲線 C 有公共點 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充 要條件的判斷 【分析】 聯(lián)立方程組，得到（ 1+ 22） x+，根據 =（ 22） 2 4（ 1+k2），得到 b（ k+b） 10，結合充分必要條件判斷即可 【解答】 解：由直線 l： y=kx+b，曲線 C： x2+2x=0， 得： ， （ 1+ 22） x+， 若直線和曲線有公共點， 則 =（ 22） 2 4（ 1+， b（ k+b） 10， 則 “k+b=0”是 “直線 l 與曲線 C 有公共 點 ”的充分不必要條件， 故選： A 5設函數 y=f（ x）是定義在 R 上的偶函數，對任意的 xR 都有 f（ x+6） =f（ x） +f（ 3），則滿足上述條件的 f（ x）可以是（ ） A f（ x） =B C f（ x） =2D f（ x） =2【考點】 抽象函數及其應用 第 7 頁（共 22 頁） 【分 析】 根據抽象函數關系結合函數奇偶性的性質求出 f（ 3） =0，從而得到函數的周期是 6，結合三角函數的周期性進行判斷即可 【解答】 解： f（ x+6） =f（ x） +f（ 3）， f（ 3+6） =f（ 3） +f（ 3）， f（ 3） =0，函數 f（ x）是偶函數， f（ 3） =0 f（ x+6） =f（ x） +0=f（ x）， f（ x）是以 6 為周期的函數， A函數的周期 T= =6， f（ 3） = 1，不滿足條件 f（ 3） =0 B. 是奇函數，不滿足條件 C f（ x） =21+則函數的周期是 T= =6， f（ 3） =1+ 1=0，滿足條件 D f（ x） =21+則函數的周期是 T= =12，不滿足條件 故選： C 6如圖，已知 雙曲線 C： （ a 0， b 0）的左、右焦點，點 P 在第一象限，且滿足 = ，（ ） =0，線段 雙曲線 C 交于點 Q，若=5 ，則雙曲線 C 的漸近線方為（ ） A y= B y= C y= D y= 【考點】 雙曲線的標準方程 第 8 頁（共 22 頁） 【分析】 由題意， |c， | a， | a，由余弦定理可得= ，確定 a， b 的關系，即可求出雙曲線 C 的漸近線方程 【解答】 解：由題意，（ ） =0， |2c， | a， | a， 由余弦定理可得 = ， c= a， b= a， 雙曲線 C 的漸近線方程為 y= x 故選： B 7已知集合 M=（ x， y） |x2+，若實數 ， 滿足：對任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，則稱（ ， ）是集合 M 的 “和諧實數對 ”則以下集合中，存在 “和諧實數對 ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 【考點】 曲線與方程 【分析】 由題意， 222+21，問題轉化為 2+21 與選項有交點，代入驗證，可得結論 【解答】 解：由 題意， 222+21， 問題轉化為 2+21 與選項有交點，代入驗證，可得 C 符合 故選： C 8如圖，在矩形 ， ， ，點 E 在線段 且 ，現分別沿 E 將 折，使得點 D 落在線段 ，則此時二面角 D B 的余弦值為（ ） A B C D 【考點】 二面角的平面角及求法 第 9 頁（共 22 頁） 【分析】 在折疊前的矩形中連接 O，得到 而得到折起后， B 的平面角，利用余弦定理進行求解即可 【解答】 解：在折疊前的矩形中連接 O， ， ， ， ， ，即 0，即 折起后， 二面角 D B 的平面角， 在 ， ， D = ， =2 ， 由余弦定理得 = ， 故選： D 二、填空題：本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共 36分 9已知 f（ x） = ，則 f（ f（ 2） = 14 ，函數 f（ x）的零點的個數為 1 【考點】 函數零 點的判定定理；函數的值 【分析】 根據 x 0 與 x0 時 f（ x）的解析式，確定出 f（ f（ 2）的值即可；令 f（ x） =0，確定出 x 的值，即可對函數 f（ x）的零點的個數作出判斷 【解答】 解：根據題意得： f（ 2） =（ 2） 2=4， 則 f（ f（ 2） =f（ 4） =24 2=16 2=14； 第 10 頁（共 22 頁） 令 f（ x） =0，得到 2x 2=0， 解得： x=1， 則函數 f（ x）的零點個數為 1， 故答案為： 14； 1 10已知鈍角 面積為 ， ， ，則角 B= ， 【考點】 正弦定理 【分析】 利用已知及三角形面積公式可求 求 B= 或 ，分類討論：當 B= 時，由余弦定理可得 ，可得 直角 三角形，舍去，從而利用余弦定理可得 值 【解答】 解： 鈍角 面積為 ， ， ， = 1 得： ， B= 或 ， 當 B= 時，由余弦定理可得 =1， 此時， 得 A= ，為直角三角形，矛盾，舍去 B= ，由余弦定理可得 = ， 故答案為： ； 11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 12 ，表面積為 36 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據三視圖作出棱錐的直觀圖，根 據三視圖數據計算體積和表面積 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為四棱錐，作出直觀圖如圖所示： 第 11 頁（共 22 頁） 其中底面 邊長為 3 正方形， 底面 棱錐的體積 V= 棱錐的四個側面均為直角三角形， D=5， 棱錐的表面積 S=32+ + =36 故答案為 12； 36 12已知公比 q 不為 1 的等比數列 首項 ，前 n 項和為 2， 3， 4成等差數列，則 q= ， 【考點】 等比數列的前 n 項和；等比數列的通項公式 【分析】 由 2， 3， 4 成等差數列，可得 2（ 3） =4+2，化為： 3a4+用等比數列的通 項公式解得 q再利用等比數列的前 n 項和公式即可得出 【解答】 解： 2， 3， 4 成等差數列， 2（ 3） =4+2， 2（ 2a3+a2+=2a4+為： 3a4+ ，化為 2q+1=0， q1，解得 q= = = 故答案分別為： ； 13已知 f（ x） =x+ a），若對任意的 mR，均存在 0 使得 f（ =m，則實數 4， +） 【考點】 對數函數的圖象與性質 【分析】 令 t=x+ a， 求出 t 的范圍，于是函數 y=據對數函數的性質，求出 a 的范圍即可 第 12 頁（共 22 頁） 【解答】 解：令 t=x+ a，易知 t4 a， +） 于是函數 y=t4 a， 顯然當 4 a0 時便有 t0 恒成立， 即 a4， 故答案為： 4， +） 14已知 ， | |=1， =2，點 P 為線段 動點，動點 Q 滿足 = + ，則 的最小值等于 【考點】 平面向量數量積的運算 【分析】 建立平面 直角坐標系，根據 | |=1， =2 得出 B， C 坐標，設 P（ a， 0）， A（ 0， b），使用坐標求出 的表達式，根據 a 的范圍求出最小值 【解答】 解：以 在直線為 x 軸，以 的高為 y 軸建立平面直角坐標系，如圖 ， B（ 2， 0）， C（ 1， 0）， 設 P（ a， 0）， A（ 0， b），則 2a 1 =（ a， b）， =（ 2 a， 0）， =（ 1 a， 0） =（ 3 3a， b）， =（ 2 a）（ 3 3a） =3a+6=3（ a+ ） 2 當 a= 時， 取得最小值 故答案為： 15已知斜率為 的直線 l 與 拋物線 p 0）交于 x 軸上方的不同兩點 A、 B，記直線 斜率分別為 k1+（ 2， +） 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 直線方程為 y= x+b，即 x=2y 2b，代入拋物線 得 4，利用韋達定理，結合斜率公式，即可求出 k1+取值范圍 【解答】 解：設直線方程為 y= x+b，即 x=2y 2b， 第 13 頁（共 22 頁） 代入拋物線 得 4， =16160， p b 設 A（ B（ 得 y1+p， k1+ = = = 2 故答案為：（ 2， +） 三、解答題：本大題共 5小題，共 74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函數 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【考點】 兩角和與差的余弦函數 【分析】 （ ）由已知推導出 22=0，由此能求出 （ ） f（ x） =4x ） =22x+ ） +1，由 ，得 2x+ ，由此能求出函數 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【解答】 解：（ ） 2，且 0 2 2 2 22=0， 解得 或 2（舍）， 0 ， = （ ） = ， f（ x） =4x ） =4 =2 + =22x+ ） +1， ， 2x+ ， 222x+ ） +13， 函數 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域為 2， 3 第 14 頁（共 22 頁） 17如圖，在三棱錐 D ， B=D 在底面 的射影為 E， F F （ ）求證：平面 平面 ）若 ， 0，求直線 平面 成的角的正弦值 【考點】 直線與平面所成的角；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 平面得出 而 平面 而得出平面 平面 （ 出 和平面 則 | |即為所求 【解答】 證明：（ ） 平面 面 面 F=D， 平面 又 面 平面 平面 （ ） C， ， E 為 中點， =2 ， 0， 以 E 為原點建立如圖所示的空間直角坐標系， 則 E（ 0， 0， 0）， A（ 0， 2， 0）， D（ 0， 0， 2）， B（ ， 1， 0） =（ 0， 2， 2）， =（ ， 1， 2）， =（ ， 1， 0） 設平面 法向量為 =（ x， y， z） 則 ， ，令 z=1，得 =（ ， 1， 1） =2， | |= ， | |=2， = = 平面 成的角的正弦值為 第 15 頁（共 22 頁） 18已知函數 f（ x） =（ x t） |x|（ tR） （ ）求函數 y=f（ x）的單調區(qū)間； （ ）當 t 0 時，若 f（ x）在區(qū)間 1， 2上的最大值為 M（ t），最小值為 m（ t），求 M（ t） m（ t）的最小值 【考點】 函數的最值及其幾何意義；函數的單調性及單調區(qū)間 【分析】 （ ）根據分段函數的表達式，結合一元二次函數的性質即 可求函數 y=f（ x）的單調區(qū)間； （ ）討論 t 的范圍，結合一元二次函數的性質求出函數的最值進行求解即可 【解答】 （ ）解：（ 1） ， 當 t 0 時， f（ x）的單調增區(qū)間為 ，單調減區(qū)間為 0， 當 t=0 時， f（ x）的單調增區(qū)間為（ ， +） 當 t 0 時， f（ x）的單調增區(qū)間為 0， +）， ，單調減區(qū)間為 （ ）由（ ）知 t 0 時 f（ x）在（ ， 0）上遞增，在 上遞減，在上遞增 從而 當 即 t4 時， M（ t） =f（ 0） =0， ， m（ t） =f（ 1）， f（ 2） = 1 t， 4 2t 所以，當 4t5 時， m（ t） = 1 t， 故 M（ t） m（ t） =1+t5 當 t 5 時， m（ t） =4 2t，故 M（ t） m（ t） =2t 4 6 當 2t，即 2t 4 時， M（ t） =f（ 0） =0， m（ t） =f（ 1）， f（ ） = 1 t， = 1 t， 所以， M（ t） m（ t） =t+13 當 0 t 2 時， M（ t） =f（ 2） =4 2t m（ t） =f（ 1）， f（ ） = 1 t， = 1 t， 所以， M（ t） m（ t） =5 t 3 綜上所述，當 t=2 時， M（ t） m（ t）取得最小值為 3 第 16 頁（共 22 頁） 19如圖，已知橢圓 C： + =1（ a b 0）經過點（ 1， ），且離心率等于 點 A，B 分別為橢圓 C 的左、右頂點， M， N 是橢圓 C 上非頂點的兩點，且 面積等于 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點 A 作 橢圓 C 于點 P，求證： 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ ）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及 a， b， c 的關系，解得 a， b，即可得到橢圓方程； （ ）解法一、設直線 方程為 y=y=入橢圓方程，求得 M， 出 面積，由條件可得 設 P（ 則 ，又已知 證 解法二、設直線 方程為 y=x+2），代入 ，求出 P 的坐標和 斜率，所以只需證 ，即 ，即可得到證明 【解答】 解：（ ）由題意得， e= = ， b2= 代入點（ 1， ），可得 + =1， 解得， a=2， b= ， 故橢圓 C 的方程為 + =1； （ ）解法一：如圖所示，設直線 方程為 y=y= 聯(lián)立方程組 ，解得 ， 同理可得 ， 作 x 軸， x 軸， M， N是垂足， S 梯形 N S S 第 17 頁（共 2